Wystawca grupowy

Ogólnie rzecz biorąc , wykładnik grupy jest pojęciem teorii grup .

Można go użyć do udowodnienia twierdzenia Kroneckera o strukturze skończonych grup abelowych .

Odpowiada on hipotezie problemu Burnside'a z 1902 roku, dlatego znajduje się w powiązanym twierdzeniu Burnside'a .

Definicja

Niech G będzie grupą z neutralnym elementem oznaczonym przez e . Nazywamy wykładnik wśród G najmniejszą ściśle dodatnią liczbę całkowitą N , jeśli istnieje, tak że

{\ displaystyle \ forall g \ in G \ qquad g ^ {n} = e}

Jeśli nie istnieje, mówimy, że G ma nieskończony wykładnik.

Definicja ta odpowiada: wykładnik G jest najmniejsza wspólna wielokrotność z zamówienia elementów grupy, jeśli wszystkie te rozkazy są ograniczone i przyjęciu Common górna granica i nieskończoność inaczej.

Warunkiem koniecznym (ale nie wystarczającym), aby wykładnik grupy był skończony, jest zatem, aby ta grupa była skrętna .

Uwaga Niech G zawsze będzie grupą, z neutralnym elementem oznaczonym e . Względne liczby całkowite n , takich, że x n = E dla każdego pierwiastka X o G tworzą podgrupę ( Z +), który, podobnie jak dowolnej podgrupie ( Z +), przyznaje unikalny generator ziemnego (ewentualnie zero). Jeśli ten generator jest niezerowy, jest równy wykładnikowi G, jak zdefiniowano powyżej. Jeśli generator ma wartość zero, wykładnik G, jak zdefiniowano powyżej, jest równy nieskończoności. Niektórzy autorzy określają wykładnik G jako naturalny generator, o którym mowa. Definicja ta różni się od poprzedniej tylko w przypadku, gdy wykładnik w pierwszym sensie jest nieskończony; w tym przypadku wykładnik w drugim sensie wynosi zero. W drugiej definicji cechą charakterystyczną pola jest wykładnik jego grupy addytywnej.

Nieruchomości

Wykładnik grupy skończonej jest siłą rzeczy skończony : jest nawet dzielnikiem rzędu grupy. Rzeczywiście, w grupie skończonej kolejność każdego elementu dzieli porządek grupy zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a .
Każda grupa abelowa ze skończonym wykładnikiem zawiera co najmniej jeden element, którego kolejność jest równa wykładnikowi grupy. Rzeczywiście, w grupie abelowej zbiór rzędów elementów jest stabilny przez PPCM (patrz kolejność (teoria grup) # Zamówienie produktu ), więc jeśli ten zbiór ma maksimum , to kolejność jest wielokrotnością wszystkich pozostałych.

Uwagi i odniesienia

Aviva Szpirglas , Algebra L3: Kompletny kurs z 400 testami i poprawionymi ćwiczeniami [ szczegóły wydania ], definicja 6.82.
Serge Lang , Algebra [ szczegóły wydań ]facet. I, § 3.
Rząd elementu g z G wyznacza najmniejszą ściśle dodatnią liczbę całkowitą n spełniającą g n = e , jeśli istnieje, a nieskończoność w przeciwnym razie.
Na przykład Hans J. Zassenhaus , Teoria grup , 2 e wydanie, 1958 przedruku Dover, 1999, str. 108. Prawdą jest, że Zassenhaus, str. 3, określa rząd nieskończonej grupy na zero.

Zobacz też

Powiązany artykuł

Funkcja Carmichaela

Bibliografia

JF Labarre, Teoria grup , PUF , 1978