Pomiar obrazu

W teorii pomiarowego , pomiar obraz jest pomiaru określonych w mierzalnych przestrzeni i przeniesiono do innego mierzalnego przestrzeni przez mierzalną funkcję .

Definicja

Dajemy sobie dwie mierzalne przestrzenie oraz mierzalną aplikację i miarę . Miara obrazu $μ$ na $f$ jest miarą ponad oznaczoną i zdefiniowaną przez: $\ scriptstyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})$ $\ scriptstyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})$ $\ scriptstyle f \ colon X_ {1} \ rightarrow X_ {2}$ $\ scriptstyle \ mu \ colon \ Sigma _ {1} \ rightarrow [0, + \ infty]$ $\ scriptstyle \ Sigma _ {2}$ $\ scriptstyle f _ {\ ast} \ mu$

(f _ {\ ast} \ mu) (B) = \ mu \ left (f ^ {{- 1}} (B) \ right) {\ text {dla wszystkich}} B \ in \ Sigma _ {2} .

Definicja ta dotyczy również złożonych środków podpisanych .

Zmienna formuła zmiany

Wzór na zmianę zmiennych jest jedną z głównych właściwości: Funkcja g na X 2 jest całkalna w odniesieniu do miary obrazu $f * μ$ wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja $złożona g\circ f$ jest całkowalna względem miary $μ$ . W tym przypadku dwie całki pokrywają się:

\ int _ {{X_ {2}}} g ~ {\ mathrm d} (f _ {\ ast} \ mu) = \ int _ {{X_ {1}}} g \ circ f ~ {\ mathrm d} \ mu.

Przykłady i zastosowania

Naturalną miarą Lebesgue'a na okręgu jednostkowym S 1 , widziany tutaj jako podzbiór płaszczyzny zespolonej ℂ, nie jest zdefiniowany jako środka obrazu miary Lebesgue'a $Î$ na ℝ liczb rzeczywistych, ale jego ograniczenia, które możemy zauważyć również $λ$ , w przedziale $[0, 2π [$ . Niech $f$ $: [0, 2π [\to$ $S$ $1 będzie$ naturalnym bijekcją zdefiniowaną przez $f$ $($ $t$ $) = e$ $i$ $t$ . Miara Lebesgue'a na S 1 jest zatem miarą obrazu $f$ $*$ $λ$ . Ten pomiar $f$ $*$ $λ$ można również nazwać miarą długości łuku lub miarą kąta , ponieważ miara $f$ $*$ $λ$ łuku S 1 jest dokładnie długością łuku.
Poprzedni przykład rozszerza się, aby zdefiniować miarę Lebesgue'a na n- wymiarowym torusie T n . Miara Lebesgue'a na T n jest, aż do renormalizacji, miarą Haara na połączonej zwartej grupie Liego T n .
Zmienna losowa jest mierzalna map pomiędzy przestrzenią prawdopodobieństwa i ℝ. Miarą prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest miarą obraz ℙ według zmiennej losowej X : $\ scriptstyle (\ Omega, {\ mathcal A}, {\ mathbb P})$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {X} = X _ {\ ast} \ mathbb {P} = \ mathbb {P} (X ^ {- 1} (\ cdot)).}$
Rozważmy mierzalną funkcję $f: X \to X$ i kompozycja $F$ sam $n$ godzinach: $f ^ {{(n)}} = \ underbrace {f \ circ f \ circ \ dots \ circ f} _ {{n {\ text {razy}}}} \ colon X \ to X.$ Ta iteracyjna funkcja tworzy dynamiczny system . Często przydatne jest znalezienie miary $μ$ na X, którą mapa $f$ pozostawia niezmienioną, lub niezmiennej miary (en) , tj. Która spełnia: $f * μ = μ$ .

Odniesienie

(en) VI Bogachev , Measure Theory , Springer,2007, sekcje 3.6-3.7