Ostrowski hrabia

W matematyce numeracja Ostrowskiego , nazwana na cześć Aleksandra Ostrowskiego , jest systemem liczbowym opartym na ciągłym rozszerzaniu ułamków ; jest to niestandardowy system numeracji pozycyjnej dla liczb całkowitych i rzeczywistych .

Notacje

Pozwolić dodatni irracjonalna liczba z dalszej ekspansji frakcji $\alfa$

{\ Displaystyle \ alpha = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + \ cdots}) }}}}}}

Niech ciąg mianowników zbieżnych do , dany przez ${\ displaystyle (q_ {n})}$ ${\ displaystyle p_ {n} / q_ {n}}$ $\alfa$

{\ displaystyle q_ {n} = a_ {n} q_ {n-1} + q_ {n-2}}

Ustawiamy , gdzie jest operator Gaussa-Kuźmina-Wirsinga dany przez , i ; wtedy mamy ${\ Displaystyle \ alfa _ {n} = T ^ {n} (\ alfa)}$ $T$ ${\ Displaystyle T (x) = \ {1 / x \}}$ ${\ Displaystyle \ beta _ {n} = (- 1) ^ {n + 1} \ alfa _ {0} \ alfa _ {1} \ cdots \ alfa _ {n}}$

\ .

{\ Displaystyle \ beta _ {n} = a_ {n} \ beta _ {n-1} + \ beta _ {n-2}}

Reprezentacja liczb rzeczywistych

Dowolną dodatnią liczbę rzeczywistą można zapisać jako $x$

{\ Displaystyle x = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ beta _ {n} \}

gdzie współczynniki weryfikują nierówność, a jeśli istnieje równość , to . $b_n$ $b_ {n} \ leq a_ {n}$ ${\ displaystyle b_ {n} = a_ {n}}$ ${\ displaystyle b_ {n-1} = 0}$

Reprezentacja liczb naturalnych

Dowolną dodatnią liczbę całkowitą można jednoznacznie zapisać jako $NIE$

{\ Displaystyle N = \ suma _ {n = 1} ^ {k} b_ {n} q_ {n} \}

gdzie współczynniki weryfikują nierówność, a jeśli wtedy . ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik b_ {n} \ równoważnik a_ {n}}$ ${\ displaystyle b_ {n} = a_ {n}}$ ${\ displaystyle b_ {n-1} = 0}$

Jeśli jest to stosunek złoty , a cząstkowe ilorazy są równe 1, w mianowniku q n to liczba Fibonacciego i znaleźć twierdzenie Zeckendorf na Fibonacciego kodowania dodatnimi liczbami całkowitymi sumy różnych Fibonacciego nie ciągłych. ${\ Displaystyle \ alpha = \ varphi}$ $rok$ $q_n$

Powiązany artykuł

Pełny zestaw (en)

Uwagi i odniesienia

(en) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego " Numeracja Ostrowskiego " ( zobacz listę autorów ) .

Jean-Paul Allouche i Jeffrey Shallit , Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations , Cambridge University Press ,2003, 571 str. ( ISBN 978-0-521-82332-6 , zbMATH 1086.11015 , czytaj online ).
Chiara Epifanio, Christiane Frougny, Alessandra Gabriele, Filippo Mignosi i Jeffrey Shallit , „ Sturmian graphs and integer Representations over numeration systems ”, Discrete Applied Mathematics , vol. 160, n kość 4-5,2012, s. 536–547 ( DOI 10.1016 / j.dam.2011.10.029 , zbMATH 1237.68134 )
Alexander Ostrowski , „ Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen ”, Hamb. Abh. , vol. 1,1921, s. 77–98
(en) N. Pytheas Fogg (pseudonim), Valérie Berthé , Sébastien Ferenczi, Christian Mauduit i Anne Siegel (redaktorzy), Substitutions in dynamics, arytmetics and combinatorics , Berlin / Heidelberg / New York, Springer-Verlag , coll. "Lecture Notes in matematyki" ( N O 1794)2002, 402 pkt. ( ISBN 3-540-44141-7 , zbMATH 1014.11015 )