Proces Ornsteina-Uhlenbecka

W matematyce proces Ornsteina-Uhlenbecka , nazwany na cześć Leonarda Ornsteina i George'a Uhlenbecka, znany również jako proces odwracania średniej , jest procesem stochastycznym opisanym przez stochastyczne równanie różniczkowe

rert=-θ(rt-μ)ret+σreW.t,{\ Displaystyle dr_ {t} = - \ theta (r_ {t} - \ mu) \, dt + \ sigma \, DW_ {t}, \,}

gdzie θ, μ i σ są parametrami deterministycznymi, a W t jest procesem Wienera .

Rozwiązanie

To równanie rozwiązuje się metodą zmiennych stałych . Zastosuj lemat Itō do funkcji, aby uzyskać fa(rt,t)=rtmiθt{\ displaystyle f (r_ {t}, t) = r_ {t} e ^ {\ teta t}}

refa(rt,t)=θrtmiθtret+miθtrert=miθtθμret+σmiθtreW.t.{\ Displaystyle df (r_ {t}, t) = \ teta r_ {t} e ^ {\ teta t} \, dt + e ^ {\ teta t} \, dr_ {t} \, = e ^ {\ theta t} \ theta \ mu \, dt + \ sigma e ^ {\ theta t} \, dW_ {t}. \,}

Całkując od 0 do t , otrzymujemy

rtmiθt=r0+∫0tmiθsθμres+∫0tσmiθsreW.s{\ displaystyle r_ {t} e ^ {\ theta t} = r_ {0} + \ int _ {0} ^ {t} e ^ {\ theta s} \ theta \ mu \, ds + \ int _ {0 } ^ {t} \ sigma e ^ {\ theta s} \, dW_ {s} \,}

skąd widzimy

rt=r0mi-θt+μ(1-mi-θt)+∫0tσmiθ(s-t)reW.s.{\ Displaystyle r_ {t} = r_ {0} e ^ {- \ teta t} + \ mu (1-e ^ {- \ teta t}) + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma e ^ {\ theta (st)} \, dW_ {s}. \,}

Zatem pierwszy moment jest określony (zakładając, że jest to stała) przez: r0{\ displaystyle r_ {0}}

mi(rt)=r0mi-θt+μ(1-mi-θt).{\ Displaystyle E (r_ {t}) = r_ {0} e ^ {- \ teta t} + \ mu (1-e ^ {- \ teta t}).}

s∧t=min(s,t){\ Displaystyle s \ klin t = \ min (s, t)}Izometrię Itō  (en) można wykorzystać do obliczenia kowariancji

cov⁡(rs,rt)=mi[(rs-mi[rs])(rt-mi[rt])]{\ displaystyle \ operatorname {cov} (r_ {s}, r_ {t}) = E [(r_ {s} -E [r_ {s}]) (r_ {t} -E [r_ {t}]) ]}=mi[∫0sσmiθ(u-s)reW.u∫0tσmiθ(v-t)reW.v]{\ Displaystyle = E [\ int _ {0} ^ {s} \ sigma e ^ {\ theta (nas)} \, DW_ {u} \ int _ {0} ^ {t} \ sigma e ^ {\ theta (vt)} \, dW_ {v}]}=σ2mi-θ(s+t)mi[∫0smiθureW.u∫0tmiθvreW.v]{\ displaystyle = \ sigma ^ {2} e ^ {- \ theta (s + t)} E [\ int _ {0} ^ {s} e ^ {\ theta u} \, DW_ {u} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {\ theta v} \, dW_ {v}]}=σ22θmi-θ(s+t)(mi2θ(s∧t)-1).{\ Displaystyle = {\ Frac {\ sigma ^ {2}} {2 \ theta}} \, e ^ {- \ theta (s + t)} (e ^ {2 \ theta (s \ klin t)} - 1). \,}

Możliwe jest również (i często wygodne) przedstawienie (bezwarunkowo) jako przekształconej miary czasu procesu Wienera: rt{\ displaystyle r_ {t}}

rt=μ+σ2θW.(mi2θt)mi-θt{\ displaystyle r_ {t} = \ mu + {\ sigma \ over {\ sqrt {2 \ theta}}} W (e ^ {2 \ theta t}) e ^ {- \ theta t}}

lub z warunkiem ( podanym) jak r0{\ displaystyle r_ {0}}

rt=r0mi-θt+μ(1-mi-θt)+σ2θW.(mi2θt-1)mi-θt.{\ displaystyle r_ {t} = r_ {0} e ^ {- \ theta t} + \ mu (1-e ^ {- \ theta t}) + {\ sigma \ ponad {\ sqrt {2 \ theta}} } W (e ^ {2 \ theta t} -1) e ^ {- \ theta t}.}

Proces Ornsteina-Uhlenbecka (przykład procesu wariancji ograniczonej Gaussa ) dopuszcza stacjonarny rozkład prawdopodobieństwa, w przeciwieństwie do procesu Wienera.

Całkę czasową tego procesu można wykorzystać do wygenerowania szumu o widmie mocy 1 / f .

Podanie

Modelu Vasicek  (i) od zainteresowania jest przykładem procesu Ornstein-Uhlenbeck gdzie współczynniki są pozytywne, a stałą.

Proces CIR , model Coxa, Ingersolla i Rossa (1985) jest rozszerzeniem modelu Vasiceka i procesu Ornsteina-Uhlenbecka, który wprowadza pierwiastek kwadratowy chwilowej stopy procentowej do współczynnika terminu stochastycznego.

Bibliografia

1. (w) GE Uhlenbeck i LS Ornstein , „  O teorii ruchu Browna  ” , Physical Review , vol.  36,1930, s.  823-841

• (fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „  Proces Ornsteina - Uhlenbecka  ” ( patrz lista autorów ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">