Isoperimetric iloraz jest wymiar bez wymiar pozwalający ocenić okrągłości lub sferyczność powierzchni lub stałej. Zależy to od kształtu badanego obiektu, a nie od jego wielkości. Początkowo zdefiniowany w planie porównania dwóch powierzchni o tym samym obwodzie, jest powiązany ze wszystkimi problemami izoperymetrycznymi .
Pojęcie jest następnie uogólniane na górne spacje, zachowując tę samą nazwę.
W źródłach znajdujemy kilka nierównowaŜnych wyraŜeń ilorazu izoperymetrycznego.
Uważamy, że mierzalna powierzchnia S ma prostowalną granicę , to znaczy ma skończoną powierzchnię, a jej obwód ma skończoną długość.
Iloraz izoperymetryczny S można zdefiniować jako stosunek pola powierzchni do pola powierzchni maksymalnej uzyskanej dla tego samego obwodu. Jest to zawsze liczba z przedziału od 0 do 1, która osiąga 1, gdy powierzchnia jest dyskiem.
Jeśli A jest polem S i p jego obwodem, iloraz izoperymetryczny q 1 jest równy:
Przykład: iloraz izoperymetryczny wielokąta foremnego o n bokach to:
Z drugiej strony, iloraz izoperymetryczny można zdefiniować jako stosunek kwadratu obwodu do powierzchni, Przy tym nowym znaczeniu iloraz izoperymetryczny osiąga minimum 4π dla dysku i może przyjmować nieskończenie duże wartości, gdy pole powierzchni S zmierza w kierunku 0, a jego obwód pozostaje stały.
Dla bryły K o objętości V i powierzchni S znajdujemy dwie definicje
Iloraz q 1 waha się od 0 do 1 i osiąga maksimum dla piłki. Iloraz q 2 waha się od 36π do nieskończoności i osiąga minimum dla piłki.
Nie należy mylić ilorazu izoperymetrycznego ciała stałego z jego stosunkiem powierzchni do objętości .
Dla zwartego K w przestrzeni euklidesowej o wymiarze n wyposażonej w miarę Lebesgue'a , iloraz izoperymetryczny jest często definiowany przez równość: gdzie jest granica K.
Ten iloraz osiąga minimum dla piłki.
Czasami znajdujemy trzecią definicję ilorazu izoperymetrycznego: