Jednoczesna ortogonalizacja
Metoda Gaussa konstruuje ortogonalną bazę dla danej formy kwadratowej na rzeczywistej przestrzeni wektorowej o skończonym wymiarze . Twierdzenie pokazuje istnienie ortogonalnej bazy w tym samym czasie dla dwóch form kwadratowych, z których jedna jest wyprowadzona z iloczynu skalarnego.
Jednoczesna ortogonalizacja w przypadku Euklidesa
Twierdzenie - Niech E będzie przestrzeni euklidesowej . Jeśli q jest formą kwadratową na E , to istnieje ortonormalna baza dla iloczynu skalarnego i ortogonalna dla q .
Dowód -
oznacz iloczyn skalarnyi związaną z nim normę euklidesową(x,y)↦⟨x⋅y⟩{\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ langle x \ cdot y \ rangle \,}x↦‖x‖2.{\ Displaystyle x \ mapsto \ | x \ | ^ {2}.}
- Ponieważ E ma skończony wymiar , sfera jednostkowa jest zwarta zgodnie z twierdzeniem Borela-Lebesgue'a . Funkcja jest ciągły na S . W związku z tym jest tam zwiększany i osiąga tę granicę w pewnym momencie e .S={x∈mi∣‖x‖=1}{\ Displaystyle S = \ {x \ in E \ mid \ | x \ | = 1 \}}fa:x↦q(x)/‖x‖2{\ Displaystyle f: x \ mapsto q (x) / \ | x \ | ^ {2}}
- Jeśli ϕ jest postacią biegunową związaną z q , mamy:q(mi+x)-q(mi)=2ϕ(mi,x)+q(x).{\ Displaystyle q (e + x) -q (e) = 2 \ phi (e, x) + q (x).}Różniczka q at e jest zatem liniową częścią wyrazu po prawej stronie:reqmi(x)=2ϕ(mi,x).{\ Displaystyle Dq_ {e} (x) = 2 \ phi (e, x).}
- Ponieważ e jest ekstremum dla f , różniczka f we e jest koniecznie równa zero, niech0=refami(x)=2ϕ(mi,x)‖mi‖2-2q(mi)⟨x⋅y⟩‖mi‖4{\ Displaystyle 0 = Df_ {e} (x) = {\ Frac {2 \ phi (e, x) \ | e \ | ^ {2} -2q (e) \ langle x \ cdot y \ rangle} {\ | e \ | ^ {4}}}}lub2ϕ(mi,x)=2q(mi)⟨x⋅y⟩{\ Displaystyle 2 \ phi (mi, x) = 2q (e) \ langle x \ cdot y \ rangle}więc trenuj do wszystkiego⟨mi⋅x⟩=0{\ Displaystyle \ langle e \ cdot x \ rangle = 0}2ϕ(mi,x)=0{\ Displaystyle 2 \ phi (e, x) = 0}x∈mi.{\ displaystyle x \ in E.}
- To kończy dowód przez indukcję na wymiar przestrzeni E . W wymiarze 1 jest to oczywiste. Załóżmy, że ta własność jest prawdziwa w wymiarze n - 1. Prosta, której kieruje e, jest w sumie prostopadła do jej prostopadłości:mi=⟨mi⟩⨁⊥⟨mi⟩⊥{\ displaystyle E = \ langle e \ rangle {\ overset {\ perp} {\ bigoplus}} \ langle e \ rangle ^ {\ perp}}ponieważ iloczyn skalarny jest symetryczną formą określoną dodatnio. Hipoteza indukcyjna daje podstawę z ortonormalne dla produktu skalarnego, prostopadłym do cp . Według konstrukcji:
(u2,...,unie){\ Displaystyle (u_ {2}, ..., u_ {n})}⟨mi⟩⊥{\ displaystyle \ langle e \ rangle ^ {\ perp}}
-
⟨mi⋅uja⟩=0{\ displaystyle \ langle e \ cdot u_ {i} \ rangle = 0}a zatem także dlaϕ(mi,uja)=0{\ Displaystyle \ phi (e, u_ {i}) = 0}ja=2,...,nie{\ displaystyle i = 2, \ ldots, n}
- ‖mi‖=1.{\ Displaystyle \ | e \ | = 1.}
Baza odpowiada zatem na to pytanie.
(mi,u2,...,unie){\ displaystyle (e, u_ {2}, ..., u_ {n})}
W przeciwieństwie do redukcji Gaussa, jest to wynik istnienia, który nie wytwarza rozpatrywanej bazy.
Aplikacje
Centrum stożkowaty ma prostopadłe linie symetrii.
Ocena i odniesienie
-
Michèle Audin , Geometry , EDP Sciences ,2006, 3 e ed. , 428 str. ( ISBN 978-2-7598-0180-0 , czytaj online ) , str. 271.
Powiązany artykuł
Twierdzenie spektralne
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">