Proces ciągły
Pojęcie procesu ciągłego odpowiada rodzajowi procesu stochastycznego używanego do opisu sygnałów fizycznych, ogólnie regularnych funkcji czasu. W artykule omówiono to dość abstrakcyjne pojęcie w kategoriach elementarnych, począwszy od konkretnego zjawiska, fal na morzu, a dodatkowe szczegóły można znaleźć w Procesie stacjonarnym .
Prawdopodobieństwa w zjawisku deterministycznym
Zapis powierzchni morza w danym punkcie zawiera wysokości mierzone w regularnych odstępach czasu. Następnie możemy zbudować histogram, który grupuje różne poziomy w klasy i zobaczyć, że przypomina to prawo Gaussa ; test statystyczny wykaże, że hipoteza nie jest nieuzasadniona (nawet jeśli w konkretnym przypadku fal histogram ma słabą asymetrię, którą można wytłumaczyć fizycznie). Dzięki dalszej analizie możemy również zobaczyć, że histogram wartości szczytowych jest dość zbliżony do prawa prawdopodobieństwa zwanego prawem Rayleigha .
Wyniki te mogą być zaskakujące: jeśli odłożymy na bok szczególne okoliczności (wpływ wiatru, załamywanie fal itp.), Mechanika fal jest dobrze modelowana przez deterministyczne prawa mechaniki płynów. Jak więc wprowadza się prawa prawdopodobieństwa? W tym miejscu pojawia się pojęcie procesu stochastycznego.
Terminologia
Proces stochastyczny jest często nazywany procesem losowym (patrz Rachunek stochastyczny ) lub rzadziej funkcją losową (patrz Prawdopodobieństwo ). To ostatnie wyrażenie pomaga intuicyjnie zrozumieć, co to jest.
Tak jak zmienna losowa jest w rzeczywistości zbiorem liczb, z których można wyodrębnić określoną liczbę, tak funkcja losowa jest zbiorem zwykłych funkcji (przynajmniej w rozważanym tutaj ograniczonym układzie), stąd możemy wyodrębnić określoną funkcję .
Ta szczególna funkcja nazywana jest realizacją procesu. Reprezentuje czasowy aspekt zjawiska, który można scharakteryzować za pomocą średnich czasowych , średnich wartości funkcji podniesionych przy różnych potęgach.
Proces ma również aspekt probabilistyczny, jeśli potraktujemy zbiór wartości w danym czasie jako zmienną losową. Ta ostatnia jest opisana gęstością prawdopodobieństwa lub - co w pewnych warunkach regularności sprowadza się do tego samego - szeregiem momentów statystycznych, które nazywane są średnimi ogólnymi .
Ogólne średnie zależą w zasadzie od momentu, do którego się odnoszą. Jeśli w rzeczywistości nie zależą one od tego, właściwości statystyczne pozostają niezmienne w czasie i mówi się, że proces jest stacjonarny .
Jeśli ponadto średnie czasowe są identyczne ze średnimi ogólnymi, proces ten jest określany jako ergodyczny . W tych warunkach zjawisko jest całkowicie opisane przez jedną realizację. To właśnie pojęcie ergodyczności pozwala odpowiedzieć na postawione na początku pytanie: jak interpretować w kategoriach probabilistycznych zjawisko czasowe, nawet jeśli rządzą nim prawa deterministyczne?
Przykłady
W pewnym sensie najprostszym procesem jest biały szum, który ma identyczną gęstość widmową dla wszystkich częstotliwości. Chociaż nie może istnieć doskonały biały szum, pojęcie to może zapewnić rozsądne przybliżenie dowolnego wzbudzenia słabo tłumionego układu.
Dogłębna analiza zapisów fal prowadzi do potraktowania ich jako sumy nieskończenie nieskończenie małych sinusoid (patrz Analiza widmowa ). Łącząc te sinusoidy z rzekomo niezależnymi losowymi fazami, konstruujemy stacjonarny, ergodyczny i Gaussowski proces losowy . Podobnie jak w przypadku zmiennych losowych , to ostatnie założenie znacznie upraszcza problem. Ze względu na swoją względną prostotę sprawa ta jest szczególnie ważna w najróżniejszych dziedzinach. Czasami jednak trzeba stawić czoła trudniejszym problemom.
W ten sposób, biorąc pod uwagę, podczas różnych lądowań samolotu, siły w łączącej części podwozia, otrzymujemy sygnały, które mają niejasny, tłumiony kształt sinusoidalny i które można zgrupować w procesie. Oczywiste jest, że ogólne średnie nie są stałe, proces nie jest stacjonarny, co wyklucza jakiekolwiek pytania o możliwą ergodyczność.
Z drugiej strony, sygnały o stałych poziomach umiejscowionych między dwoma skrajnościami można oczywiście zinterpretować jako realizację procesu stacjonarnego, ale wtedy średnie czasowe nie są zdefiniowane.
Tych kilka przykładów wskazuje, że ergodyczne procesy stacjonarne są szczególnie interesujące, zwłaszcza jeśli są gaussowskie . W tak konkretnym problemie można nas skłonić do rozważenia procesów niestacjonarnych, a zatem nieergodycznych, kosztem większej ilości danych obserwacyjnych i bardziej skomplikowanego aparatu matematycznego. Natomiast nieergodyczne procesy stacjonarne wydają się być zredukowane do matematycznych ciekawostek.
Rysunek
Książki
- (en) (en) YK Lin , Probabilistic Theory of Structural Dynamics , Nowy Jork, Robert E. Krieger Publishing Company,Lipiec 1976, 368 str. ( ISBN 0882753770 )