Tożsamość (matematyka)

W matematyce słowo „tożsamość” jest używane w kilku znaczeniach: może na przykład oznaczać dobrze zdefiniowany przedmiot odgrywający szczególną rolę w rodzinie przedmiotów (w ten sposób mówi się o tożsamości funkcji wśród funkcji, o tożsamości elementu. w grupie , tożsamości macierzy między macierzami itp.).

Ten artykuł jest poświęcony innemu znaczeniu: tożsamość to równość między dwoma wyrażeniami, która jest prawdziwa niezależnie od wartości różnych użytych zmiennych ; nadużywając języka, czasami chrzcimy również „tożsamość”, równość między stałymi terminami , które uważa się za fundamentalne lub zaskakujące. Tożsamości są zwykle używane do przekształcania jednego wyrażenia matematycznego w inne, zwłaszcza do rozwiązywania równań lub do wyrażania ważnej relacji między pewnymi elementami teorii.

Przykłady

• W trygonometrii istnieje wiele tożsamości, które umożliwiają wykonywanie obliczeń.
  Na przykład,grzech2⁡(x)+sałata2⁡(x)=1{\ Displaystyle \ sin ^ {2} (x) + \ cos ^ {2} (x) = 1}jest tożsamością we właściwym sensie, prawdziwą bez względu na wartość liczby rzeczywistej (a nawet zespolonej ) .x{\ displaystyle x}
• Tożsamość Vandermonde w kombinatoryki , jest prawdziwe dla wszystkich wartości trzech liczb naturalnych , które nie interweniowały.
• Słynna tożsamość Euleramijaπ+1=0{\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ pi} + 1 = 0}łączy w prosty i uderzający sposób podstawowe stałe analizy matematycznej  : 0  ; 1  ; ja  ; π  ; i e .

Niezwykłe tożsamości

Niektóre tożsamości algebraiczne są określane jako „niezwykłe” w szkołach średnich . Ułatwiają obliczanie lub rozkładanie na czynniki wyrażeń wielomianowych.

Na przykład niezwykła tożsamość , która jest prawdziwa niezależnie od elementów i pierścienia przemiennego (takiego jak względne liczby całkowite lub pole liczb rzeczywistych ...) zapewnia metodę obliczania mnożenia, jeśli ktoś ma proste listy kwadratów: używanie (w+b)2=w2+2wb+b2{\ Displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}w{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}

wb=(w+b)2-w2-b22{\ Displaystyle ab = {\ dfrac {(a + b) ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {2}}}

wb=(w+b)2-(w-b)24{\ displaystyle ab = {\ dfrac {(a + b) ^ {2} - (ab) ^ {2}} {4}}}

obliczenie iloczynu sprowadza się do obliczenia sum lub podziałów przez 2 i odczytania listy kwadratów. wb{\ displaystyle ab}

Tożsamości definiujące pojęcia matematyczne

Niektóre struktury matematyczne są definiowane za pomocą tożsamości.

• Przestrzeń wektor z antysymetrycznej Przekształcenie Dwuliniowe jest algebra Lie , z definicji, gdy tożsamość Jacobiego jest spełniony:V{\ Displaystyle V \,} [⋅,⋅]:V×V→V{\ Displaystyle \ lewo [\ cdot, \ cdot \ po prawej]: V \ razy V \ rightarrow V \,}∀x,y,z∈V,[x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0{\ Displaystyle \ forall x, r, z \ w V, \ qquad \ lewo [x, \ lewo [y, z \ prawo] \ prawo] + \ lewo [z, \ lewo [x, y \ prawo] \ prawo ] + \ left [y, \ left [z, x \ right] \ right] = 0}
• Algebra nad ciałem przemiennym jest Jordan algebra , z definicji, gdy wewnętrzny operacja mnożenie jest przemienne i weryfikuje tożsamość Jordana .(x,y)→(x⋅y){\ Displaystyle (x, y) \ rightarrow (x \ cdot y)}(x⋅y)⋅(x⋅x)=x⋅(y⋅(x⋅x)){\ Displaystyle (x \ cdot y) \ cdot (x \ cdot x) = x \ cdot (y \ cdot (x \ cdot x))}

Uwagi

1. N. Bourbakiego mówi się o "wielomianowych tożsamości" do rzeczywistych stosunków postaci P ( P 1 , ..., p n ) = 0 z Q , P, 1 , ..., p n z wielomianów współczynnikach całość . Niezwykła tożsamość uczelni to szczególne przypadki, patrz N. Bourbaki , Elements of mathematics. Algebra , Paryż, CCLS,1970, rozdz.  3, s.  27.

Linki zewnętrzne

• Encyklopedia równań Internetowa encyklopedia tożsamości matematycznych