Tożsamości Cassiniego, Katalończyka i Vajdy

Na tożsamość Cassini, katalońskim i Vajda trzy tożsamości matematyczne dotyczące liczb Fibonacciego . Tożsamość z Cassini jest szczególnym przypadkiem, że z katalońskim , który sam jest szczególnym przypadkiem tożsamości Vajda (PL) . Ten ostatni jest z kolei szczególnym przypadkiem niezwykłych tożsamości weryfikowanych przez liniowe powtarzające się sekwencje rzędu 2 .

Tożsamość Cassiniego

Tożsamość Cassini to:

{\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z} \ quad F_ {n-1} F_ {n + 1} -F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n}}

Tożsamość Katalończyka to:

{\ Displaystyle \ forall n, r \ in \ mathbb {Z} \ quad F_ {n} ^ {2} -F_ {nr} F_ {n + r} = (- 1) ^ {nr} F_ {r} ^ {2}}

Tożsamość Cassini jest więc szczególnym przypadkiem katalońskiego w tej sprawie . $r = 1$

Tożsamość Vajdy to:

{\ Displaystyle \ forall ja, j, k \ in \ mathbb {Z} \ quad F_ {k + i} F_ {k + j} -F_ {k} F_ {k + i + j} = (- 1) ^ {k} F_ {i} F_ {j}}

Biorąc i , odnajdujemy tożsamość katalońskiego. ${\ displaystyle i = j = r}$ ${\ displaystyle k = nr}$

(en) Donald Knuth , The Art of Computer Programming , vol. 1: Fundamental Algorithms , Reading (Mass.), Addison-Wesley ,1997, 3 e ed. , 134 str. ( ISBN 978-0-201-85392-6 , czytaj online ) , str. 79-85, § 1.2.8 („ Liczby Fibonacciego ”)
(en) R. Simson i H. Philip , „ An Explanation of an Obscure Passage in Albert Girard 's Commentary on Simon Stevin 's Works ” , Philos. Trans. R. Soc. , vol. 48,1753, s. 368-377 ( DOI 10.1098 / rstl.1753.0056 )
(en) M. Werman i D. Zeilberger , „ Bijective proof of Cassini's Fibonacci identity ” , Discrete Math. , vol. 58, n o 1,1986, s. 109 ( DOI 10.1016 / 0012-365X (86) 90194-9 , recenzje matematyczne 0820846 )