Forma lokalna

W geometrii różniczkowej The lokalny kształt krzywej płaszczyźnie jest wielkością charakteryzującą kształtu w miejscu tak, jak promień krzywizny (lub zakrzywienia ) charakteryzuje krzywiznę łuku . Wielkość ta jest niezmienna przez jednorodność, oprócz tego, że jest niezmienna przez przesunięcie i obrót, podobnie jak promień krzywizny lub krzywizny. W przypadku krzywej płaskiej kształt lokalny jest definiowany w dowolnym punkcie, który nie jest punktem przegięcia , z zastrzeżeniem, że krzywa nie zawiera odcinka prostego i ma wystarczające właściwości różniczkowalne.

Reprezentacje krzywej płaskiej

Zwykłe reprezentacje parametryczne

Przed zdefiniowaniem kształtu lokalnego konieczne jest zdefiniowanie reprezentacji krzywej. Krzywą można zdefiniować parametrycznie jako zbiór punktów odciętych x (t) i rzędnych y (t) dla t należącego do [a, b].

Łuki krzywej rozważane poniżej mają reprezentacje parametryczne (x = x (t), y = y (t)) o następujących właściwościach:

x (t) i y (t) są różniczkowalne do rzędu trzech.
Pierwotny wektor pochodnej jest różny od zera. (Brak punktu stacjonarnego, aw szczególności brak wierzchołka ).
Wektor drugiej pochodnej nie jest powiązany z wektorem pierwszej pochodnej z wyjątkiem pojedynczych punktów.

Są to warunki wystarczające do określenia krzywoliniowych odciętych, stycznych do krzywej i promieni krzywizny.

Zależności (s = s (t), q = q (t)), gdzie s (t) to krzywoliniowa odcięta, a q (t) to kąt stycznej do krzywej z osią odciętych, definiują inną możliwą reprezentację krzywa. To będzie głównie używane.

Te reprezentacje parametryczne (x (t), y (t)) i ((s (t), q (t)) są połączone relacjami:

$\ textstyle s (t) = \ int \ limits_ {t0} ^ {t} (x '^ 2 + y' ^ 2) ^ \ frac {1} {2} ~ dt$ z dowolnie ustawionym początkiem t0

$\ textstyle q (t) = \ int \ limits_ {t0} ^ {t} {\ frac {y '' x '- y' x ''} {x '^ 2 + y'2}} ~ dt$ z $\ textstyle x '= \ frac {dx} {dt} \ quad x' '= \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2}$

Ustawianie parametrów na odciętej kątowej.

Aby zdefiniować lokalny kształt, zamiast parametryzować krzywą zmienną t, parametryzujemy ją za pomocą odciętej kątowej, wielkości, która nie zależy ani od skali krzywej, ani od całej krzywej. Odcięta kątowa wzdłuż krzywej jest określona przez:

$\ textstyle \ color {Blue} T (t) = \ int \ limits_ {t0} ^ {t} \ left | \ frac {dq} {dt} \ right | ~ dt$ (jeśli dodatnio policzymy kątowe odcięte w kierunku rosnącego t)

t0 określa początek kątowych odciętych.

T (t) jest funkcją ściśle rosnącą, jeśli łuk rozpatrywanej krzywej nie zawiera odcinka linii ani punktu przegięcia. W tych warunkach możemy sparametryzować krzywą o T zamiast t. | T (t) | nazywana jest długością kątową krzywej między punktami [x (t0), y (t0)] i [x (t), y (t)].

Z tej definicji można wywnioskować:

$\ textstyle \ frac {dT} {dt} = \ left | \ frac {dq} {dt} \ right |$ jest $\ textstyle \ frac {dq} {dt} = \ textstyle {\ pm} 1$

Dla krzywej bez punktu przegięcia, T jest kątem stycznej do krzywej (początek został określony przez wybór t0).

Wyrażenie formy lokalnej

Dla krzywej określonej przez: s = s (T) i q = q (T)

Lokalny kształt litery T krzywej jest określony przez parę wartości:

${\ color {Blue} \ left (\ frac {\ frac {d ^ 2s} {dT ^ 2}} {\ frac {ds} {dT}} \ frac {dq} {dT} ~, ~ \ frac {dq } {dT} \ right)}$ z $\ frac {dq} {dT} = \ textstyle {\ pm} 1$

Dla ułatwienia języka wartość: nazywana jest lokalnym kształtem T lub po prostu kształtem w punkcie odciętej T. $f (T) = \ frac {\ frac {d ^ 2s} {dT ^ 2}} {\ frac {ds} {dT}} \ frac {dq} {dT}$

Forma lokalna jest wyrażona jako rd -1

Aby móc zdefiniować tę wielkość, krzywa musi być konfigurowalna przez T (to znaczy nie zawierać ani odcinka linii, ani punktu przegięcia) i być różniczkowalna względem T.

Uwaga: f (T) można również zapisać:

$f (T) = \ frac {\ frac {dr} {dT}} {r} \, \ frac {dq} {dT}$ gdzie jest promień krzywizny $r = \ frac {ds} {dq}$

W rzeczy samej :

$\ textstyle \ frac {dr} {dT} = \ frac {d \ left (\ frac {ds} {dq} \ right)} {dT} = \ frac {d \ left (\ frac {ds} {dT} \ frac {dT} {dq} \ right)} {dT} = \ frac {d ^ 2s} {dT ^ 2} \ frac {dT} {dq}$

${\ displaystyle \ textstyle r = {\ frac {ds} {dq}} = {\ frac {ds} {dT}} \, {\ frac {dT} {dq}}}$

Pierwsze wyrażenie podane dla f (T) następuje natychmiast.

Niezmienność formy lokalnej

Podczas przekształcania krzywej przez skalowanie parametr ds / dT jest mnożony przez współczynnik skalowania. To jest to samo dla d²s / dT², dlatego if (T) są niezmienne przez homothety. Aby docenić niezmienność przez homothety, można również wnioskować o wyrażeniu: $\ textstyle \ frac {d ^ 2s / dT ^ 2} {ds / dT}$ $\ textstyle f (T) = \ frac {(dr / dT)} {r} ~ \ frac {dq} {dT}$
Znak ilości zależy od kierunku jazdy po krzywej. Zakładając, że f (T) jest równe iloczynowi tego wyrażenia przez dq / dT, pozbywamy się tej zależności. $\ textstyle \ frac {d ^ 2s / dT ^ 2} {ds / dT}$
Niech będzie krzywą charakteryzowaną przez f (T) i dq / dT, jej symetryczna krzywa (względem prostej) będzie miała charakterystykę - f (t) i - dq / dT.

Rekonstrukcja łuku z lokalnego kształtu

Odcięta krzywoliniowa zgodnie z miejscowym kształtem

Aby pokazać, że jeśli istnieją f (T) i dq / dT, to całkowicie charakteryzują one kształt krzywej, wyrażamy s (t) i q (t) jako funkcję f (T) i dq / dT.

${\ Displaystyle \ textstyle f (T) = {\ Frac {(dr / dT)} {r (T)}} ~ {\ Frac {dq} {dT}}}$

${\ Displaystyle \ textstyle f (T) (dq / dT) = {\ Frac {dr / dT} {r (T)}}}$

$\ textstyle \ int \ limits_ {T0} ^ {T} f (T) (dq / dT) dT ~ = ~ \ int \ limits_ {T0} ^ {T} \ frac {dr / dT} {r (T)} dT$

$\ textstyle = ~ ln (\ left | r (T) \ right |) - ln (\ left | r (T_ {0}) \ right |)$

Skąd :

$\ textstyle \ left | r (T) \ right | = \ left | r (T_ {0}) \ right | \, \ exp \ bigl (\ int \ limits_ {T_0} ^ {T} f (T) (dq / dT) ~ dT \ bigr)$

Z drugiej strony :

${\ Displaystyle \ textstyle s (T) = \ int \ ograniczenia _ {T_ {1}} ^ {T} (ds / dT) \, dT}$

Jeśli zorientujemy krzywą w kierunku rosnącego T, to ds / dT> 0 i możemy zatem napisać:

$\ textstyle s (T) = \ int \ limits_ {T_1} ^ {T} \ left | (ds / dT) \ right | \, dT$

$\ textstyle = \ int \ limits_ {T_1} ^ {T} \ left | r (T) \ right | \, dT$

W związku z tym :

${\ Displaystyle \ textstyle s (T) = \ int \ ograniczenia _ {T_ {1}} ^ {T} \ lewo | r (T_ {0}) \ prawo | \, \ exp {\ biggl (} \ int \ limity _ {T_ {0}} ^ {T} f (T) {\ frac {dq} {dT}} ~ dT {\ biggr)} ~ dT}$

Wybór T1 określa pochodzenie krzywoliniowych odciętych;
Wybór r (T0) określa rozmiar krzywej.

Z drugiej strony:

$\ textstyle q (T) = \ int \ limits_ {T_2} ^ {T} \ frac {dq} {dT} \, dT ~ + ~ q_2$ q2 jest kątem stycznej w punkcie określonym przez T2.

Mówiąc prościej, jeśli za początek krzywoliniowych odciętych przyjmuje się T0, jeśli r (T0) jest promieniem krzywizny w T0 i jeśli q0 jest kątem stycznej w T0, to:

${\ Displaystyle \ textstyle \ kolor {niebieski} s (T) = \ lewo | r (T_ {0}) \ prawo | \, \ int \ limity _ {T_ {0}} ^ {T} \, \ exp { \ biggl (} \ int \ limits _ {T_ {0}} ^ {T} f (T) {\ frac {dq} {dT}} ~ dT {\ biggr)} ~ dT}$

$\ textstyle \ color {Blue} q (T) = \ int \ limits_ {T_0} ^ {T} \ frac {dq} {dT} \, dT ~ + ~ q_0$

Kształt krzywej reprezentacji (s = s (T), q = q (T)) jest zatem całkowicie określony przez znajomość f (T) i (dq / dT) (T).

Współrzędne kartezjańskie zgodnie z lokalnym kształtem

x (T) i y (T) można wyrazić jako funkcję f (T) i dq / dT.

$\ textstyle x (s) = \ int \ limits_ {s_0} ^ {s} \ cos (q (s)) \, ds ~ + ~ x_0$

$\ textstyle y (s) = \ int \ limits_ {s_0} ^ {s} \ sin (q (s)) \, ds ~ + ~ y_0$

Lub:

$\ textstyle x (T) = \ int \ limits_ {T_0} ^ {T} \ cos (q (T)) \, \ frac {ds} {dT} (T) \, dT ~ + ~ x_0$

$\ textstyle y (T) = \ int \ limits_ {T_0} ^ {T} \ sin (q (T)) \, \ frac {ds} {dT} (T) \, dT ~ + ~ y_0$

Złoto

${\ Displaystyle \ textstyle {\ Frac {ds} {dT}} (T) = \ lewo | r (T_ {0}) \ prawo | ~ \ exp {\ biggl (} \ int \ limity _ {T_ {0} } ^ {T} f (T) {\ frac {dq} {dT}} \, dT {\ biggr)}}$

A więc: (1)

$\ textstyle {\ color {niebieski} x (T) = \ left | r (T_0) \ right | ~ \ int \ limits_ {T_0} ^ {T} \ bigg [\ cos \ biggl (\ int \ limits_ {T_0} ^ {T} \ frac {dq} {dT} dT \, + \, q_0 \ biggr) \ exp \ biggl (\ int \ limits_ {T_0} ^ {T} f (T) \ frac {dq} {dT} \ biggr) \ bigg] dT ~ + ~ x_0}$

$\ textstyle {\ color {Blue} y (T) = \ left | r (T_0) \ right | ~ \ int \ limits_ {T_0} ^ {T} \ bigg [\ sin \ biggl (\ int \ limits_ {T_0} ^ {T} \ frac {dq} {dT} dT \, + \, q_0 \ biggr) \ exp \ biggl (\ int \ limits_ {T_0} ^ {T} f (T) \ frac {dq} {dT} \ biggr) \ bigg] dT ~ + ~ y_0}$

Warunki istnienia, obliczenie formy lokalnej

Powyżej wykazano, że można lokalnie scharakteryzować kształt krzywej poprzez:

${\ Displaystyle \ textstyle f (T) = {\ Frac {(dr / dT} {r}} \, {\ Frac {dq} {dT}}}$ i $\ frac {dq} {dT}$

Zobaczmy teraz, jak praktycznie obliczyć te wartości dla łuku krzywej zdefiniowanej przez (x (t), y (t)):

Mamy :

$\ textstyle f (T) = \ frac {dr / dT} {r} \ frac {dq} {dT} = \ frac {1} {r} \ frac {dr / dT} {dq / dT}$

Jeśli t jest ściśle monotoniczną funkcją T, możemy dokonać zmiany zmiennej t = t (T), którą otrzymamy:

${\ displaystyle \ textstyle f (t) = {\ frac {1} {r (t)}} {\ frac {dr / dt} {dq / dt}}}$

f (t) można obliczyć z poniższych zależności.

Jeśli x ', x ", x"' ... reprezentują pierwszą drugą i trzecią pochodną względem t.

Niech będzie krzywoliniową odciętą, mamy:

$ds = k \, ((x ') ^ 2 + (y') ^ 2) ^ {1/2} \, dt$ gdzie k = + 1 lub k = -1

Niech q będzie kątem stycznej do krzywej, przy osi x, otrzymamy:

$tan \, (q) = y '/ x'$

Niektóre obliczenia pozwalają wywnioskować: (2)

${\ color {Blue} {dq / dt = \ frac {y '' x '- y' x ''} {x '^ 2 + y' ^ 2}}}$

${\ color {Blue} f (t) = \ frac {3 (x'x '' + y'y '') (x'y '' - y'x '') - (x '^ 2 + y' ^ 2) (x'y '' '- y'x' '')} {(x'y '' - y'x '') ^ 2}}$

Trudno jest zmienić zmienną, aby wyrazić f jako funkcję T zamiast t, więc zostawiamy wyrażenie w tej formie.

Uwagi:

Forma lokalna nie jest zdefiniowana dla linii lub segmentu linii (dla linii lub segmentu linii i ma wartość zero w dowolnym punkcie). $(x 'y' '- y' x '')$ $(x 'y' '' - y 'x' '')$
W dowolnym punkcie okręgu lokalny kształt ma wartość 0.
Kiedy zbliżamy się do punktu przegięcia, dąży do 0, więc możemy powiedzieć, że f (t) dąży do plus lub minus nieskończoności, chyba że wektor trzeciej pochodnej jest powiązany z wektorem pierwszej pochodnej , w którym to przypadku jest to bardziej szczegółowe badanie granicy f (t) byłoby potrzebne. $(x 'y' '- y' x '')$ $(x 'y' '' - y 'x' '' = 0)$

Przykłady

Kształt elipsy

Niech elipsa zdefiniowana jest przez:

x = a cos (t)

y = b sin (t)

Korzystając z ustalonych powyżej zależności (2), oblicza się:

${\ Displaystyle \ kolor {niebieski} \ textstyle f (t) = {\ Frac {3 \ sin (2t) (a ^ {2} -b ^ {2})} {2ab}}}$

${\ Displaystyle \ textstyle dq / dt = {\ Frac {ab} {a ^ {2} \ sin ^ {2} (t) + b ^ {2} \ cos ^ {2} (t)}}}$

Aby wyrazić postać jako funkcję T, obliczyliśmy całkę numerycznie

${\ Displaystyle \ textstyle T (t) = \ int \ ograniczenia _ {0} ^ {t} \ lewo | {\ Frac {dq} {dt_ {1}}} \ prawo | \, dt_ {1}}$

i dokonano zmiany zmiennej (wyrażenie f i dq / dT w funkcji T zamiast t).

Graficzne przedstawienie pokazane obok uzyskuje się dla a = 3 i b = 1.

Na rysunku krzywe reprezentujące f (t) if (T) są przedstawione na zielono i oznaczone clf.

Kształt paraboli

Niech parabola będzie określona przez:

x = t

y = bt 2

Korzystając z ustalonych powyżej zależności (2), oblicza się:

f (t) = 6 bt

$\ textstyle dq / dt = \ frac {2 b} {4 b ^ 2 t ^ 2 + 1}$

Z tego ostatniego równania wnioskujemy:

t = tan (T) / (2b) T ∈] -π / 2, π / 2 [(jeśli weźmiemy początek kątowych odciętych w t = 0)

Możemy zatem wyrazić postać lokalną w funkcji odciętej kątowej T:

f (T) = 3 tan (T) T ∈] -π / 2, π / 2 [

Stały kształt

Niech będzie formą zdefiniowaną przez:

$f (T) = a$ prawdziwa stała

$\ textstyle \ frac {dq} {dT} (T) = 1$ dla wszystkich T

Relacje (1) dają reprezentację x (t), y (t) odpowiadającą tej definicji.

Parametryzując za pomocą kątowej odciętej i biorąc:

$\ textstyle t_0$ = 0 = 0 $\ textstyle q_0$

${\ Displaystyle \ textstyle x_ {0} = {\ Frac {a \ lewo | r (0) \ prawo |} {1 + a ^ {2}}} ~~~~~~~ Y_ {0} = { \ frac {- \ left | r (0) \ right |} {1 + a ^ {2}}}}$

Relacje (1) dają:

${\ Displaystyle \ kolor {niebieski} \ textstyle x = {\ Frac {\ lewo | r (0) \ prawo |} {1 + a ^ {2}}} \, e ^ {at} (a \ cos (t ) + \ sin (t))}$

${\ Displaystyle \ kolor {niebieski} \ textstyle y = {\ Frac {\ lewo | r (0) \ prawo |} {1 + a ^ {2}}} \, e ^ {at} (- \ cos (t ) + a \ sin (t))}$

Przedstawienie graficzne obok uzyskuje się dla a = 0,2 ir (0) = 1,04.

W tych warunkach:

${\ Displaystyle \ textstyle x = e ^ {0 {,} 2t} ~ (\, 0 {,} 2 \ cos (t) + \ sin (t) \,)}$

${\ Displaystyle \ textstyle y = e ^ {0 {,} 2t} ~ (\, - \ cos (t) +0 {,} 2 \ sin (t) \,)}$

Link zewnętrzny

Przegląd przetwarzania sygnału - charakterystyka kształtu lokalnego