Tożsamość Brahmagupty

W matematyce tożsamość Brahmagupty to wzór używany do rozwiązywania równań diofantyny . Ona jest stara; Diofantos , grecki matematyk prawdopodobnie mieszka w III th century, ustanawia szczególny przypadek do badań przodka twierdzenia Fermata dwóch kwadratów . Brahmagupta (598-668) ustanawia to w całej swej ogólności, aby rozwiązać pytanie związane z równaniem Pell-Fermata . Szkoła indyjska opracowała później algorytm zwany „ metodą czakrawali ”, którego podstawowym składnikiem jest tożsamość Brahmagupty.

Tożsamości

Pierwsza forma, często nazywana „tożsamością Diofantusa” ( Arithmetica , Book III, 19) mówi, że iloczyn dwóch liczb, z których każda jest sumą dwóch kwadratów , sam jest sumą dwóch kwadratów. Dokładnie:

{\ Displaystyle \ forall a, b, c, d \ w A \ quad (a ^ {2} + b ^ {2}) (c ^ {2} + d ^ {2}) = (ac-bd) ^ {2} + (ad + bc) ^ {2}}

gdzie A oznacza pierścień przemienny .

Demonstracja

Wystarczy rozwinąć, a następnie rozłożyć na czynniki wyrażenie po prawej stronie:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (ac-bd) ^ {2} + \ lewo (reklama + bc \ prawej) ^ {2} & = a ^ {2} c ^ {2} -2acbd + b ^ { 2} d ^ {2} + a ^ {2} d ^ {2} + 2adbc + b ^ {2} c ^ {2} \\ & = a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2 } d ^ {2} + a ^ {2} d ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \\ & = \ left (a ^ {2} + b ^ {2} \ right) \ left (c ^ {2} + d ^ {2} \ right). \ end {aligned}}}

Najczęściej wykorzystywany jest, że w przypadku stanowi pierścień względem liczby całkowite lub pola o wymiernych , Real lub kompleksów .

W swojej ogólnej formie tożsamość Brahmagupty jest

{\ Displaystyle (a ^ {2} -nb ^ {2}) (c ^ {2} -nd ^ {2}) = (ac + nbd) ^ {2} -n \ lewo (reklama + bc \ prawo) ^ {2}.}

Jest wydedukowany z Diofantusa przez pomnożenie i przez (tj. Przez , w pierścieniu ogólnego ilorazu ). Odwrotnie, tożsamość Diofantusa jest szczególnym przypadkiem tożsamości Brahmagupty. $b$ $re$ ${\ displaystyle {\ sqrt {-n}}}$ $mi$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ lewo [a, b, c, d, n, e \ w prawo] / (e ^ {2} + n)}$ $n = -1$

Równoważne formy tych dwóch tożsamości uzyskujemy zastępując ich przeciwieństwem: $b$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (a ​​^ {2} + b ^ {2}) (c ^ {2} + d ^ {2}) & = (ac + bd) ^ {2} + (ad- bc) ^ {2}, \\ (a ^ {2} -nb ^ {2}) (c ^ {2} -nd ^ {2}) & = (ac-nbd) ^ {2} -n (ad -bc) ^ {2}. \ end {aligned}}}

Uwagi

Tożsamość Brahmagupta wyraża multiplicativity o normy odnoszące się do kwadratowej przedłużenia .
Szczególnym przypadkiem jest multiplikatywność modułu liczby zespolonej : jeśli u = a + i b oraz v = c + i d z a , b , c , d rzeczywistą, tożsamość Diofantusa wyraża, że | u | 2 | v | 2 = | uv | 2 .
Tożsamość Eulera czterech kwadratów może być postrzegane jako uogólnienie, używając Kwaterniony normę .
Istnieje podobne osiem kwadratów tożsamości , pochodzące z liczb Cayleya i związane z okresowością Bott (en) .