Nierówność macierzy liniowej

W optymalizacji wypukłej wyrażeniem postaci jest liniowa nierówność macierzy (LMI)

{\ Displaystyle LMI (r): = A_ {0} + y_ {1} A_ {1} + y_ {2} A_ {2} + \ cdots + y_ {m} A_ {m} \ geq 0 \,}

lub

${\ Displaystyle y = [y_ {i} \ ,, ~ i \! = \! 1 \ kropki m]}$ jest prawdziwym wektorem,
${\ Displaystyle A_ {0} \ ,, A_ {1} \ ,, A_ {2} \ ,, \ kropki \, A_ {m.}}$ są w zestawie z matryc symetrycznych , ${\ Displaystyle S_ {n} (\ mathbb {R})}$
${\ displaystyle B \ geq 0}$ oznacza, że jest dodatnią półokreśloną macierzą należącą do podzbioru zbioru macierzy symetrycznych . $b$ ${\ Displaystyle S_ {n} ^ {+} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle S_ {n} (\ mathbb {R})}$

Ta liniowa nierówność macierzy charakteryzuje wypukły zbiór wzdłuż y .

Aplikacje

Istnieją cyfrowe metody rozwiązywania wysokowydajnych LMI w celu określenia w szczególności ich wykonalności ( tj. Czy istnieje co najmniej jeden wektor, taki jak ), lub przeprowadzenia optymalizacji wypukłej pod ograniczeniem LMI. $y$ ${\ Displaystyle LMI (r) \ geq 0}$

Wiele problemów optymalizacyjnych w teorii sterowania , identyfikacji systemu i przetwarzaniu sygnałów można sformułować za pomocą interfejsów LMI.

Rozwiązywanie LMI

Ważny wynik optymalizacji wypukłości wynika z wprowadzenia metody punktów wewnętrznych . Metoda ta i jej pochodne zostały opracowane w szeregu publikacji i stały się przedmiotem zainteresowania w kontekście problemów LMI w pracach Jurija Niestierowa i Arkadia Niemirowskiego.

Bibliografia

Y. Nesterov i A. Nemirovsky, Metody wielomianów punktów wewnętrznych w programowaniu wypukłym. SIAM, 1994.

Linki zewnętrzne

S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron i V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory (książka w formacie pdf)

C. Scherer i S. Weiland, Kurs na temat liniowych nierówności macierzy w kontroli , Holenderski Instytut Systemów i Kontroli (DISC).
M. Barreau, Stabilność i stabilizacja układów liniowych z wykorzystaniem liniowych nierówności macierzy , LAAS - CNRS.