Równania Lagrange'a

Te równania Lagrange'a , odkryte w 1788 roku przez matematyk Joseph Louis Lagrange , jest przeformułowanie mechaniki klasycznej.

Równania pierwszego rodzaju

Jest to przeformułowanie równania Newtona , które nie uwzględnia sił reakcji.

W tym celu wyrażamy naprężenia, którym podlega badana cząstka w postaci równań typu: solja(x→,t)=0{\ displaystyle g_ {i} ({\ vec {x}}, t) = 0}

Istnieje tylko jedno równanie, jeśli ruch jest ograniczony do powierzchni, dwa, jeśli jest ograniczony do krzywej.

Na przykład dla prostego wahadła mamy ograniczenie . Jeśli ponadto ruch odbywa się w płaszczyźnie Oxz, dodajemy równaniesol1(x→,t)=r-ja=0{\ styl wyświetlania g_ {1} ({\ vec {x}}, t) = rl = 0}sol2(x→,t)=tak=0{\ displaystyle g_ {2} ({\ vec {x}}, t) = y = 0}

Zakładamy, że siły reakcji (z wyłączeniem tarcia) są ortogonalne do powierzchni lub krzywej naprężeń, następnie zapisujemy je w postaci

R→ja=λja∇→solja  ,  ja=1,2{\ displaystyle {\ vec {R}} _ {i} = \ lambda _ {i} {\ vec {\ nabla}} g_ {i} ~~, ~~ i = 1,2}

Równania ruchu są zatem

mir→¨=fa→+λ1∇→sol1+λ2∇→sol2{\ displaystyle m {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ vec {F}} + \ lambda _ {1} {\ vec {\ nabla}} g_ {1} + \ lambda _ {2} { \ vec {\ nabla}} g_ {2}} solja(x→,t)=0  ,  ja=1,2{\ displaystyle g_ {i} ({\ vec {x}}, t) = 0 ~~, ~~ i = 1,2}

Równania drugiego rodzaju

W mechanice Lagrange'a trajektorię obiektu uzyskuje się poprzez dążenie do zminimalizowania pewnej wielkości zwanej działaniem . Zasada najmniejszego działania oznacza, że przedmiot następuje trajektoria, która minimalizuje działania w każdej chwili i Lagrange przeformułowania równania w tym kontekście, że prawa mechaniki odkryta przez Isaac Newtona .

W mechanice równania Lagrange'a umożliwiają bardzo łatwe otrzymanie równań ruchu układu złożonego bez konieczności posługiwania się pojęciem siły .

Dla układu o stopniach swobody opisanych współrzędnymi uogólnionymi wyrażamy Lagrange'a ze współrzędnych uogólnionych i ich pochodnych względem czasu jako różnicę między energią kinetyczną a energią potencjalną . Ponieważ czas można wyraźnie określić w Lagrange'u, ostatecznie zależy on od zmiennych. NIE{\ styl wyświetlania N} NIE{\ styl wyświetlania N} qja{\ styl wyświetlania q_ {i}} L{\ styl wyświetlania L} qja{\ styl wyświetlania q_ {i}}q˙ja{\ styl wyświetlania {\ kropka {q}} _ {i}}2NIE+1{\ styl wyświetlania 2N + 1}

Gdy do układu nie jest przyłożona żadna siła zewnętrzna, równania Lagrange'a mają następującą postać:

reret∂L∂q˙ja-∂L∂qja=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ kropka {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ częściowe L} {\ częściowe q_ {i}}} = 0}

Równania te można wyprowadzić bezpośrednio z praw mechaniki klasycznej. Dla każdej współrzędnej uogólnionej istnieje równanie . Jednym z zainteresowań tych równań jest możliwość wyboru najbardziej odpowiedniego układu zmiennych do opisu układu. q˙ja{\ styl wyświetlania {\ kropka {q}} _ {i}}

W mechanice klasycznej parametrem jest czas, a równania te są właściwymi równaniami Lagrange'a.

Jeśli parametrem jest długość ścieżki, równania te dostarczają równania geodezyjnego .

Ustalenie równań

Mając układ współrzędnych any , zmienną do wyznaczania trajektorii, rozważ funkcję, która zależy tylko od zmiennych i całkowitej pochodnej względem , . Chcemy znaleźć dane trajektorie końcowe i , które minimalizują całkę xja{\ styl wyświetlania x_ {i}}τ{\ styl wyświetlania \ tau}L{\ styl wyświetlania L}xja{\ styl wyświetlania x_ {i}}τ{\ styl wyświetlania \ tau}x˙ja{\ styl wyświetlania {\ kropka {x}} _ {i}}xja(τ){\ displaystyle x_ {i} (\ tau)}τ1{\ styl wyświetlania \ tau _ {1}}τ2{\ styl wyświetlania \ tau _ {2}}

∫τ1τ2L(xja,x˙ja)reτ{\ displaystyle \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} L \ lewy (x_ {i}, {\ kropka {x}} _ {i} \ prawy) \ mathm {d } \ tau}

Rozważmy nieskończenie bliskie trajektorię z nieskończenie mały i . Zakładając, że rozwiązania są znalezione i podane, funkcja x'(τ)=x(τ)+εξ(τ){\ displaystyle x '(\ tau) = x (\ tau) + \ varepsilon \ xi (\ tau)}ε{\ styl wyświetlania \ varepsilon}ξ(τ1)=ξ(τ2)=0{\ styl wyświetlania \ xi (\ tau _ {1}) = \ xi (\ tau _ {2}) = 0}ξ(τ){\ styl wyświetlania \ xi (\ tau)}

S(ε)=∫τ1τ2(L(xja,x˙ja)+εξ(τ)∂L∂xja+εξ˙(τ)∂L∂xja˙+o(ε))reτ{\ displaystyle S \ lewy (\ varepsilon \ prawy) = \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} \ lewy (L \ lewy (x_ {i}, {\ kropka {x }} _ {i} \ po prawej) + \ varepsilon \ xi \ po lewej (\ tau \ po prawej) {\ frac {\ częściowe L} {\ częściowe x_ {i}}} + \ varepsilon {\ kropka {\ xi}} \ lewy (\ tau \ prawy) {\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ kropka {x_ {i}}}} + o \ lewy (\ varepsilon \ prawy) \ prawy) \ mathrm {d} \ tau}

to minimum dla  : ε=0{\ styl wyświetlania \ varepsilon = 0}

0=[reSreε](0)=∫τ1τ2(ξ(τ)∂L∂xja+ξ˙(τ)∂L∂xja˙)reτ{\ displaystyle 0 = \ lewo [{\ frac {\ matematyka {d} S} {\ matematyka {d} \ varepsilon}} \ po prawej] \ po lewej (0 \ po prawej) = \ int _ {\ tau _ {1} } ^ {\ tau _ {2}} \ lewy (\ xi \ lewy (\ tau \ prawy) {\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy x_ {i}}} + {\ kropka {\ xi}} \ lewy (\ tau \ prawy) {\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ kropka {x_ {i}}}} \ prawy) \ mathrm {d} \ tau}

Całkując przez części drugi wyraz pod całkę i korzystając z faktu, że na granicach przyjęto zero, otrzymaliśmy ξ{\ styl wyświetlania \ xi}

0=∫τ1τ2(ξ(τ)∂L∂xja-ξ(τ)rereτ∂L∂xja˙)reτ{\ displaystyle 0 = \ int _ {\ tau _ {1}} ^ {\ tau _ {2}} \ lewy (\ xi \ lewy (\ tau \ prawy) {\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy x_ {i}}} - \ xi \ lewy (\ tau \ prawy) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} {\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ kropka {x_ {i}}}} \ po prawej) \ matematyka {d} \ tau}.

Ponieważ funkcja jest dowolna, musimy mieć ξ{\ styl wyświetlania \ xi}

∂L∂xja-rereτ∂L∂xja˙=0{\ displaystyle {\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy x_ {i}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} {\ frac {\ częściowy L} { \ częściowy {\ kropka {x_ {i}}}}} = 0}

Wysiłki zewnętrzne

Gdy przyłożone siły wywodzą się z uogólnionego potencjału , tj. weryfikującego fa→{\ displaystyle {\ vec {F}}}V(x→,x→˙,t){\ displaystyle V ({\ vec {x}}, {\ kropka {\ vec {x}}}, t)}

faja=reret∂V∂x˙ja-∂V∂xja{\ displaystyle F_ {i} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ częściowy V} {\ częściowy {\ kropka {x}} _ {i}} } - {\ frac {\ częściowy V} {\ częściowy x_ {i}}}}

powyższe równanie pozostaje aktualne, z Lagrange'em L=T-V {\ Displaystyle L = TV ~}

Kiedy siła niepochodząca z uogólnionego potencjału jest przyłożona do układu w punkcie , równania Lagrange'a stają się: fa{\ styl wyświetlania F}P=(x,tak,z){\ styl wyświetlania P = (x, y, z)}

reret∂L∂q˙ja-∂L∂qja=faqja{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ częściowy L} {\ częściowy {\ kropka {q}} _ {i}}} - {\ frac {\ częściowe L} {\ częściowe q_ {i}}} = F_ {q_ {i}}} lub faqja=∂x∂qja⋅fax+∂tak∂qja⋅fatak+∂z∂qja⋅faz{\ displaystyle F_ {q_ {i}} = {\ frac {\ częściowe x} {\ częściowe q_ {i}}} \ cdot F_ {x} + {\ frac {\ częściowe y} {\ częściowe q_ {i} }} \ cdot F_ {y} + {\ frac {\ częściowy z} {\ częściowy q_ {i}}} \ cdot F_ {z}}

Przykładem siły pochodzącej z potencjału uogólnionego, ale nie z potencjału klasycznego, jest siła Lorentza  :

fa→=qmi→+qv→×b→=reret∂V∂x→˙-∂V∂x→{\ displaystyle {\ vec {F}} = q {\ vec {E}} + q {\ vec {v}} \ razy {\ vec {B}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ częściowy V} {\ częściowy {\ kropka {\ vec {x}}}}} - {\ frac {\ częściowy V} {\ częściowy {\ vec {x}} }}} z V(x→,x→˙,t)=qφ-qW→⋅v→{\ displaystyle V ({\ vec {x}}, {\ kropka {\ vec {x}}}, t) = q \ phi -q {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {v}}}

Z drugiej strony siła tarcia płynu nie wynika z żadnego potencjału, nawet uogólnionego. fa→=-αv→{\ displaystyle {\ vec {F}} = - \ alfa {\ vec {v}}}

Załączniki

Powiązane artykuły

• Obliczanie wariacji

Przykłady

• Wahadło podwójne  ;
• wahadło kuliste  ;
• Równanie geodezyjne .

Linki zewnętrzne

• Dynamika układów stałych , mechanika ogólna - Cours de Sylvie Pommier

Uwagi i referencje

1. (en) Herbert Goldstein, Mechanika Klasyczna
2. Claude Gignoux, Bernard Silvestre-Brac, Od sformułowania Lagrange'a do chaosu hamiltonowskiego
3. Joseph Louis Lagrange, Mechanika analityczna ( czytaj online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">