q - symbol Pochhammera

W kombinatoryce , q -symbol Pochhammera jest symbolem umożliwiającym łatwe odnotowanie pewnych produktów. Jest to podstawowy element q -analogów . Jest to q -analog symbolu Pochhammera zdefiniowanego przez Leo Pochhammera .

Definicja i zapisy

Symbol Q Pochhammera to:

(w;q)nie=∏k=0nie-1(1-wqk)=(1-w)(1-wq)(1-wq2)⋯(1-wqnie-1){\ Displaystyle (a; q) _ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1- aq ^ {2}) \ cdots (1-aq ^ {n-1})}

z

(w;q)0=1{\ Displaystyle (a; q) _ {0} = 1}.

Możemy rozszerzyć notację na nieskończone produkty:

(w;q)∞=∏k=0∞(1-wqk).{\ Displaystyle (a; q) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-aq ^ {k}).}

Czasami zauważamy , gdy jest jasne, że zmienną jest q . (w)nie=(w;q)nie{\ Displaystyle (a) _ {n} = (a; q) _ {n}}

Funkcje generujące partycje

Za pomocą tych symboli można zwięźle przedstawić dużą liczbę serii generujących reprezentujących partycje . Na przykład liczbę p ( n ) partycji liczby całkowitej n można zapisać:

∑nie=0∞p(nie)qnie=∏nie=1∞11-qnie=1(q;q)∞{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} p (n) q ^ {n} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {1-q ^ {n}}} = {\ frac {1} {(q; q) _ {\ infty}}}}.

Zauważ, że znajdujemy tutaj odwrotność funkcji Eulera .

Tożsamości

Jedną z najprostszych tożsamości jest twierdzenie q- dwumianowe (wyrażone tutaj notacją zwartą):

∑nie∈NIE(w)nie(q)nieznie=(wz)∞(z)∞{\ Displaystyle \ suma _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ Frac {(a) _ {n}} {(q) _ {n}}} Z ^ {n} = {\ Frac {(az ) _ {\ infty}} {(z) _ {\ infty}}}},

których szczególnymi przypadkami są dwie tożsamości Eulera:

(z)∞=∑nie∈NIEqnie(nie-1)/2(q)nie(-z)niei1(z)∞=∑nie∈NIEznie(q)nie{\ Displaystyle (z) _ {\ infty} = \ suma _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ Frac {q ^ {n (n-1) / 2}} {(q) _ {n} }} (- z) ^ {n} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ frac {1} {(z) _ {\ infty}}} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N }} {\ frac {z ^ {n}} {(q) _ {n}}}}.

Można wydedukować twierdzenia, takie jak o liczbach pięciokątnych  : lub o iloczynu potrójnym Jacobiego . (q;q)∞=∑k∈Z(-1)kqk(3k-1)/2{\ Displaystyle (q; q) _ {\ infty} = \ suma _ {k \ in \ mathbb {Z}} (- 1) ^ {k} q ^ {k (3k-1) / 2}}

Obliczenia na seriach q umożliwiają również znalezienie równości między obiektami kombinatorycznymi bez formułowania jednoznacznych uprzedzeń, tak jest na przykład w przypadku tożsamości Rogersa-Ramanujana .

Uwagi i odniesienia

1. (w) Eric W. Weisstein , „  Seria Q  ” na MathWorld
2. (w) George Gasper , "  Notatki z wykładów do minikursu wprowadzającego to seria q  " na arxiv.org (Cornell University Library) ,1995( arXiv  math.CA/9509223 , dostęp 26 września 2016 ) ,s.  3
3. Zobacz dowód " q- dwumianu twierdzenia i tożsamości Eulera" w lekcji "Wprowadzenie do teorii liczb" na Wikiversity .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">