Koniec (teoria kategorii)

W matematyce , koniec z funktora jest uogólnieniem pojęcia granicy . Końcówki i ich bliźniacze, cofins są zwykle zauważyć z S wraz z całki .

Pojęcie końca pojawia się naturalnie w rozszerzeniach Kan w teorii kategorii wzbogaconych oraz w badaniu działań na kategorii . W szczególności koniec funktora, postrzegany jako dystrybutor , odpowiada podobiektowi (en), na którym zbiega się akcja po prawej stronie i akcja po lewej stronie.

Definicja

Niech i te kategorie , a jest bifunctor . End of F w X jest dane: $VS$ $re$ $F: C ^ {{{\ mathrm {op}}}} \ times C \ to D$

obiektu e z D , skojarzonego z
extranaturelle konwersji (czasami nazywany "dinaturelle") Uniwersalne E do F .

To jest zapisane

\ int _ {{c: C}} F (c, c).

Jeżeli codomain D jest pełna kategorii (w) , a następnie są wszystkie małe granicach i, jak granicach , można określić koniec F jako wyrównanie w schemacie :

{\ displaystyle \ int _ {c: do} F (c, c) \ longrightarrow \ prod _ {c: do} F (c, c) \ rightrightarrows \ prod _ {c, c ': C} F (c, c ') ^ {C (c, c')}}

gdzie górny morfizm jest indukowany przez prekompozycję, a dolny przez postkompozycję . ${\ Displaystyle F (c, c) \ razy C (c, c ') \ rightarrow F (c, c')}$ ${\ Displaystyle F (c ', c') \ razy C (c, c ') \ rightarrow F (c, c')}$