Funkcja eliptyczna Jacobiego

W matematyce , funkcji eliptycznych Jacobiego są eliptyczne funkcje wielkiego historycznego znaczenia.

Wprowadzone przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego około 1830 roku mają bezpośrednie zastosowanie, na przykład w równaniu wahadła . Przedstawiają także analogie z funkcjami trygonometrycznymi , na co zwraca uwagę wybór notacji $sn$ i $cn$ , które przypominają $sin$ i $cos$ . Jeśli eliptyczne funkcje theta Weierstrassa wydają się lepiej dostosowane do rozważań teoretycznych, praktyczne problemy fizyczne wymagają bardziej funkcji Jacobiego.

Wprowadzenie

Istnieje 12 eliptycznych funkcji Jacobiego.

Są to funkcje zmiennej złożonej, ale zależne od parametru elementu $k$ wynoszącego] 0,1 [, implikowane w notacjach. $k$ nazywa się modułem funkcji Jacobiego. Za pomocą tego parametru $k$ , kojarzy nam się z dwóch liczb $K$ i $K '$ , określone przez eliptycznych całek i , a także liczby , zwane comodule . ${\ Displaystyle K = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ Frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} }}}$ ${\ Displaystyle K '= \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ Frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {1- (1-k ^ {2}) \ sin ^ { 2} \ theta}}}}$ ${\ displaystyle k '= {\ sqrt {1-k ^ {2}}}}$

Na płaszczyźnie zespolonej mamy prostokąt, którego cztery wierzchołki są umownie oznaczane jako $s$ , $c$ , $d$ i $n$ , tak że $s$ jest na początku, $c$ w punkcie odciętej $K$ na osi rzeczywistej, $d$ w punkcie afiksu zespolonego $K + i K$ „a $n$ w punkcie umieszczają $ı k”$ na osi urojonej.

Nazwa każdej z funkcji Jacobiego jest następnie powiązana z parą utworzoną przez dwa wierzchołki prostokąta. Zatem nazwy 12 eliptycznych funkcji Jacobiego to: $sc$ , $sd$ , $sn$ , $cd$ , $cn$ , $cs$ , $dn$ , $ds$ , $dc$ , $ns$ , $nc$ i $nd$ .

Dla dowolnego wierzchołka $p$ spośród czterech wierzchołków $s$ $c$ $d$ $n$ i dla dowolnego wierzchołka $q$ wziętego spośród trzech pozostałych wierzchołków, funkcja Jacobiego $pq$ jest jedyną funkcją zmiennej zespolonej, która jest podwójnie okresowa i meromorficzna , i która spełnia następujące właściwości :

Przyjmuje proste zero na wierzchołku $p$ i prosty biegun na wierzchołku $q$ .
Jest okresowy o okresie $4 K$ według osi rzeczywistej i okresowy o okresie $4 K '$ według urojonej osi. Liczby $K$ i $K '$ nazywane są „okresami kwartalnymi”.
Jest okresowy w kierunku $pq$ , z okresem dwukrotnie większym od odległości $p$ do $q$ .
Współczynnik pierwszego członu jego rozwoju szeregowego w sąsiedztwie $u$ = 0 ma wartość 1. Innymi słowy, ten pierwszy człon ma wartość $u$ , 1 / $u$ lub 1 w zależności od tego, czy wierzchołek odpowiadający $u$ = 0 jest zero, biegun lub zwykły punkt funkcji.

W bardziej ogólnym ujęciu $k$ jest złożone, podobnie jak $K$ i $K '$ , a my pracujemy na równoległoboku. Jeśli jednak $K$ i $K '$ są rzeczywiste, eliptyczne funkcje Jacobiego przyjmują wartości rzeczywiste, gdy są stosowane do zmiennej rzeczywistej.

Definicja

Wśród dwunastu funkcji Jacobiego są trzy, zwane podstawowymi funkcjami Jacobiego. Są to $sn$ , $cn$ i $dn$ . Na ich podstawie definiujemy inne funkcje Jacobiego. Aby zdefiniować trzy podstawowe funkcje, wprowadzamy funkcję pośrednią, funkcję amplitudy Jacobiego.

Niekompletna całka eliptyczna pierwszego rodzaju i funkcji amplitudy

Przypomnijmy, że niepełna całka eliptyczna pierwszego rodzaju związana z modułem $k$ jest rosnącą nieparzystą funkcją liczb rzeczywistych określonych przez:

{\ Displaystyle F (a, k) = \ int _ {0} ^ {a} {\ Frac {\ mathrm {d} x} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} x} }}}

Zauważamy, że zdefiniowana wcześniej stała $K$ to nic innego jak . Nazywa się to całkowitą całką eliptyczną pierwszego rodzaju . ${\ Displaystyle F ({\ Frac {\ pi} {2}}, k)}$

Funkcję amplitudy Jacobiego nazywamy odwrotnością funkcji $F$ , oznaczonej przez $A$ :

{\ Displaystyle u = F (a, k) \ iff a = A (u, k)}

To samo dziwne i rosnące na realne i wzrasta gatunku gdy $u$ wzrasta o $2 K$ .

Trzy podstawowe funkcje Jacobiego (1827)

Są zdefiniowane w następujący sposób:

funkcja sinus Jacobi : . Na rzeczywiste, to jest okresowa o okresie $4$ $K$ . ${\ Displaystyle {\ rm {sn}} (u, k) = \ sin (A (u, k))}$
funkcja cosinus Jacobi : . Na rzeczywiste, to jest okresowa o okresie $4$ $K$ . ${\ Displaystyle {\ rm {CN}} (u, k) = \ cos (A (u, k))}$
Funkcja dn Jacobi : . Na rzeczywiste, to jest okresowa o okresie $2$ $K$ . ${\ Displaystyle {\ rm {dn}} (u, k) = {\ sqrt {1-k ^ {2} {\ rm {sn}} (u, k) ^ {2}}}}$

$sn$ jest funkcją nieparzystą, podczas gdy $cn$ i $dn$ są parzyste.

Przypadki graniczne

Znajdujemy kołowe i hiperboliczne funkcje trygonometryczne dla wartości granicznych 0 i 1 $k$ :

Jeśli $k$ = 0, znajdujemy zwykłą trygonometrię. W istocie , , i $k '$ są przesyłane do nieskończoności. $sn$ jest sinusem, $cn$ cosinusem i $dn$ funkcją stałą 1. ${\ displaystyle F (a, 0) = a}$ ${\ Displaystyle A (u) = u}$ ${\ Displaystyle K = {\ Frac {\ pi} {2}}}$
Jeśli $k$ = 1, widzimy, że pojawiają się funkcje trygonometrii hiperbolicznej. Rzeczywiście, więc ( wzór Gudermanna ), $K$ jest wysyłane do nieskończoności i . $sn$ to funkcja $tanh$ , $cn$ i $dn to$ funkcja $1 / cosh$ . ${\ Displaystyle u = F (a, 1) = {\ rm {argth}} (\ sin (a))}$ ${\ Displaystyle \ sin (a) = \ tanh (u)}$ ${\ displaystyle K '= {\ frac {\ pi} {2}}}$

Pozostałe funkcje

Gudermann (1838), a następnie Glaisher (1882) przedstawi dziewięć innych funkcji:

{\ Displaystyle {\ rm {ns}} (u, k) = {\ frac {1} {{\ rm {sn}} (u, k)}}}

, ,

{\ Displaystyle {\ rm {nc}} (u, k) = {\ frac {1} {{\ rm {cn}} (u, k)}}}

{\ Displaystyle {\ rm {nd}} (u, k) = {\ frac {1} {{\ rm {dn}} (u, k)}}}

{\ Displaystyle {\ rm {sc}} (u, k) = {\ Frac {{\ rm {sn}} (u, k)} {{\ rm {cn}} (u, k)}}}

{\ Displaystyle {\ rm {cs}} (u, k) = {\ Frac {{\ rm {cn}} (u, k)} {{\ rm {sn}} (u, k)}}}

{\ Displaystyle {\ rm {sd}} (u, k) = {\ Frac {{\ rm {sn}} (u, k)} {{\ rm {dn}} (u, k)}}}

{\ Displaystyle {\ rm {ds}} (u, k) = {\ Frac {{\ rm {dn}} (u, k)} {{\ rm {sn}} (u, k)}}}

{\ Displaystyle {\ rm {cd}} (u, k) = {\ Frac {{\ rm {cn}} (u, k)} {{\ rm {dn}} (u, k)}}}

{\ Displaystyle {\ rm {DC}} (u, k) = {\ Frac {{\ rm {dn}} (u, k)} {{\ rm {cn}} (u, k)}}}

Funkcje wzajemne

Możemy zdefiniować odwrotne funkcje funkcji eliptycznych Jacobiego, dla x między -1 a 1:

${\ Displaystyle \ mathrm {Arcsn} \, (x, k) = \ int _ {0} ^ {x} {\ Frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} t ^ {2})}}}}$
${\ Displaystyle \ mathrm {Arccn} \, (x, k) = \ int _ {x} ^ {1} {\ Frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {(1-t ^ {2}) (1-k ^ {2} + k ^ {2} t ^ {2})}}}}$

Formularz

Niezwykłe wartości

Dla rzeczywistych wartości zmiennej:

dla u = 0 mamy ${\ Displaystyle {\ tekst {sn}} (0) = 0, \, {\ tekst {CN}} (0) = 1, \, {\ tekst {dn}} (0) = 1.}$
dla u = K / 2 mamy ${\ Displaystyle {\ text {sn}} \ lewo ({\ Frac {K} {2}} \ prawej) = {\ Frac {1} {\ sqrt {1 + k '}}}, \, {\ tekst {cn}} \ left ({\ frac {K} {2}} \ right) = {\ sqrt {\ frac {k '} {1 + k'}}}, \, {\ text {dn}} \ left ({\ frac {K} {2}} \ right) = {\ sqrt {k '}}.}$
dla u = K mamy ${\ Displaystyle {\ tekst {sn}} (K) = 1, \, {\ tekst {CN}} (K) = 0, \, {\ tekst {dn}} (K) = k '}$

Pochodne

Pochodne podstawowych funkcji to:

{\ Displaystyle A '(u) = {\ tekst {dn}} (u)}

{\ Displaystyle {\ text {sn}} '(u) = {\ tekst {CN}} (u) {\ tekst {dn}} (u)}

{\ Displaystyle {\ tekst {CN}} '(u) = - {\ tekst {sn}} (u) {\ tekst {dn}} (u)}

{\ Displaystyle {\ tekst {dn}} '(u) = - k ^ {2} {\ tekst {sn}} (u) {\ tekst {cn}} (u)}

Tłumaczenie

Mamy następujące relacje:

${\ Displaystyle {\ text {sn}} (u + K) = {\ Frac {{\ tekst {cn}} (u)} {{\ tekst {dn}} (u)}} \,}$
${\ Displaystyle {\ tekst {CN}} (u + K) = - k '{\ Frac {{\ tekst {sn}} (u)} {{\ tekst {dn}} (u)}}}$
${\ Displaystyle {\ tekst {dn}} (u + K) = {\ Frac {k '} {{\ tekst {dn}} (u)}} \,}$
${\ Displaystyle {\ text {sn}} (u + 2 k) = - {\ tekst {sn}} (u)}$
${\ Displaystyle {\ tekst {CN}} (u + 2K) = - {\ tekst {CN}} (u)}$
${\ displaystyle {\ text {dn}} (u + 2K) = {\ tekst {dn}} (u)}$

Relacje trygonometryczne

Dodanie

Dostępne są następujące wzory dodawania, uogólniające wzory trygonometryczne dodawania:

${\ Displaystyle {\ tekst {sn}} (u + v) = {\ Frac {{\ tekst {sn}} (u) {\ tekst {cn}} (v) {\ tekst {dn}} (v) + {\ text {sn}} (v) {\ text {cn}} (u) {\ text {dn}} (u)} {1-k ^ {2} {\ text {sn}} ^ {2 } (u) {\ text {sn}} ^ {2} (v)}}}$
${\ Displaystyle {\ tekst {CN}} (u + v) = {\ Frac {{\ tekst {CN}} (u) {\ tekst {cn}} (v) - {\ tekst {sn}} (u ) {\ text {dn}} (u) {\ text {sn}} (v) {\ text {dn}} (v)} {1-k ^ {2} {\ text {sn}} ^ {2 } (u) {\ text {sn}} ^ {2} (v)}}}$
${\ Displaystyle {\ tekst {DN}} (u + v) = {\ Frac {{\ tekst {DN}} (u) {\ tekst {dn}} (v) -k ^ {2} {\ tekst { sn}} (u) {\ text {cn}} (u) {\ text {sn}} (v) {\ text {cn}} (v)} {1-k ^ {2} {\ text {sn }} ^ {2} (u) {\ text {sn}} ^ {2} (v)}}}$

Kwadraty

${\ Displaystyle {\ tekst {sn}} ^ {2} (u) + {\ tekst {cn}} ^ {2} (u) = 1 \,}$
${\ Displaystyle k ^ {2} {\ tekst {sn}} ^ {2} (u) + {\ tekst {dn}} ^ {2} (u) = 1 \,}$
${\ Displaystyle k ^ {2} {\ tekst {cn}} ^ {2} (u) + k '^ {2} = {\ tekst {dn}} ^ {2} (u) \,}$ z tym uzupełnienie modułu $k$ . ${\ displaystyle k '= {\ sqrt {1-k ^ {2}}}}$
${\ Displaystyle {\ tekst {CN}} ^ {2} (u) + k '^ {2} {\ tekst {sn}} ^ {2} (u) = {\ tekst {dn}} ^ {2} (u) \,}$

Przekształca kwadraty w podwójne łuki

${\ Displaystyle {\ tekst {sn}} ^ {2} (u) = {\ Frac {1 - {\ tekst {CN}} (2u)} {1 + {\ tekst {dn}} (2u)}} }$
${\ Displaystyle {\ tekst {CN}} ^ {2} (u) = {\ Frac {{\ tekst {dn}} (2u) + {\ tekst {cn}} (2u)} {1 + {\ tekst {dn}} (2u)}}}$
${\ Displaystyle {\ tekst {DN}} ^ {2} (u) = {\ Frac {{\ tekst {DN}} (2u) + {\ tekst {cn}} (2u)} {1 + {\ tekst {cn}} (2u)}}}$

Równania różniczkowe

Zasady wyprowadzania funkcji Jacobiego pozwalają wykazać, że $sn$ , $cn$ i $dn$ są odpowiednio rozwiązaniami następujących równań różniczkowych:

$sn$ : ${\ Displaystyle {\ ddot {x}} + (1 + k ^ {2}) x-2k ^ {2} x ^ {3} = 0}$
$cn$ : ${\ Displaystyle {\ ddot {x}} + (1-2k ^ {2}) x + 2k ^ {2} x ^ {3} = 0}$
$dn$ : ${\ Displaystyle {\ ddot {x}} - (2-k ^ {2}) x + 2x ^ {3} = 0}$

Aplikacje

Proste wahadło wahadłowe

Rozważymy proste wahadło o długości $l$ , oscylujące w polu grawitacyjnym $g$ . Niech $θ będzie$ kątem, jaki tworzy z opadającym pionem, a $θ 0$ jego maksymalną amplitudą. $θ$ spełnia równanie ruchu (wynikające z zachowania energii mechanicznej wahadła):

{\ Displaystyle {{\ kropka {\ theta}} ^ {2}} = 2 {\ Frac {g} {l}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0})}

Rozwiązanie tego równania, które znika w czasie $t$ = 0, weryfikuje:

{\ Displaystyle \ sin \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ prawej) = \ sin \ lewo ({\ Frac {\ theta _ {0}} {2}} \ prawej) \ \ mathrm {sn} (\ omega _ {0} t, k)}

gdzie moduł funkcji Jacobiego otrzymał wartość , a gdzie jest pulsacja prostego wahadła dla małych amplitud. ${\ Displaystyle k = \ sin \ lewo ({\ Frac {\ theta _ {0}} {2}} \ prawej)}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {g} {l}}}}$

Demonstracja

Sprawdźmy, czy zaproponowane rozwiązanie $θ$ spełnia równanie ruchu. Wyprowadzamy równość względem czasu, co daje: ${\ Displaystyle \ sin \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ prawej) = \ sin \ lewo ({\ Frac {\ theta _ {0}} {2}} \ prawej) \ \ mathrm {sn} (\ omega _ {0} t) = k \, \ mathrm {sn} (\ omega _ {0} t)}$

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ cos \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ prawej) \, {\ kropka {\ theta}} = k \, \ omega _ { 0} \, \ mathrm {cn} (\ omega _ {0} t) \, \ mathrm {dn} (\ omega _ {0} t)}

Podnieśliśmy do kwadratu i wyrażamy $cn$ i $dn$ w postaci $sn$ , a następnie używamy tożsamości trygonometrycznych:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {1} {4}} \ cos ^ {2} \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ prawej) {\ kropka {\ theta}} ^ {2} & = k ^ {2} \ omega _ {0} ^ {2} \ left (1- \ mathrm {sn} ^ {2} (\ omega _ {0} t) \ right) \ left ( 1-k ^ {2} \ mathrm {sn} ^ {2} (\ omega _ {0} t) \ right) \\ & = \ omega _ {0} ^ {2} \ left (k ^ {2} -k ^ {2} \, \ mathrm {sn} ^ {2} (\ omega _ {0} t) \ right) \ left (1- \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right) \\ & = \ omega _ {0} ^ {2} \ left (\ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta _ {0}} {2} } \ right) - \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right) \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2} } \ right) \\ & = \ omega _ {0} ^ {2} {\ frac {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}} {2}} \ cos ^ {2} \ left ({ \ frac {\ theta} {2}} \ right) \\\ end {aligned}}}

Wiedząc to , wracamy do zdrowia . ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {g} {l}}}}$ ${\ Displaystyle {{\ kropka {\ theta}} ^ {2}} = 2 {\ Frac {g} {l}} (\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0})}$

Z powyższego obliczenia wynika również, że:

{\ Displaystyle {\ kropka {\ theta}} = 2k \, \ omega _ {0} \, \ mathrm {cn} (\ omega _ {0} t)}

Okres wahadła jest . Funkcja amplitudy rośnie wraz z $t$ i odgrywa rolę „skali czasu” dostosowanej do problemu: dla każdego okresu czasu rzeczywistego wahadła amplituda wzrośnie o $2π$ . Aizochroniczność ruchu jest oczywista, ponieważ okres wahadła zależy od modułu $k$ , a więc od $θ$ $0$ . ${\ Displaystyle T = {\ Frac {4 K (k)} {\ omega _ {0}}}}$ ${\ Displaystyle A (\ omega _ {0} t, k)}$

Dla małych oscylacji $k$ jest bardzo małe, więc funkcja $sn$ jest podobna do sinusa. Przybliżając sinus $θ$ przez $θ$ i robiąc to samo dla $θ 0$ , znajdujemy formułę klasyczną . ${\ Displaystyle \ theta = \ theta _ {0} \ sin (\ omega _ {0} t)}$

Kiedy $θ 0$ zmierza do $π$ , $k$ dąży do 1, a $K ( k )$ dąży do nieskończoności jako . Jeśli $T$ $0$ jest okresem prostego wahadła dla małych oscylacji, to okres wahadła staje się: ${\ Displaystyle \ ln \ lewo ({\ Frac {4} {\ sqrt {1-k ^ {2}}}} \ prawej)}$ ${\ frac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}}$

{\ Displaystyle T = T_ {0} \, {\ Frac {2} {\ pi}} \ ln \ lewo ({\ Frac {8} {\ pi - \ theta _ {0}}} \ prawej)}

Po osiągnięciu limitu $sn$ jest równy funkcji $tanh$ . Mamy wtedy:

{\ Displaystyle \ theta = 2 \ arcsin (\ tanh (\ omega _ {0} t)) = 4 \ arctan (\ exp (\ omega _ {0} t)) - \ pi}

który ma tendencję do $gatunku$ , gdy $t$ ma tendencję do nieskończoności.

Proste wirujące wahadło

W przypadku wahadła animowanego z prędkością dostatecznie dużą, aby się obracało, równanie ruchu zapisujemy:

{\ Displaystyle {\ kropka {\ theta}} ^ {2} = {\ Frac {2g} {l ^ {2}}} [H-l + l \ cos (\ teta)]}

gdzie $H$ jest stałą jednorodną pod względem długości i ściśle większą niż $2 l$ . Rozwiązanie $θ$ jest następnie wyrażane za pomocą funkcji amplitudy Jacobiego w postaci:

{\ Displaystyle \ theta = 2A \ lewo ({\ sqrt {\ Frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t, k \ prawej)}

gdzie podajemy wartość modułu funkcji Jacobiego . ${\ displaystyle k = {\ sqrt {\ frac {2l} {H}}}}$

Demonstracja

Jeśli wyprowadzimy równość w odniesieniu do czasu, otrzymamy:

{\ Displaystyle {\ kropka {\ theta}} = 2 {\ sqrt {\ Frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \ mathrm {dn} \ left ({\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t \ right)}

dlatego też przez podniesienie do kwadratu i uwzględnienie, że : ${\ Displaystyle \ sin \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ prawej) = \ sin \ lewo [A \ lewo ({\ sqrt {\ Frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t \ right) \ right] = \ mathrm {sn} \ left ({\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t \ right)}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ kropka {\ theta}} ^ {2} & = {\ Frac {2Hg} {l ^ {2}}} \ lewo [1-k ^ {2} \ mathrm { sn} ^ {2} \ left ({\ sqrt {\ frac {Hg} {2l ^ {2}}}} \, t \ right) \ right] \\ & = {\ frac {2Hg} {l ^ { 2}}} \ left [1 - {\ frac {2l} {H}} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right] \\ & = { \ frac {2g} {l ^ {2}}} [Hl (1- \ cos (\ theta))] \ end {aligned}}}

zgodnie z oczekiwaniami.

Ruch Poinsota ciała stałego

Ruch ten jest ruchem bryły w ruchu obrotowym, wziętym względem jej środka bezwładności $G$ , gdy moment w porównaniu z $G$ sił zewnętrznych jest zerowy. Dla dowolnej bryły bez określonej symetrii równania ruchu są rozwiązywane za pomocą funkcji eliptycznych Jacobiego. W szczególności trzy składowe chwilowego wektora obrotu w układzie odniesienia połączone z bryłą utworzoną z głównych osi bezwładności są odpowiednio proporcjonalne do $cn$ , $sn$ , $dn$ .

Propagacja fal

Funkcja umożliwia modelowanie wysokości powierzchni wody, gdy przechodzi soliton , na przykład tsunami , gdzie, z wyjątkiem zmiany jednostki, $ξ$ jest wysokością fali, $x$ jest odciętą, na której to mierzymy wysokość, $t$ to czas, a $B$ to parametr uwzględniający głębokość ośrodka. Jest to rzeczywiście jedno z rozwiązań równania Kortewega i Vriesa . Modelowana w ten sposób fala nazywana jest falą cnoidalną . ${\ Displaystyle \ xi: (x, t) \ do \ mathrm {cn} ^ {2} (B (x-ct))}$

Pompowanie optyczne

Funkcja $sn$ interweniuje w celu modelowania wyczerpania pompy w optycznej mieszaninie trójfalowej, która jest używana w optycznych oscylatorach parametrycznych .

Zobacz też

Bibliografia

M. Abramowitz, IA Stegun, Handbook of Mathematical Functions , National Bureau of Standards,1972( czytaj online ), rozdział 16, LM Milne-Thomsona.
Hermann Laurent , Elementary Theory of Eliptical Functions , Gauthier-Villars, Paryż,1880( czytaj online )
Alfred George Greenhill , Funkcje eliptyczne i ich zastosowania , G. Carré, Paryż,1895( czytaj online )
Paul Appell , Émile Lacour, Zasady teorii funkcji eliptycznych i zastosowań , Gauthier-Villars et fils, Paryż,1897( czytaj online )

Linki zewnętrzne

WP Reinhardt, PL Walker, „ Jacobian Elliptic Functions ” . Spośród wielu właściwości funkcji eliptycznych Jacobiego, które podaje ta witryna, można znaleźć w szczególności w rozdziale 22.20 Metody szybkiego numerycznego obliczania tych funkcji.

Uwagi i odniesienia

Abramowitz-Stegun 1972 , str. 569
Abramowitz-Stegun 1972 , str. 571
Abramowitz-Stegun 1972 , s. 570
WP Reinhardt, PL Walker, „ Jacobian Elliptic Functions ” , w dlmf.nist.gov , §22.15, Inverse Functions
Abramowitz-Stegun 1972 , str. 574
Abramowitz-Stegun 1972 , s. 572
WP Reinhardt, PL Walker, „ Jacobian Elliptic Functions ” , at dlmf.nist.gov , §22.13, Derivatives and Differential Equations
L. Landau, E.Lifchitz, Fizyka teoretyczna, mechanika , elipsy, 1994, s. 176
Paul Elwyn Britton, „ Fiber laser pompowane okresowo polerowane urządzenia nieliniowe na bazie niobianu litu ” , na Uniwersytecie w Southampton ,2000, s. 101, rozdz. 5 ("Wzmocnienie i generowanie parametryczne")