Skontaktuj się z mechaniką

W budowie maszyn , mechanika kontaktu opisuje zachowanie struktur w kontakcie lub przeznaczonych do kontaktu. Obejmuje modelowanie (w postaci równań, nierówności, wtrąceń, rzutów) zachowania tych konstrukcji mechanicznych oraz opracowanie algorytmów zdolnych do generowania przybliżenia numerycznego, którego właściwości są kontrolowane (zbieżność, stabilność).

Mechanika kontaktowa to stosunkowo trudny temat. Główna trudność wynika z tzw. Warunków niepenetrujących, które uniemożliwiają zajmowanie przez stykające się struktury, przynajmniej w części, tej samej domeny przestrzennej, jak również z warunków tarcia . Warunki te stwarzają trudności teoretyczne i numeryczne.

Jednostronny kontakt statyczny

W tej sekcji pomija się tarcie, a także czas. Wymieniono tylko warunki jednostronnego kontaktu .

System z jednym stopniem swobody

W tej sekcji, aby ustalić (bardzo) uproszczone ramy mechaniki kontaktu, przyjęto tylko jeden stopień swobody, jak pokazano na rysunku 1: wyidealizowany system obejmuje zatem przemieszczenie masy . Masa ta jest początkowo, tj. Gdy system jest w spoczynku (zignorowana siła zewnętrzna ), oddzielona od sztywnej ściany na odległość zwaną prześwitem . Pod wpływem siły zewnętrznej masa jest wprawiana w ruch. Sztywność , oczywiście wielkość ściśle dodatnia (można od razu zauważyć, na rysunku 2, że ujemna sztywność eliminuje albo wyjątkowość rozwiązania, albo jego istnienie), będzie dążyła do jej zachowania. Przy tym założeniu dostępnych jest kilka równoważnych preparatów. Rozważany przykład jest szczególnie prosty. Nie jest to bynajmniej kwestia wyczerpującego sformułowania, ale skupienia się na dobrym sformułowaniu warunków kontaktu. Ogólne ramy, w tym w szczególności bogatsza kinematyka, szybko implikują użycie ciężkich notacji, które nie pomagają w zrozumieniu pojęć. $u$ $m$ $m$ $fa$ $re$ $fa$ $k$

Jednostronne prawo kontaktu

Prawo jednostronnego kontaktu ciała stałego ze sztywną przeszkodą zostało zaproponowane przez Signorina i zostało zapisane

u-re≤0,λ≥0,(u-re)⋅λ=0{\ displaystyle ud \ leq 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad (ud) \ cdot \ lambda = 0}

{\ displaystyle ud \ leq 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad (ud) \ cdot \ lambda = 0}

gdzie jest siła nacisku. Opisuje dwie konfiguracje:

\ lambda

kontakt nieaktywny (lub gra otwarta): i ; ${\ displaystyle u \ leq d}$ $\ lambda = 0$
aktywny kontakt (lub zamknięta gra): i . ${\ displaystyle u = d}$ ${\ Displaystyle \ lambda \ geq 0}$

Te trzy warunki, zapisane w postaci dwóch nierówności i równości, nazywane są warunkami komplementarności . To ich kombinatoryczny aspekt utrudnia mechanikę kontaktu.

Równania ruchu

Równania rządzące stanem układu łączą równanie statyki (zasada Newtona) z prawem Signorina. Są one określone w następujący sposób:

ku+λ=fau-re≤0,λ≥0,(u-re)⋅λ=0{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i ku + \ lambda = f \\ & u-d \ równoważnik 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad (ud) \ cdot \ lambda = 0 \ koniec {wyrównane}}}

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i ku + \ lambda = f \\ & u-d \ równoważnik 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad (ud) \ cdot \ lambda = 0 \ koniec {wyrównane}}}

Pierwsze równanie opisuje równowagę statyczną układu, a mianowicie, że suma sił zewnętrznych (siła przywracająca inicjowana przez sztywność, siła zewnętrzna i siła docisku) działających na masę wynosi zero. Druga linia podsumowuje warunki Signorini . Wyrażają one fakt, że masa nie może przeniknąć sztywnej ściany pod działaniem sił zewnętrznych, jak wyjaśniono powyżej.

m

W powyższym przykładzie równania są bardzo łatwe do rozwiązania. Istnieją dwie niewiadome, a mianowicie i , oraz dwa zbiory opisane w dwóch poprzednich wierszach: te dwa zbiory z konieczności przecinają się w jednym punkcie. Po przypisaniu wartości liczbowych do wielkości mechanicznych w grze wystarczy omówić dwie sytuacje: $u$ $\ lambda$

nieaktywny kontakt (lub otwarta gra) :, albo i ; ${\ displaystyle u \ leq d}$ ${\ displaystyle u = f / k}$ $\ lambda = 0$
aktywny kontakt (lub zamknięta gra): i . ${\ displaystyle u = d}$ ${\ displaystyle \ lambda = f-kd}$

Jak wspomniano wcześniej, aspekt kombinatoryczny jest taki, że przed znalezieniem rozwiązania należy przetestować wszystkie możliwe konfiguracje. Jest to szybkie dla systemu z jednym stopniem swobody, ale znacznie bardziej wymagające dla dużych systemów.

Minimalizacja energii potencjalnej

Poprzednie równania można przepisać, minimalizując energię pod wpływem jednostronnego naprężenia. Stosowane są narzędzia optymalizacyjne . W przypadku tej bardzo uproszczonej konfiguracji chodzi o formalne napisanie:

min12ku2-faupod przymusem u-re≤0{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tekst {min}} \ i {\ Frac {1} {2}} ku ^ {2} -fu \\ {\ tekst {pod ograniczeniem}} & u-d \ leq 0 \ end {aligned}}}

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tekst {min}} \ i {\ Frac {1} {2}} ku ^ {2} -fu \\ {\ tekst {pod ograniczeniem}} & u-d \ leq 0 \ end {aligned}}}

Twierdzenie Karusha Kuhna i Tuckera pozwala bez trudu znaleźć poprzednie równania. Nierówność zmienna

W wariacyjnymi nierówności są mniej znane inżynierom w ogóle. Ustalenie równań wymaga określonego składnika, jakim jest przestrzeń przemieszczeń

dopuszczalnych , czyli takich, które nie naruszają warunku nieprzenikania, tj . Sformułowanie wymaga dopuszczalnego przemieszczenia wirtualnego (nazywanego również przez matematyków funkcją testową ), należącego do zbioru . To jest napisane:

{\ mathbb K}

{\ Displaystyle \ mathbb {K} = \ {u \, | \, u \ równoważnik d \}}

{\ mathbb K}

Znajdź przemieszczenie, takie jak . ${\ Displaystyle u \ in \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ forall v \ in \ mathbb {K}, \ quad ku (vu) \ geq f (vu)}$

Demonstracja

Na razie rozważ wirtualny ruch, który nie podlega żadnym ograniczeniom. Jeśli jest to pożądane rozwiązanie, ilość pozostaje dość dowolna. Mnożenie równania równowagi przez implikuje: $v$ $u$ $widziany$ $widziany$

∀v,ku(v-u)+λ(v-u)=fa(v-u){\ displaystyle \ forall v \ quad ku (vu) + \ lambda (vu) = f (vu)}

{\ displaystyle \ forall v \ quad ku (vu) + \ lambda (vu) = f (vu)}

pamiętając, że rozwiązanie musi spełniać warunki Signorini. Jest to równoważne z: ∀v,ku(v-u)+λ(v-re-(u-re))=fa(v-u){\ Displaystyle \ forall v \ quad ku (vu) + \ lambda (vd- (ud)) = f (vu)}

{\ Displaystyle \ forall v \ quad ku (vu) + \ lambda (vd- (ud)) = f (vu)}

który staje się, używając ,

{\ Displaystyle \ lambda (ud) = 0}

∀v,ku(v-u)=fa(v-u)-λ(v-re){\ Displaystyle \ forall v \ quad ku (vu) = f (vu) - \ lambda (vd)}

{\ Displaystyle \ forall v \ quad ku (vu) = f (vu) - \ lambda (vd)}

Ponieważ przyjęcie dostatecznego poziomu jest równoznaczne z:

{\ Displaystyle \ lambda \ geq 0}

v

{\ displaystyle v \ leq d}

∀v∈K.,ku(v-u)≥fa(v-u){\ displaystyle \ forall v \ in \ mathbb {K}, \ quad ku (vu) \ geq f (vu)}

{\ displaystyle \ forall v \ in \ mathbb {K}, \ quad ku (vu) \ geq f (vu)}

Aby spełnić pierwszy warunek Signorini, wystarczy przyjąć , stąd deklarowana receptura.

{\ Displaystyle u \ in \ mathbb {K}}

Podstawą tego podejścia są narzędzia pochodzące z analizy wypukłej, ponieważ zbiór jest wypukły: jest także podzbiorem przestrzeni przemieszczenia, który nie musi spełniać więzów kontaktowych. Nie wchodząc w szczegóły, można zauważyć, że siła nacisku nie pojawia się wyraźnie w recepturze. Jest to jedna z jego zalet, ponieważ nie poczyniono żadnych założeń . Ta zaleta nie jest oczywista w obecnej konfiguracji, ale występuje w bardziej zaawansowanych strukturach matematycznych. ${\ mathbb K}$ $\ lambda$ $\ lambda$

To sformułowanie jest również znane jako sformułowanie w przemieszczeniu lub sformułowanie pierwotne, ponieważ siła nacisku nie pojawia się wyraźnie.

Preparat w sprayu

Przywołane wcześniej równania Newtona, wiążące równości i nierówności, można przepisać tylko w postaci równości, dzięki operatorowi rzutowania . W obecnej konfiguracji ten operator rzutowania jest równoważny funkcji

max(w,b)={w gdyby w>bb inny{\ Displaystyle \ max (a, b) = \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} & a {\ tekst {si}} a> b \\ & b {\ tekst {inaczej}} \ koniec {wyrównane}} \ right.}

{\ Displaystyle \ max (a, b) = \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} & a {\ tekst {si}} a> b \\ & b {\ tekst {inaczej}} \ koniec {wyrównane}} \ right.}

Zapis równowagi statycznej pozostaje niezmieniony, ale trzy warunki Signorini są przekształcane tak, że zbiór staje się (to tylko jeden przykład między innymi, ponieważ przekształcenie trzech warunków Signorini w równość n nie jest unikalne): ku+λ=faλ-max(0,vs(u-re)+λ)=0{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i ku + \ lambda = f \\ & \ lambda - \ max (0, c (ud) + \ lambda) = 0 \ koniec {wyrównane}}}

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i ku + \ lambda = f \\ & \ lambda - \ max (0, c (ud) + \ lambda) = 0 \ koniec {wyrównane}}}

gdzie jest ściśle dodatnią arbitralną stałą.

vs

Demonstracja

Graficzne dowody równoważności między warunkami Signorini a równością z operatorem projekcji są wyraźne. Przejdźmy krok po kroku:

Hipoteza implikuje, a co za tym idzie, ze względu na ścisłą pozytywność . ${\ Displaystyle c (ud) + \ lambda <0}$ $\ lambda = 0$ ${\ displaystyle ud <0}$ $vs$
Hipoteza implikuje iw konsekwencji . ${\ displaystyle c (ud) + \ lambda> 0}$ ${\ displaystyle ud = 0}$ $\ lambda> 0$

Innymi słowy, zestaw opisany przez jest identyczny z zestawem opisanym przez warunki Signorini. Te dwa sformułowania są równoważne, ponieważ wykazanie, że warunki Signorini sugerują, jest natychmiastowe. ${\ Displaystyle \ lambda - \ max (0, c (ud) + \ lambda) = 0}$ ${\ Displaystyle \ lambda - \ max (0, c (ud) + \ lambda) = 0}$

To sformułowanie jest interesujące w tym sensie, że do rozwiązania układu równań można użyć nie-gładkiego solwera Newtona . Należy jednak zachować ostrożność, ponieważ niska regularność funkcji może stanowić problem. $\ max$

Włączenie

Powyższe zmiany można również wyrazić w formie włączenia. Aby to zrobić, musimy przepisać funkcję multivocal zdefiniowaną przez warunki Signorini, a mianowicie:

jotNIE(u)={0 gdyby u<re[0,+∞[ gdyby u=re∅ Jeśli nie{\ Displaystyle J_ {N} (u) = \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} i 0 && {\ tekst {si}} u <d \\ & [0, + \ infty [&& {\ tekst {si] }} u = d \\ & \ emptyset && {\ text {inaczej}} \ end {aligned}} \ right.}

{\ Displaystyle J_ {N} (u) = \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} i 0 && {\ tekst {si}} u <d \\ & [0, + \ infty [&& {\ tekst {si] }} u = d \\ & \ emptyset && {\ text {inaczej}} \ end {aligned}} \ right.}

Taki jest rzeczywiście zespół zilustrowany na rysunkach 2 i 3. Sformułowanie wygląda zatem następująco: ku+λ=faλ∈jotNIE(u){\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i ku + \ lambda = f \\ & \ lambda \ w J_ {N} (u) \ koniec {wyrównane}}}

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i ku + \ lambda = f \\ & \ lambda \ w J_ {N} (u) \ koniec {wyrównane}}}

lub innymi słowy . Potrzeba zastosowania inkluzji, a nie równości wynika z faktu, że zbiór nie jest jednowartościowy dla wszystkich, aw szczególności dla . W żaden sposób nie oznacza to, że rozwiązanie problemu nie jest wyjątkowe, jak mogą pomyśleć niektórzy czytelnicy niezaznajomieni z tym formalizmem.

{\ displaystyle ku-f \ in -J_ {N} (u)}

{\ Displaystyle J_ {N} (u)}

u

{\ displaystyle u = d}

Systemy z kilkoma stopniami swobody

Tarcie statyczne

System z jednym stopniem swobody

Równania ruchu

Jednostronny kontakt w dynamice

System z jednym stopniem swobody

Wykorzystano klasyczny przykład odbijającej się piłki. W istocie chodzi o system o stopniu swobody podobnym do przykładu w statyce, ale sztywność została wyeliminowana, aby uprościć rozwój. $k$

Równania ruchu

Na początku można pokusić się o dodanie do równań statycznych jedynie terminu bezwładności, co doprowadzi do:

mu¨+λ=msolu-re≤0,λ≥0,(u-re)⋅λ=0{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & m {\ ddot {u}} + \ lambda = mg \\ & u-d \ równoważnik 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad (ud) \ cdot \ lambda = 0 \ end {aligned}}}

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & m {\ ddot {u}} + \ lambda = mg \\ & u-d \ równoważnik 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad (ud) \ cdot \ lambda = 0 \ end {aligned}}}

Jednak wykazanie kilku fizycznie akceptowalnych rozwiązań jest stosunkowo proste. Problem jest więc źle postawiony, ponieważ nie ma jednoznaczności rozwiązania. W istocie konieczne jest dodanie prawa, które pozwoli odzyskać wyjątkowość. Jest to konwencjonalnie osiągane dzięki prawu uderzenia, które łączy prędkości piłki przed i po uderzeniu, gdy gra jest zamknięta, tj .

{\ displaystyle u = d}

Bibliografia

Vincent Acary (2001), Wkład w mechaniczne i cyfrowe modelowanie budynków murowanych , praca doktorska
Pierre Alart (1997), Uogólniona metoda Newtona w mechanice kontaktu . Journal of Pure and Applied Mathematics, tom 76, str. 83-108
Houari Boumediène Khenous (2005), Problemy jednostronnego kontaktu z tarciem Coulomba w elastostatyce i elastodynamice. Studia matematyczne i rozdzielczość numeryczna , praca doktorska

Uwagi i odniesienia