Lemat Neymana-Pearsona

Natura	Twierdzenie
Wynalazcy	Jerzy Neyman , Egon Sharpe Pearson
Nazwany w odniesieniu do	Jerzy Neyman , Egon Sharpe Pearson
Formuła	${\ Displaystyle \ Lambda (x) = {\ Frac {L (x \ mid \ theta _ {0})} {L (x \ mid \ theta _ {1})}} \ równoważnik \ eta}$

W statystyce , zgodnie z lematem Neymana-Pearsona , gdy chcemy przeprowadzić test hipotezy między dwiema hipotezami H 0 : θ = θ 0 i H 1 : θ = θ 1 , dla próby , to test współczynnika prawdopodobieństwa która odrzuca H 0 dla M 1 kiedy , gdzie jest jak ${\ mathbf {x}} = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})$ ${\ frac {{\ mathcal L} ({\ mathbf x}, \ theta _ {0})} {{\ mathcal L} ({\ mathbf x}, \ theta _ {1})}} \ leq k_ { \ alpha}$ $k _ {\ alpha}$

P \ left ({\ frac {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x}}, \ theta _ {{0}})} {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x}} , \ theta _ {{1}})}} \ leq k _ {\ alpha} {\ bigg |} H_ {0} \ right) = \ alpha

, to najpotężniejszy test poziomu .

\alfa

Ten lemat został nazwany imieniem Jerzego Neymana i Egona Sharpe Pearsona w artykule z 1931 roku.

W praktyce w większości przypadków sam współczynnik prawdopodobieństwa nie jest bezpośrednio używany w teście. Dzieje się tak, ponieważ powyższy test współczynnika wiarygodności jest często równoważny testowi formy dla prostszej statystyki , a test jest wykonywany w tej formie. $T \ leq t _ {\ alpha}$ $T$

Demonstracja

Ten artykuł może zawierać niepublikowane prace lub niezweryfikowane oświadczenia (marzec 2019).

Możesz pomóc, dodając odniesienia lub usuwając niepublikowaną zawartość. Zobacz stronę dyskusji, aby uzyskać więcej informacji.

Twierdzenie: Optymalny region odrzucenia jest zdefiniowany przez zbiór punktów, takich jak $R_0$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x}}, \ theta _ {0})} {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x}}, \ theta _ {1})}} \ leq k _ {\ alpha}}

gdzie stała jest taka, że . Zwróć uwagę, że mamy następujące relacje: $k _ {\ alpha}$ ${\ Displaystyle P (\ mathbf {x} \ w R_ {0} | \ theta _ {0}) = \ alfa}$

{\ Displaystyle P \ lewo ({\ textbf {D}} _ {n} \ w R_ {0} | \ teta _ {0} \ prawo) = \ alfa = \ int _ {R_ {0}} \! { \ mathcal {L}} (\ mathbf {x}; \ theta _ {0}) \ d \ mathbf {x}}

{\ Displaystyle P \ lewo ({\ textbf {D}} _ {n} \ w R_ {0} | \ theta _ {1} \ prawej) = 1- \ beta = \ int _ {R_ {0}} \ ! {\ mathcal {L}} (\ mathbf {x}; \ theta _ {1}) \ d \ mathbf {x}}

gdzie jest próbka. ${\ Displaystyle D_ {n} = (x '_ {1}, \ ldots, x' _ {n})}$

Demonstracja:

Niech najpierw pokazać, że gdy jest ograniczonym gęstości, zawsze istnieje stała taka, że ${\ Displaystyle f _ {\ mathcal {X}} (.; \ theta)}$ $k$

{\ Displaystyle P \ lewo ({\ Frac {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x}}, \ theta _ {0})} {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x} }, \ theta _ {1})}}> k {\ bigg |} H_ {0} \ right) = \ alpha}

. Rzeczywiście, kiedy to prawdopodobieństwo jest równe 1. Z drugiej strony prawdopodobieństwo to maleje monotonnie i w sposób ciągły do zera, kiedy . Dlatego musi istnieć skończona wartość , zwana, która spełnia równość .

k = 0

{\ Displaystyle k \ rightarrow \ infty}

k

k _ {\ alpha}

{\ displaystyle \ forall \ alpha \ in] 0; 1 [}

Oznaczmy przez następujący podzbiór ,

R_0

{\ mathbb {R}} ^ {{n}}

{\ Displaystyle R_ {0} \ triangleq \ lbrace \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n} {\ bigg |} {\ Frac {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x} }, \ theta _ {0})} {{\ mathcal {L}} ({\ textbf {x}}, \ theta _ {1})}}> k _ {\ alpha} \ rbrace}

, i albo inna część , taka że . Pokażmy to

R

{\ mathbb {R}} ^ {{n}}

{\ Displaystyle P (\ mathbf {x} \ w R | \ theta _ {0}) = \ alfa}

{\ Displaystyle P (\ mathbf {x} \ w R_ {0} | \ theta _ {1})> P (\ mathbf {x} \ w R | \ theta _ {1})}

Uwagi i odniesienia

(en) J. Neyman i ES Pearson , „ IX. O problemie najbardziej efektywnych testów hipotez statystycznych ” , Phil. Trans. R. Soc. Lond. A , tom. 231, Nr . 694-706,16 lutego 1933, s. 289–337 ( ISSN 0264-3952 , DOI 10.1098 / rsta.1933.0009 , czytaj online )

Linki zewnętrzne

Zobacz też