Model Blacka-Scholesa

Model Blacka-Scholesa służy do oznaczenia dwóch bardzo podobnych pojęć:

model Blacka-Scholesa lub Blacka-Scholesa-Mertona, który jest matematycznym modelem rynku akcji , w którym cena akcji jest procesem stochastycznym w czasie ciągłym ; w przeciwieństwie do „ modelu Coxa Rossa-Rubinsteina ”, w którym następuje proces stochastyczny w czasie dyskretnym (por. procesy stochastyczne są losowymi funkcjami czasu);
częściowy równanie różniczkowe Black Scholes jest równaniem spełnione przez cenę pochodnej pierwotną.

Robert C. Merton jako pierwszy opublikował artykuł rozwijający matematyczny aspekt modelu wyceny opcji , powołując się na prace Fischera Blacka i Myrona Scholesa . Te, opublikowane w 1973 roku , opierają się na rozwoju teoretyków, takich jak Louis Bachelier czy Paul Samuelson . Podstawowym wkładem modelu Blacka i Scholesa jest powiązanie ceny domyślnej opcji ze zmianami ceny aktywów bazowych.

Robert Merton i Myron Scholes otrzymali w 1997 r . Nagrodę Banku Szwecji w dziedzinie nauk ekonomicznych ku pamięci Alfreda Nobla za swoją pracę. Fischer Black, który zmarł w 1995 r., A zatem nie kwalifikował się, został wymieniony jako współtwórca.

Założenia i model

Model Blacka-Scholesa opiera się na kilku warunkach:

cena instrumentu bazowego S t podąża za geometrycznym ruchem Browna przy stałej zmienności i stałym dryfcie : $\ sigma$ $\ mu$

{\ Displaystyle Pr [{\ Frac {\ Delta p_ {t} -E (\ Delta p_ {t})} {\ sigma (\ Delta p_ {t})}} <{\ Frac {VaR_ {q} -E (\ Delta p_ {t})} {\ sigma (\ Delta p_ {t})}}] = 1-q}

jest procesem Wienera ,

{\ Displaystyle \ phi ^ {-} 1 (1-q)}

jest procesem Wienera ,

{\ Displaystyle VaR_ {q} = {E (\ Delta p_ {t})} - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p_ {t})}

jest procesem Wienera ,

{\ Displaystyle VaR_ {q} = - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p_ {t})}

jest procesem Wienera ,

{\ Displaystyle VaR_ {q} = {E (\ Delta p _ {\ textbf {P}})} - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p _ {\ textbf {P}}) }

jest procesem Wienera ,

{\ displaystyle ES_ {p} = E [X | X> VaR_ {p}]}

jest procesem Wienera ,

{\ Displaystyle ES_ {p} = {\ Frac {1} {p}} \ Displaystyle \ int _ {0} ^ {p} VaR (_ {\ theta}) (X) \ \, \ mathrm {d} \ theta }

jest procesem Wienera ;

nie ma możliwości arbitrażu;
czas jest funkcją ciągłą ;
istnieje możliwość krótkiej sprzedaży ;
nie ma kosztów transakcyjnych;
istnieje wolna od ryzyka , znana z góry i stała stopa procentowa;
wszystkie bazowe są doskonale podzielne (na przykład można kupić 1/100 th o akcję);
w przypadku akcji nie wypłaca dywidendy pomiędzy wyceną opcji a jej wygaśnięciem.

Każda z tych hipotez jest niezbędna do udowodnienia wzoru.

Kiedy wszystkie te hipotezy są spełnione, mówimy wtedy o modelu Blacka-Scholesa lub mówimy, że jesteśmy w przypadku Blacka-Scholesa. Model z założenia nie odpowiada rzeczywistości rynków finansowych. Ale uogólnienie użycia tego modelu odnosi się do pojęcia „racjonalnej mimikry” (a dokładnie w tym przypadku „irracjonalnej”), która powoduje zjawisko „samospełniającego się” podejmowania decyzji. Na przykład, kiedy pasterz trzody wskakuje do wody, a jego owce podążają za nim, możemy przewidzieć i wywnioskować, że stado i pasterz będą mokrzy. Wynik końcowy jest istotny, ale początkowa hipoteza jest mniej istotna.

Formuła Blacka-Scholesa

Wzór Blacka-Scholesa umożliwia obliczenie teoretycznej wartości opcji europejskiej na podstawie następujących pięciu danych:

${\ mathcal {}} S_ {0}$ aktualna wartość akcji bazowej
${\ mathcal {}} T$ czas pozostały do wyboru przed wygaśnięciem (wyrażone w latach),
${\ mathcal {}} K.$ cena wykonania ustalona przez opcję,
${\ mathcal {}} r$ stopę procentową wolną od ryzyka,
${\ mathcal {}} \ sigma$ zmienność kursu akcji.

Jeśli pierwsze cztery dane są oczywiste, zmienność aktywów jest trudna do oszacowania. Dwóch analityków może mieć odmienne zdanie na temat wartości do wyboru. ${\ mathcal {}} \ sigma$ ${\ mathcal {}} \ sigma$

Teoretyczna cena opcji kupna , która daje prawo, ale nie zobowiązuje do zakupu aktywa S po wartości K w dniu T, charakteryzuje się jej zwrotem : $({\ mathcal {S}} _ {{T}} - K) ^ {{+}} = \ max (S _ {{T}} - K; 0)$

Wynika to z oczekiwania przy neutralnym ryzyku prawdopodobieństwa zaktualizowanej spłaty terminala .

${\ Displaystyle C = \ mathbb {E} ({\ tekst {Wypłata}} \ razy e ^ {- rT}) ~}$ ,

albo wzór Blacka-Scholesa:

${\ Displaystyle C (S_ {0}, K, r, T, \ sigma) = S_ {0} {\ mathcal {N}} (d_ {1}) - Ke ^ {- rT} {\ mathcal {N} } (d_ {2})}$

Podobnie, teoretyczna cena opcji sprzedaży wymaganej do spłaty jest obliczana przez: $(K - {\ mathcal {S}} _ {{T}}) ^ {{+}} = \ max (K-S _ {{T}}; 0)$

${\ Displaystyle P (S_ {0}, K, r, T, \ sigma) = - S_ {0} {\ mathcal {N}} (- d_ {1}) + Ke ^ {- rT} {\ mathcal { N}} (- d_ {2})}$

${\ mathcal {N}}$ funkcja dystrybucji zredukowanego wyśrodkowanego prawa normalnego , tj. ${\ mathcal {N}} \ left (0,1 \ right)$ ${\ mathcal {N}} (x) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{x}} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {{- {\ frac {1} {2}} u ^ {2}}} od$
$d_ {1} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {S_ {0}} {K}} \ right) + \ left (r + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) T \ right]$
$d_ {2} = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {T}}$

Możemy również zastosować wzór w odwrotnej kolejności. Biorąc pod uwagę cenę opcji notowaną na rynkach, jaką wartość należy wybrać, aby wzór Blacka-Scholesa dał dokładnie taką cenę? W ten sposób otrzymujemy implikowaną zmienność, która ma duże znaczenie praktyczne i teoretyczne. ${\ mathcal {}} \ sigma$

Demonstracja

Kalkulacja ceny europejskiej opcji wypłaty opiera się na formule , którą tutaj akceptujemy (oczekiwanie przyjmuje się jako prawdopodobieństwo neutralne pod względem ryzyka). $godz$ $C = {\ mathbb {E}} [e ^ {{- rT}} h]$

Cena wezwania europejskiego z terminem zapadalności T i wykonaniem K jest zapisana:

${\ begin {aligned} C & = {\ mathbb {E}} [e ^ {{- rT}} (S_ {T} -K) {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K }}] \\ & = e ^ {{- rT}} {\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] - Ke ^ {{-rT}} {\ mathbb {E}} [{1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] \\ & = e ^ {{- rT}} {\ mathbb { E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] - Ke ^ {{- rT}} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) \ end {aligned}}$

Te dwa ostatnie warunki można obliczyć jawnie, używając wyrażenia ceny instrumentu bazowego. Dlatego zaczniemy od ustalenia tego wyrażenia. Obejmuje to prawdopodobieństwo neutralne pod względem ryzyka, co oznacza, że dryf jest (lub r-a ', gdzie a' jest stopą dywidendy) . $r$ ${\ frac {dS_ {t}} {S_ {t}}} = rdt + \ sigma dW_ {t}$

Uważamy, nowe procesy , takie jak: . Wzór Itô zastosowany do uzyskania : $(Z_ {t}) _ {{0 \ leq t \ leq T}}$ $Z_ {t} = ln (S_ {t})$ $Z$

${\ begin {aligned} dZ_ {t} & = {\ frac {\ partial ln} {\ Partial x}} (S_ {t}) dS_ {t} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ części ^ {2} ln} {\ części ^ {2} x}} (S_ {t}) d <S, S> _ {t} \\ & = (r - {\ frac {\ sigma ^ { 2}} {2}}) dt + \ sigma dW_ {t} \ end {aligned}}$

Całkując ostatnią linię, dochodzimy do , a następnie wykorzystując fakt, że otrzymujemy pożądany wzór: $Z_ {t} = Z_ {0} + (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t + \ sigma W_ {t}$ $S_ {t} = e ^ {{Z_ {t}}}$

$S_ {t} = S_ {0} e ^ {{(r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t + \ sigma W_ {t}}}$

Domyślnie wykorzystaliśmy tutaj fakt, że proces jest ściśle pozytywny. Możemy udowodnić ten wynik, pokazując, że znaleziony proces jest unikalnym rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego . W tym celu możemy zastosować formułę Itô do procesu i pokazać, że jest on stały. $S$ $dS_ {t} = rS_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t}$ $\ left (S_ {t} e ^ {{- (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t- \ sigma W_ {t}}} \ right) _ {t}$

Zwróć uwagę, że zmienna losowa ma rozkład normalny . $W_t$ ${\ mathcal {N}} (0, t)$

Mamy : ${\ begin {aligned} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) & = {\ mathbb {P}} \ left ((r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2} }) T + \ sigma W_ {T}> ln ({\ tfrac {K} {S_ {0}}}) \ right) \\ & = {\ mathbb {P}} \ left ({\ tfrac {1} {{\ sqrt {T}}}} W_ {T}> {\ frac {ln ({\ tfrac {K} {S_ {0}}}) - (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) T} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ right) \\ & = {\ mathbb {P}} (G> -d_ {2}) \ end {aligned}}$

Gdzie i . $G \ sim {\ mathcal {N}} (0,1)$ $d_ {2} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ left [ln ({\ tfrac {S_ {0}} {K}}) + (r - {\ frac { \ sigma ^ {2}} {2}}) T \ right]$

Jako i mają to samo prawo: $sol$ $-SOL$

${\ begin {aligned} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) & = {\ mathbb {P}} (- G> -d_ {2}) \\ & = {\ mathbb {P} } (G <d_ {2}) \\ & = N (d_ {2}) \ end {aligned}}$

Gdzie jest funkcja dystrybucji zredukowanego wyśrodkowanego Gaussa. $NIE(.)$

Przyjrzyjmy się teraz obliczeniu pierwszego członu. Postępując zgodnie z tymi samymi poprzednimi krokami, można łatwo zauważyć, że:

${\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] = S_ {0} {\ mathbb {E}} \ left [e ^ { {(r - {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}}) T + \ sigma {\ sqrt {T}} G}} {1 \! \! 1} _ {{G> -d2} } \ right]$

W związku z tym,

${\ begin {aligned} e ^ {{- rT}} {\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] & = S_ { 0} \ int _ {{{\ mathbb {R}}}} {1 \! \! 1} _ {{x> -d_ {2}}} e ^ {{\ tfrac {-x ^ {2} } {2}} + \ sigma {\ sqrt {T}} x - {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}} T}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi} }}} \\\\ & = S_ {0} \ int _ {{- d_ {2}}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- {\ tfrac {1} {2}} (x - \ sigma {\ sqrt {T}}) ^ {2}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \\ & = S_ {0} \ int _ {{- d_ {2} - \ sigma {\ sqrt {T}}}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- {\ tfrac {x ^ {2}} {2}}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \\ & = S_ {0} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{d_ {1}}} e ^ {{- {\ tfrac {x ^ {2}} {2}}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} \\ & = S_ {0} N (d_ {1}) \ end {aligned}}$

Wreszcie, łącząc dwa ostatnie wyniki, otrzymujemy: $C = S_ {0} N (d_ {1}) - Ke ^ {{- rT}} N (d_ {2})$

Opinie

Matematyk Benoît Mandelbrot poprzez swoje liczne prace na ten temat całkowicie kwestionuje słuszność teorii Harry'ego Markowitza i jej następstw CAPM , opracowanej przez Williama F. Sharpe'a i formułę Blacka-Scholesa. Uważa, że te teorie, jakkolwiek piękne mogą się wydawać i są tak proste w zastosowaniu, są całkowicie oderwane od realiów rynków finansowych. Miażdżącej krytyce Rolka (w) pozuje tautologiczna lub niemożliwe do przestrzegania portfela rynkowego. Wnioski z modelu były wielokrotnie kwestionowane podczas różnych krachów giełdowych. Doprowadziły do opracowania zasad zarządzania ryzykiem, które można uznać za nieodpowiedzialne ze strony instytucji finansowych.

Jedną z często pojawiających się uwag krytycznych jest fakt, że te teorie opierają się na rozkładzie normalnym (prawo Gaussa lub „krzywa dzwonowa”), który znacznie nie docenia „nieprawdopodobnych” wydarzeń, takich jak kryzysy czy katastrofy w tamtych czasach. rzadkie niż przewiduje to prawo. Jednak łatwo jest rozwiązać ten problem, biorąc pod uwagę dostosowaną zmienność (patrz uśmiech zmienności ). Kolejny problem: założenia, na których opierają się te teorie, są bardzo nierealistyczne (w szczególności racjonalność inwestorów ...).

Pomimo całej tej krytyki, model Blacka i Scholesa pozostaje wzorcem wśród profesjonalistów i naukowców ze względu na swój (stosunkowo) prosty i praktyczny charakter.

Rozwiązanie równania

Ciągłe zwroty

Proporcjonalne zwroty

litery greckie

Greckie litery używane w modelu Blacka-Scholesa są następujące:

Na wezwanie i put

$\ Delta = {\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe S}}$
$\ Gamma = {\ frac {\ Partial ^ {2} P} {\ Part S ^ {2}}}$
$\ Theta = - {\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe T}}$
$\ rho = {\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe R}}$
${\ mathcal {V}} = {\ frac {\ częściowe P} {\ częściowe V}}$

Wzory wyprowadzania

Znaczenie historyczne i gospodarcze

Został opublikowany w 1973 roku i był rozszerzeniem pracy Paula Samuelsona i Roberta Mertona . Francuski matematyk Louis Bachelier zainaugurował studia nad tym tematem w 1900 roku . Podstawowa intuicja Blacka i Scholesa polegała na powiązaniu ceny domyślnej opcji ze zmianami ceny aktywów bazowych. Ich odkrycie bardzo szybko wywarło znaczący wpływ, a odmiany ich modelu są stosowane we wszystkich segmentach rynków finansowych. Już w 1977 roku Oldrich Vasicek zainspirował się nim do stworzenia nowoczesnej teorii stóp procentowych .

Model Blacka i Scholesa w praktyce

Podstawowa teza modelu Blacka i Scholesa głosiła, że cena opcji kupna jest domyślnie wskazywana, jeśli instrument bazowy jest przedmiotem obrotu na rynkach.

Stosowanie modelu i formuły Blacka-Scholesa jest bardzo rozpowszechnione na rynkach finansowych, do tego stopnia, że niektóre kwotowania podawane są w oparciu o zmienność, a nie cenę bezwzględną. Rzeczywiście, inne parametry modelu (termin zapadalności, cena wykonania, stopa procentowa wolna od ryzyka i cena instrumentu bazowego) są łatwo obserwowalne na rynkach.

Jednak model Blacka i Scholesa nie modeluje dokładnie świata rzeczywistego. Doświadczenie pokazuje, że w rzeczywistości zmienność zależy od ceny wykonania i terminu zapadalności.

W praktyce powierzchnia zmienności (zmienność implikowana jako funkcja ceny wykonania i zapadalności) nie jest płaska. Często dla danego terminu zapadalności implikowana zmienność względem ceny wykonania ma postać uśmiechu (zwanego uśmiechem zmienności ): w przypadku pieniądza zmienność implikowana jest tym niższa i im dalej od pieniądza, tym wyższa. Mamy również pamiętać, że uśmiech często nie jest symetryczne na rynku akcji: wyższe na put boku niż na wezwanie strony . Dzieje się tak, ponieważ uczestnicy rynku są bardziej wrażliwi na ryzyko spadku niż ryzyko wzrostu akcji.

Dla danej ceny wykonania różnica między obserwowaną zmiennością implikowaną a zmiennością ceny nazywana jest skośnością .

Powierzchnia zmienności instrumentu bazowego również zmienia się w czasie. Uczestnicy rynku nieustannie ją ponownie oceniają, zmieniając swoje przewidywanie prawdopodobieństwa, dla każdej ceny wykonania i terminu zapadalności, że opcja trafi do waluty.

Rozszerzenia modelu

Powyższa formuła nie jest wolna od krytyki: nie pozwala na wsparcie niestałych kursów i zmienności ani na wycenę opcji europejskich dających dywidendę .

Tak więc przed krachem w 1987 r. Mogliśmy zaobserwować, że opcje na akcje S & P500 charakteryzowały się stałą zmiennością implikowaną, ale od czasu tego załamania zmienność implikowana pokazała „uśmiech”.

Jednak model można łatwo zmodyfikować w celu obsługi niestałych stawek i zmienności.

Dlatego wiele publikacji naukowych w recenzowanych czasopismach matematycznych z zakresu matematyki finansowej krytykuje tę formułę i sugeruje jej rozszerzenie, poprawienie, wyjaśnienie różnic lub zaproponowanie alternatywnych rozwiązań.

Można go również rozszerzyć na europejskie opcje przynoszące dywidendę. W przypadku opcji na indeksy (takie jak FTSE 100 lub CAC 40 ), w przypadku których każda ze spółek biorących udział w jej wyliczaniu może wypłacić dywidendę raz lub dwa razy w roku, uzasadnione jest założenie, że dywidendy są wypłacane bez przerwy.

Następnie odnotowuje się wypłatę dywidend w pewnym okresie : $\ left [t, t + \ delta t \ right]$

q \, S_ {t} \, dt

na stałe. Zgodnie z tym sformułowaniem bezpłatną cenę arbitrażową według modelu Blacka-Scholesa można przedstawić jako: $q$

C (S, T) = e ^ {{- qT}} S_ {0} N (d_ {1}) - e ^ {{- rT}} KN (d_ {2}) \,

P (S, T) = e ^ {{- rT}} KN (-d_ {2}) - e ^ {{- qT}} S_ {0} N (-d_ {1}) \,

lub teraz :

F = e ^ {{(rq) T}} S_ {0} \,

to cena zmodyfikowana z góry, która występuje w warunkach i . Ta formuła jest ogólnie znana jako Black-Scholes-Merton . $d_1$ $d_2$

Ta sama formuła jest używana do wyceny opcji na kursy walut obcych, z tym wyjątkiem, że teraz przyjmuje rolę zagranicznej stopy procentowej wolnej od ryzyka i natychmiastowego kursu wymiany. To jest model Garmana-Kohlhagena (1983). $q$ $S$

Możliwe jest również rozszerzenie struktury Blacka-Scholesa na opcje instrumentów przynoszących dyskretną dywidendę. Jest to przydatne, gdy opcja opiera się na prostych czynnościach.

Typowy model powinien zakładać, że część ceny (ceny) akcji jest wypłacana jako dywidenda w określonych z góry terminach. $\delta$ $T_ {1}, T_ {2} ...$

Cena akcji jest następnie modelowana przez: $S_ {t} = S_ {0} (1- \ delta) ^ {{n (t)}} e ^ {{\ sigma W_ {t} + \ mu t}}$

gdzie jest liczba dywidend wypłaconych w terminie . $n (t)$ $t$

Cena opcji kupna takich akcji ponownie wynosi:

C (S_ {0}, K, r, T, q, \ sigma) = e ^ {{- rT}} (FN (d_ {1}) - KN (d_ {2})) \,

P (S_ {0}, K, r, T, q, \ sigma) = e ^ {{- rT}} (KN (-d_ {2}) - FN (-d_ {1})) \,

lub teraz :

F = S_ {0} (1- \ delta) ^ {{n (T)}} e ^ {{rT}} \,

to cena z góry akcji wypłacających dywidendę.

Trudniej jest ocenić opcje amerykańskie. Przykładem modelu jest model Whaleya, który podaje wyraźną formułę analityczną; model Coxa Rossa i Rubinsteina symuluje zdarzenia dotyczące ceny instrumentu bazowego (skoki, dywidendy itp.) przy użyciu drzewa dwumianowego, w którym każdy węzeł jest powiązany z prawdopodobieństwem.

Na koniec należy wspomnieć, że rozwój w zakresie rozbudowy modelu przebiegał w czterech następujących kierunkach:

lokalny model zmienności. Zmienność staje się deterministyczną funkcją instrumentu bazowego i czasu. Tak jest w przypadku tak zwanego modelu Dupire;
model zmienności stochastycznej. Zmienność staje się funkcją stochastyczną wraz z dyfuzją. Tak jest w przypadku tak zwanego modelu Heston lub Pitterbarg;
model skoku;
model łączący wyżej wymienione podejścia (np. model z lokalną zmiennością i skokiem, model z lokalną i stochastyczną zmiennością itp.).

Zobacz też

Powiązane artykuły

Matematyka finansowa
Wycena opcji
Model dwumianowy , inny model powszechnie używany do oceny opcji
Opcja (finanse) , call , put , straddle , warrant
Analiza rzeczywistych opcji

Bibliografia

Benoît Mandelbrot . Fractals, Chance and Finance , Flammarion , 1959, 1997.
Benoît Mandelbrot . A Fractal Approach to Markets , Benoît Mandelbrot i Richard Hudson, wydania Odile Jacob , 2005.
Nicole El Karoui , Pokrycie ryzyka na rynkach finansowych (plik.pdf)

Uwagi i odniesienia

(in) „ Witamy w świecie innym niż Black-Scholes ” ( Archiwum • Wikiwix • Archive.is • Google • Co robić? ) [PDF] .