Wzór na prawdopodobieństwo całkowite

W teorii prawdopodobieństwa The całego preparatu prawdopodobieństwo jest twierdzenie , który pozwala obliczyć prawdopodobieństwo danego przypadku rozkładając je zgodnie z zaawansowanego systemu zdarzeń.

Stany

Wzór na całkowite prawdopodobieństwo - dajemy sobie przestrzeń prawdopodobieństwa Jeśli jest wyczerpującym (skończonym lub policzalnym ) systemem zdarzeń , a jeśli tak, to dla dowolnego zdarzenia ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P}).}$ ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, ja \ in I}}$ ${\ Displaystyle ja \ w ja}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) \ neq 0,}$ ${\ displaystyle A,}$

{\ Displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ suma _ {i \ w ja} \ mathbb {P} (A | B_ {i}) \ mathbb {P} (B_ {i}) = \ suma _ { i \ in I} \ mathbb {P} (A \ cap B_ {i}).}

Uwagi:

Przy definiowaniu stwarza problem: byłoby prawdopodobieństwo warunkowe od wiedząc zdarzenie, które nigdy nie nastąpi, a mianowicie Zazwyczaj definition of prowadziłoby następnie do dzielenia przez 0 ... konwencję, która jest rzadko szkodliwe polega na przypisywaniu dowolnej wartości pomiędzy 0 a 1: nigdy nie musimy przewidywać prawdopodobieństwa zdarzenia, wiedząc, ponieważ nigdy nie wystąpi, więc przypisanie dowolnej wartości nie spowoduje żadnego błędu. Z drugiej strony, we wzorze na prawdopodobieństwo całkowite przypisanie dowolnej wartości między 0 a 1 jest nieistotne, ponieważ następnie mnożymy tę wartość przez Podsumowując, przy tej konwencji założenie jest zbędne dla wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) = 0,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ $W$ ${\ Displaystyle B_ {i}.}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) = 0,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ $W$ ${\ displaystyle B_ {i},}$ $Bi}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {P} (B_ {i}).}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) \ neq 0}$
Hipotezę, zgodnie z którą system jest wyczerpujący, można osłabić : można go zastąpić przez. Z drugiej strony istotne jest, aby były one rozłączne. ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, ja \ in I}}$ ${\ displaystyle \ cup _ {\, ja \ in I} B_ {i} = \ Omega}$ ${\ displaystyle \ cup _ {\, ja \ in ja} B_ {i} \ supset A.}$ $Bi}$

Wariant

Twierdzenie - Rozważmy przestrzeń prawdopodobieństwo i zdarzeń A . Jeśli jest to podział (skończony lub policzalny) zdarzenia B , ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, ja \ in I}}$

{\ mathbb {P}} (A | B) = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i } | B).

Demonstracja

{\ begin {aligned} {\ mathbb {P}} (A \ cap B) & = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A \ cap B_ {i}) \\ & = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i}) \\ & = \ sum _ {{ i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i} | B) {\ mathbb {P}} (B), \ end { wyrównane}}

ponieważ CQFD ${\ Displaystyle B_ {i} \ nasadka B = B_ {i}.}$

Wniosek - Jeśli jest podziałem (skończonym lub policzalnym) zdarzenia B , a jeśli nie zależy od i , to wspólną wartością prawdopodobieństw warunkowych jest ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, ja \ in I}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B).}$

Demonstracja

Oznaczmy przez x wspólną wartość prawdopodobieństw warunkowych Następnie ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}).}$

{\ begin {aligned} {\ mathbb {P}} (A | B) & = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb { P}} (B_ {i} | B) \\ & = x \ \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (B_ {i} | B) \\ & = x. \ koniec {wyrównane}}

CQFD

W konsekwencji tego można sprowadzić obliczenia do obliczeń czasami łatwiejszych, ponieważ zdarzenie B i , będąc mniejsze od zdarzenia B , dostarcza dokładniejszych informacji, a tym samym ułatwia prognozowanie (prognoza = obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego). Taki przypadek często pojawia się podczas badania dwóch łańcuchów Markowa, z których jeden jest obrazem drugiego. Dowód własności Markowa dla procesów Galtona-Watsona to tylko jeden z wielu przykładów. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}),}$

W szczególności wniosek ten jest często stosowany w przypadku, gdy B = Ω , a następnie pozwala sprowadzić obliczenia do obliczenia ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}).}$

Zobacz też

Wzór na prawdopodobieństwo złożone