Hierarchia (matematyka)

Uważamy zbiór jednostek i zestaw z częściami z . H jest hierarchią, jeśli i tylko wtedy, gdy: Ω=(x1,...,xnie){\ Displaystyle \ Omega = (x_ {1}, \ kropki, x_ {n})}H.={H.1,...,H.sol}{\ displaystyle H = \ {H_ {1}, \ kropki, H_ {g} \}}Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}

• ∅∈H.{\ displaystyle \ emptyset \ in H}.
• co ja , .{xja}∈H.{\ displaystyle \ {x_ {i} \} \ in H}
• Ω∈H.{\ displaystyle \ Omega \ in H}.
• cokolwiek k i , lub lub .ℓ{\ displaystyle \ ell}H.k∩H.ℓ=∅{\ displaystyle H_ {k} \ cap H _ {\ ell} = \ emptyset}H.k⊂H.ℓ{\ Displaystyle H_ {k} \ podzbiór H _ {\ ell}}H.ℓ⊂H.k{\ Displaystyle H _ {\ ell} \ podzbiór H_ {k}}

Na przykład w zestawie zestaw Ω=(x1,x2,x3,x4){\ Displaystyle \ Omega = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4})}

H.={ ∅ ,{x1},{x2},{x3},{x4},{x1,x2},{x3,x4},{x1,x2,x3,x4}}{\ Displaystyle H = \ lewo \ {\ \ emptyset \, \ {x_ {1} \}, \ {x_ {2} \}, \ {x_ {3} \}, \ {x_ {4} \}, \ {x_ {1}, x_ {2} \}, \ {x_ {3}, x_ {4} \}, \ {x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4} \ } \ dobrze \}}

jest hierarchią.

Wskazówka dotycząca hierarchii

Nazywamy indeksu hierarchii H z funkcji I o w weryfikacji właściwości: Ω{\ displaystyle \ Omega}H.∖{ ∅ }{\ displaystyle H \ backslash \ left \ {\ \ emptyset \ \ right \}}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}

• jeśli i wtedy ,.H.k⊂H.ℓ{\ Displaystyle H_ {k} \ podzbiór H _ {\ ell}}k≠ℓ{\ Displaystyle k \ neq \ ell}ja(H.k)<ja(H.ℓ){\ Displaystyle i (H_ {k}) <ja (H _ {\ ell})}
• niezależnie od , .xja{\ displaystyle x_ {i}}Ω{\ displaystyle \ Omega}ja({xja})=0{\ Displaystyle i (\ {x_ {i} \}) = 0}

Ta para jest wtedy nazywana indeksowaną hierarchią . (H.,ja){\ displaystyle (H, i)}

W przypadku danych ciągłych funkcja bezwładności definiuje indeks. Biorąc pod uwagę poprzedni przykład i biorąc pod uwagę, że punkty są punktami współrzędnych xja{\ displaystyle x_ {i}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}

• x1=(1,0){\ Displaystyle x_ {1} = (1,0) \,}
• x2=(1,0.5){\ Displaystyle x_ {2} = (1,0,5) \,}
• x3=(2,2){\ Displaystyle x_ {3} = (2,2) \,}
• x4=(2,2.2){\ Displaystyle x_ {4} = (2,2,2) \,}

Funkcja bezwładności przyjmuje następujące wartości:

• ja({x1})=0{\ Displaystyle ja \ lewo (\ {x_ {1} \} \ prawej) = 0 \,}
• ja({x2})=0{\ Displaystyle ja \ lewo (\ {x_ {2} \} \ prawej) = 0 \,}
• ja({x3})=0{\ Displaystyle ja \ lewo (\ {x_ {3} \} \ prawej) = 0 \,}
• ja({x4})=0{\ Displaystyle ja \ lewo (\ {x_ {4} \} \ prawej) = 0 \,}
• ja({x1,x2})=1,125{\ Displaystyle ja \ lewo (\ {x_ {1}, x_ {2} \} \ prawej) = 1,125 \,}
• ja({x3,x4})=0,2{\ Displaystyle ja \ lewo (\ {x_ {3}, x_ {4} \} \ prawej) = 0,2 \,}
• ja({x1,x2,x3,x4})=4.5674{\ Displaystyle ja \ lewo (\ {x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4} \} \ prawej) = 4,5674 \,}

Taka hierarchia może być reprezentowana przez następujący dendrogram :