Prawo Bragga

W fizyce , Prawo Bragga jest prawo, które interpretuje proces dyfrakcji z promieniowaniem na krysztale . Został odkryty przez WH i WL Bragg około 1915 roku . Kiedy bombardujemy kryształ promieniowaniem, którego długość fali jest tego samego rzędu wielkości, co odległość międzyatomowa, zachodzi zjawisko dyfrakcji . Warunki dyfrakcji podają kierunki, w których obserwuje się intensywność ugięcia kryształu. Promieniowanie może być elektromagnetyczne: dla tego rzędu wielkości fal jest to promieniowanie rentgenowskie o energii kilkudziesięciu keV lub cząstki o odpowiedniej energii kinetycznej rzędu 100 keV dla elektronów lub dziesiątki meV dla neutronów .

Dyfrakcja na krysztale

Rozważamy pojedynczy kryształ zbombardowany promieniami rentgenowskimi . Te uderzenia każdy atom w innej fazie (skok one bardziej lub mniej długości toru optycznego ). Rentgenowskiej , jak wszystkie fale elektromagnetyczne , powoduje przemieszczenie chmura elektronów w stosunku do rdzenia z węgla; te indukowane oscylacje powodują reemisję fal elektromagnetycznych o tej samej częstotliwości : zjawisko to nosi nazwę „ rozpraszania Rayleigha ”.

Nie wszystkie fale mają tę samą fazę, kiedy uderzają w atomy. W pewnym punkcie przestrzeni fale elektromagnetyczne pochodzą od wszystkich tych atomów i nadal podlegają przesunięciu fazowemu z powodu różnicy w ścieżce optycznej. Ze względu na regularną organizację kryształu, w niektórych miejscach w przestrzeni fale znoszą się nawzajem ( zakłócenia destrukcyjne), aw innych fale sumują się i mamy dodatnie natężenie. Te miejsca o dodatnim natężeniu są wyrównane względem „punktu uderzenia” padającej wiązki, więc mówimy o „kierunkach dyfrakcji”. Te kierunki dyfrakcji można znaleźć dzięki różnym prawom równoważnym.

Opis

Stany

Dla tego prawa rozważamy wyimaginowane płaszczyzny zawierające atomy i prostopadłe do wektora dyfrakcyjnego (to znaczy do dwusiecznej między padającą wiązką a kierunkiem, w którym nas interesuje). Ale są też inne prawa opisujące dyfrakcję. Jeśli jest długością fali promieniowania, ad jest odległością międzysiatkową uginającej się płaszczyzny krystalicznej, to kierunki przestrzeni, w których będziemy mieć piki intensywności ( plusy to kierunek padającej wiązki) weryfikują: $\ lambda$ $2 \ theta$ ${\ displaystyle 0}$ $2 \ theta$

2regrzech⁡θ=nie⋅λ{\ Displaystyle 2d \ sin \ theta = n \ cdot \ lambda}

{\ Displaystyle 2d \ sin \ theta = n \ cdot \ lambda}

z ď w interreticular odległości , to znaczy odległość pomiędzy dwoma płaszczyzn krystalograficznych; kąt Bragga, czyli półkąt odchylenia (połowa kąta między wiązką padającą a kierunkiem detektora); kolejność dyfrakcji ( całkowitej ), i długość fali promieni . Maurice i Louis de Broglie we wstępie do fizyki promieni i promieni (Gauthier-Villars, 1928) określają wyrażenie rygorystycznego prawa Bragga:

\ theta

nie

\ lambda

X

X

\gamma

(2reλ-1grzech⁡(θ0))+(Δπ-1grzech-1⁡(θ0))=nie{\ Displaystyle (2d \ lambda ^ {- 1} \ sin (\ teta _ {0})) + (\ Delta \ pi ^ {- 1} \ sin ^ {- 1} (\ teta _ {0})) = n}

{\ Displaystyle (2d \ lambda ^ {- 1} \ sin (\ teta _ {0})) + (\ Delta \ pi ^ {- 1} \ sin ^ {- 1} (\ teta _ {0})) = n}

. W tym wyrażeniu zależy od natury kryształu i wyraża się wyrażeniem gdzie jest współczynnik odbicia na płaszczyznach siatkowatych; gdzie jest różnica faz wprowadzona przez mechanizm dyfuzji. Zależy to od natury atomów, długości fali i kąta padania ; jest porządek refleksji. Wyraźmy różnicę w stosunku do przypadku Bragga, czyli :

\Delta

\ lambda

{\ Displaystyle \ Delta = \ rho \ sin (\ theta)}

\ rho

{\ Displaystyle \ rho = - \ cos (\ varphi)}

\ varphi

\ lambda

nie

{\ displaystyle \ theta - \ theta _ {0}}

2reλ-1[grzech⁡(θ)-grzech⁡(θ0)]=2reλ-1(θ-θ0)sałata⁡(θ0)=-Δπ-1grzech-1⁡(θ0)θ-θ0=-2reλ-1Δπ-1nie-2dębnik⁡(θ0){\ Displaystyle {\ rozpocząć {alignedat} {3} 2d \ lambda ^ {- 1} [\ sin (\ teta) - \ sin (\ teta _ {0})] & = 2d \ lambda ^ {- 1} ( \ theta - \ theta _ {0}) \ cos (\ theta _ {0}) \\ & = - \ Delta \ pi ^ {- 1} \ sin ^ {- 1} (\ theta _ {0}) \ \\ theta - \ theta _ {0} & = - 2d \ lambda ^ {- 1} \ Delta \ pi ^ {- 1} n ^ {- 2} \ tan (\ theta _ {0}) \\\ end {alignedat}}}

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {alignedat} {3} 2d \ lambda ^ {- 1} [\ sin (\ teta) - \ sin (\ teta _ {0})] & = 2d \ lambda ^ {- 1} ( \ theta - \ theta _ {0}) \ cos (\ theta _ {0}) \\ & = - \ Delta \ pi ^ {- 1} \ sin ^ {- 1} (\ theta _ {0}) \ \\ theta - \ theta _ {0} & = - 2d \ lambda ^ {- 1} \ Delta \ pi ^ {- 1} n ^ {- 2} \ tan (\ theta _ {0}) \\\ end {alignedat}}}

. Pokazuje to, że zwykle stosowana uproszczona relacja Bragga jest tym bardziej rygorystyczna, im wyższy jest porządek refleksji. Gdy promieniowanie nie jest elektromagnetyczne, ale cząstki, rozpraszanie Rayleigha nie wynika z przemieszczenia chmury atomowej, ale wynika z zasady nieoznaczoności Heisenberga : ponieważ cząstka jest dobrze zlokalizowana (oddziałuje z atomem), niepewność co do jej pędu oraz dlatego w szczególności jego kierunek jest duży, więc występuje dyfuzja izotropowa. Aby w pełni to zrozumieć, musimy również zrozumieć pojęcie dualizmu korpuskularno-falowego .

Wyrównanie geometryczne

Możemy znaleźć prawo Bragga w prosty sposób. Rozważ dwa równoległe promienie uderzające w dwa atomy znajdujące się na tej samej linii prostopadłej do powierzchni. Dodatkowa ścieżka obrana przez „głęboki” promień jest taka , ponieważ ta dodatkowa ścieżka biegnie po przeciwnych stronach pod kątem prostym trójkątów

przeciwprostokątnej . Zakłócenia są konstruktywne, jeśli różnica ścieżek wprowadza przesunięcie fazowe, które jest wielokrotnością , to znaczy, jeśli dodatkowa ścieżka jest wielokrotnością .

{\ Displaystyle 2d \ sin (\ theta)}

\ theta

re

2 \ ft

\ lambda

Analogia

To prawo jest często obrazowane przez rozważenie, że płaszczyzny krystalograficzne są półprzezroczystymi zwierciadłami; w rzeczywistości wzór jest dokładnie identyczny z interferencją spowodowaną przez szczelinę powietrzną, którą uzyskuje się za pomocą interferometru Michelsona . Należy jednak rozumieć, że płaszczyzny krystalograficzne są tylko widokiem umysłu i że w rzeczywistości fale są rozpraszane indywidualnie przez atomy.

Stan Laue

Padające promieniowanie ma wektor falowy . Jeśli interesuje nas natężenie rozproszone w kierunku przestrzeni , to sprowadza się to do zainteresowania falami, których

wektor falowy to:

{\ vec {k}}

\ vec {u}

k′→=||k→||⋅u→{\ displaystyle {\ vec {k '}} = || {\ vec {k}} || \ cdot {\ vec {u}}}

{\ displaystyle {\ vec {k '}} = || {\ vec {k}} || \ cdot {\ vec {u}}}

Rzeczywiście, ponieważ dyfuzja jest elastyczna, długość fali pozostaje taka sama, dlatego wektory fal mają ten sam standard. Komórka elementarna kryształu określa się trzy wektory , i które stanowią również podstawy przestrzeni. Nazywamy wektorem dyfuzji albo:

{\ vec {e_ {1}}}

{\ vec {e_ {2}}}

{\ vec {e_ {3}}}

\ vec {K}

K.→=k′→-k→{\ displaystyle {\ vec {K}} = {\ vec {k '}} - {\ vec {k}}}

{\ displaystyle {\ vec {K}} = {\ vec {k '}} - {\ vec {k}}}

Lauego stan dyfrakcyjna jest wyrażona w sposób następujący: jest dyfrakcja w kierunku czy kropki produkty z wektorami są liczbami całkowitymi, to znaczy, czy , i są liczbami całkowitymi. Ogólnie zauważamy:

\ vec {u}

\ vec {K}

{\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, {\ vec {e_ {3}}}

{\ vec {K}} \ cdot {\ vec {e_ {1}}}

{\ vec {K}} \ cdot {\ vec {e_ {2}}}

{\ vec {K}} \ cdot {\ vec {e_ {3}}}

K.→⋅mi1→=godz,K.→⋅mi2→=k,K.→⋅mi3→=l{\ Displaystyle {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {e_ {1}}} = h, \ quad {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {e_ {2}}} = k, \ quad {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {e_ {3}}} = l}

{\ Displaystyle {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {e_ {1}}} = h, \ quad {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {e_ {2}}} = k, \ quad {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {e_ {3}}} = l}

Wskaźniki ( ) są charakterystyczne dla plamki dyfrakcyjnej (lub piku) . Są także indeksami Millera na płaszczyźnie krystalograficznej, co pozwala znaleźć prawo Bragga.

{\ displaystyle h, k {\ text {i}} l}

Twierdzenie Blocha

Możemy zdefiniować inną bazę, zwaną wzajemną podstawą , przez:

mi1∗→=1Vmi2→∧mi3→,mi2∗→=1Vmi3→∧mi1→,mi3∗→=1Vmi1→∧mi2→{\ displaystyle {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {2}}} \ wedge {\ vec {e_ {3}}} , \ quad {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {3}}} \ wedge {\ vec {e_ {1}}} , \ quad {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {1}}} \ wedge {\ vec {e_ {2}}} }

{\ displaystyle {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {2}}} \ wedge {\ vec {e_ {3}}} , \ quad {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {3}}} \ wedge {\ vec {e_ {1}}} , \ quad {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} = {\ frac {1} {V}} {\ vec {e_ {1}}} \ wedge {\ vec {e_ {2}}} }

gdzie jest objętość komórki, obliczona z iloczynu mieszanego wektorów podstawy. A , i zależy od komórki elementarnej, wektory wzajemnej podstawy zależy także komórki elementarnej; są one charakterystyczne dla kryształu. Warunek dyfrakcji można wtedy określić następująco: dyfrakcja występuje w kierunku, jeśli ma pełne współrzędne w odwrotności podstawy, a mianowicie:

V

{\ vec {e_ {1}}}

{\ vec {e_ {2}}}

{\ vec {e_ {3}}}

\ vec {u}

\ vec {K}

K.→=godzmi1∗→+kmi2∗→+lmi3∗→,∀(godz,k,l)∈NIE3{\ Displaystyle {\ vec {K}} = h {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} + k {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} + l {\ vec {e_ { 3} ^ {*}}}, \ quad \ forall (h, k, l) \ in \ mathbb {N} ^ {3}}

{\ Displaystyle {\ vec {K}} = h {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} + k {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} + l {\ vec {e_ { 3} ^ {*}}}, \ quad \ forall (h, k, l) \ in \ mathbb {N} ^ {3}}

. Wskaźniki ( ) są takie same jak dla warunku Laue , a zatem prowadzą również do prawa Bragga. Punkty o współrzędnych całkowitych w układzie współrzędnych tworzą sieć zwaną „ siecią odwrotną ”. Warunkiem dyfrakcji jest zatem: dyfrakcja występuje w kierunku, jeśli koniec znajduje się w węźle sieci odwrotnej. To jest twierdzenie Blocha .

{\ displaystyle h, k {\ text {i}} l}

(O, {\ vec {e_ {1} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {2} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {3} ^ {*}}})

\ vec {u}

\ vec {K}

Aplikacje

Gdy długość fali promieniowania jest rzędu wielkości odległości międzyatomowej w krysztale, kierunki dyfrakcji są wystarczająco daleko od siebie, aby można je było rozróżnić i wystarczająco blisko siebie, aby pojawić się na tym samym obrazie. Prawo Bragga jest wykorzystywane między innymi do:

Uwagi i odniesienia

Istnieją dwa sposoby zdefiniowania wektora falowego: albo jego normą jest , wtedy mamy podane wzory, albo jego normą jest i wtedy mamy: ${\ frac {1} {\ lambda}}$ ${\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}$ ${\ vec {K}} \ cdot {\ vec {e_ {1}}} = 2 \ pi h,$ ${\ vec {K}} \ cdot {\ vec {e_ {2}}} = 2 \ pi k,$ ${\ vec {K}} \ cdot {\ vec {e_ {3}}} = 2 \ pi l,$ co nie zmienia wyników.
Jeśli zdecydujemy się przyjąć za normę wektora falowego, wówczas określamy odwrotność podstawy przez: gdzie ( m , n , p ) jest kołową permutacją (1, 2, 3). ${\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}$ ${\ vec {e_ {m} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {V}} {\ vec {e_ {n}}} \ wedge {\ vec {e_ {p}}}$
Ten warunek jest taki sam, niezależnie od definicji normy wektora falowego.

Zobacz też

Powiązane artykuły

Teoria dyfrakcji na krysztale