M-estymator
W statystykach , M-estymatorów stanowią dużą klasę statystyk uzyskanych przez minimalizacji funkcji w zależności od danych i parametrów modelu. Proces obliczania M-estymatora nazywa się M-estymatorem . Wiele metod estymacji statystycznej można uznać za M-estymatory. W zależności od funkcji, która ma być zminimalizowana podczas estymacji M, estymatory M mogą zapewnić bardziej niezawodne estymatory niż bardziej tradycyjne metody, takie jak metoda najmniejszych kwadratów .
Definicja
M-estymatory zostały wprowadzone w 1964 roku przez Petera Hubera jako uogólnienie estymacji maksymalnego prawdopodobieństwa do minimalizacji funkcji ρ na zbiorze danych. Zatem estymator (e) M powiązany z danymi i funkcją ρ jest szacowany przez
θ^=argminθ(∑ja=1nieρ(xja,θ)){\ displaystyle {\ hat {\ theta}} = \ operatorname {argmin} _ {\ theta} \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} \ rho (x_ {i}, \ theta) \ prawo )}Dlatego M -estymator pochodzi z największej wiarygodności (typu największej wiarygodności ), a estymatory największej wiarygodności są szczególnym przypadkiem M-estymatorów.
Rodzaje
Rozwiązanie problemu minimalizacji zwykle obejmuje zróżnicowanie funkcji celu. Rzeczywiście, aby wyszukiwać , prosta metoda polega na wyszukiwaniu wartości, takich jak
θ^{\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}
∂∂θ(∑ja=1nieρ(xja,θ))=0.{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe \ theta}} \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} \ rho (x_ {i}, \ theta) \ prawej) = 0.}Jeśli to zróżnicowanie jest możliwe, mówi się, że estymator M jest typu ψ ; w przeciwnym razie mówi się, że jest typu ρ .
Przykłady M-estymatorów
Wśród znanych przykładów M-estymatorów możemy przytoczyć:
-
ρ(x)=x2{\ Displaystyle \ rho (x) = x ^ {2}}, co sprowadza się do zastosowania metody najmniejszych kwadratów
- ρ(x)=|x|{\ Displaystyle \ rho (x) = | x |}
-
ρk(x)={x22 gdyby |x|<kk(|x|-k2) gdyby |x|⩾k{\ Displaystyle \ rho _ {k} (x) = {\ rozpocząć {przypadków} {\ Frac {x ^ {2}} {2}} i {\ tekst {si}} | x | <k \\ k ( | x | - {\ frac {k} {2}}) & {\ text {si}} | x | \ geqslant k \ end {cases}}}( Funkcja Hubera (w) )
-
ρvs(x)=vs22ln(1+(xvs)2){\ Displaystyle \ rho _ {c} (x) = {\ Frac {c ^ {2}} {2}} \ ln \ lewo (1+ \ lewo ({\ Frac {x} {c}} \ prawej) ^ {2} \ right)} (Funkcja Lorentza)
-
ρvs(x)=x22(1-x22vs2+x46vs4){\ Displaystyle \ rho _ {c} (x) = {\ Frac {x ^ {2}} {2}} \ lewo (1 - {\ Frac {x ^ {2}} {2c ^ {2}}} + {\ frac {x ^ {4}} {6c ^ {4}}} \ right)}( Bipoidy Tukeya )
Powiązane artykuły
Bibliografia
- Peter J. Huber , Robust Statistics , Wiley, 1981, 2004
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">