Krzyż maltański (mechanizm)

Krzyż maltański to urządzenie mechaniczne, które przekształca ciągły ruch obrotowy w gwałtowny obrót. Jego nazwa wywodzi się od podobieństwa do krzyża maltańskiego (✠, symbol Zakonu św. Jana Jerozolimskiego lub Suwerennego Zakonu Maltańskiego ), ale z okrągłymi bokami. W języku angielskim i hiszpańskim mechanizm ten bierze swoją nazwę od miasta Genewy ( napęd genewski , Rueda de Ginebra ) - ale w języku angielskim używany jest również termin krzyż maltański .

Urządzenie mechaniczne składa się z krzywki napędzanej „popychaczem”, umożliwiającym indeksowanie .

Historyczny

Wynalazca Jules Carpentier z Francji, który pracował z braćmi Lumière , i Oskar Messter , jeden z pionierów niemieckiego kina, opatentowali maltańskie urządzenia krzyżowe już w 1896 roku. Ale to maltański krzyż dla czterech gałęzi Pierre-Victor Continsouza, który był wówczas najpowszechniej stosowany w urządzeniach do projekcji kinematograficznej.

Używa

Stosowany jest w szczególności do filmu (niecyfrowego) w projektorach i rzadko w aparatach do przewijania filmu: film musi zatrzymywać się na każdym obrazie przed migawką (strzelanie) lub przed lampą (występ).

Mechanizm ten znajduje się w licznikach mechanicznych (przebieg samochodu, zużycie wody lub gazu itp.), Gdzie gwarantuje wyrównanie cyfr i ich przechylanie przy każdym zatrzymaniu. Znajduje również zastosowanie w maszynach realizujących przesuwanie produktu z koniecznością odczekania na jego wprowadzenie (na co nie pozwala układ korbowód-korba). Na przykład znajduje się u podstawy ruchów stosowanych na maszynach pakujących: produkty są wprowadzane do sklepu spożywczego w określonej ilości (faza zatrzymania), a następnie są owijane podczas ruchu przenoszenia (faza ruchu).

Operacja

Działanie mechanizmu krzyża maltańskiego jest następujące: cylinder, zwany korbą lub kołem napędowym, obraca się w sposób ciągły, z regularną prędkością, i trzyma palec. Palec wchodzi w rowek w krzyżu maltańskim (napędzane koło), powodując jego obrót o 1 / n obrotu, gdzie n to liczba rowków w krzyżu ( n = 4 na rysunku obok, animacja 6 w l powyżej).

Następnie palec wychodzi z rowka, siłownik silnika kontynuuje swój bieg, podczas gdy krzyż maltański pozostaje nieruchomy. Centralny cylinder, częściowo wydrążony, uzupełnia zaokrąglenie krzyża maltańskiego; służy to do ustabilizowania położenia urządzenia, gdy palec nie jest umieszczony w rowku.

Liczba rowków może przyjmować wartości parzyste lub nieparzyste, zwykle od 4 do 10.

Warianty

Wewnętrzny Krzyż Maltański.
Działanie wewnętrznego krzyża maltańskiego.
Kulisty krzyż maltański.

Istnieją dwa warianty: krzyż maltański wewnętrzny i krzyż maltański kulisty „w tulipanie” (układ z równoległymi osiami).

W przypadku krzyża maltańskiego wewnętrznego wał silnika (z kołem napędowym) osadzony jest na wale wspornikowym ( wspornikowym , jest trzymany tylko z jednej strony). Wał jest zatem bardziej wrażliwy na zginanie, co może stanowić problem przy dużym obciążeniu.

Ponadto czas jazdy jest dłuższy niż pół okresu: potrzeba więcej niż połowy obrotu koła napędowego, aby koło napędzane obróciło się o jeden stopień. W przeciwieństwie do zewnętrznego krzyża maltańskiego czas trwania treningu (czas motoryczny) jest zatem dłuższy niż czas odpoczynku. W konsekwencji maksymalne przyspieszenie jest mniejsze, ale nadal wykazuje nieciągłości na początku i na końcu ruchu.

W przypadku kulistego krzyża maltańskiego drzewo również musi być na wsporniku. Czas szkolenia to pół okresu; czas trwania szkolenia jest równy czasowi odpoczynku.

Daniny

Niektórzy filmowcy oddali hołd temu mechanizmowi, który jest fundamentalny dla kręcenia i projekcji na filmie:

Wim Wenders , w The American Friend (1977): dziecko, syn Jonathana i Marianne Zimmermannów, bawi się drewnianym krzyżem maltańskim; aw Au fil du temps (1976) „kino nie istniałoby bez tego wynalazku” według Bruno Wintera, głównego bohatera, naprawiacza projektorów.
Martin Scorsese w Hugo Cabret (2011): kiedy Georges Méliès kończy swój automat, ostatnią figurą , którą stawia na miejscu, jest krzyż maltański.

Krzyż maltański był logo marki projektorów Cinemeccanica (it) . Obecne logo, a także logo marki CineCloud to stylizowany krzyż maltański (patrz logo na oficjalnej stronie ).

Badanie mechaniczne

Więzy geometryczne

Krytycznym punktem operacji jest wejście palca w rowek. Narzuca to zależność między promieniem korby R, to znaczy odległością między środkiem palca a środkiem koła napędowego, które ją podtrzymuje, a odległością środkową E, to znaczy odległością między środkiem koła napędowego i środek krzyża maltańskiego. Aby nie było szoku, wektor prędkości musi znajdować się w osi rowka.

Nazywamy α połową kąta obrotu koła napędzanego na jeden obrót koła napędowego

{\ Displaystyle \ alpha = {\ Frac {\ pi} {n}}}

w radianach

niech $α = π / 4 = 45 °$ dla czterech rowków, a $α = π / 6 = 30 °$ dla sześciu rowków. Mamy wtedy następujące zależności między odległością środkową E, promieniem koła napędowego R 1 i promieniem koła napędzanego R 2 :

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha}

Pomiędzy 0 a $π / 4$ (0 i 90 °) funkcja sinus rośnie, a funkcja cosinus maleje w α. Wychodzimy z tego, że dla danej odległości od środka, im więcej mamy rowków (im większe n ), tym mniejsze α, tym samym mniejsze R 1 i większe R 2 .

Demonstracja

Przedstawmy system, gdy palec wchodzi w rowek. Linię łączącą środki kół z poziomą kładziemy. Dlatego rowek tworzy kąt α z poziomem. Wektor prędkości jest prostopadły do trajektorii; ponieważ palec opisuje okrąg, linia niosąca wektor prędkości jest zatem styczna do okręgu, to znaczy prostopadła do promienia w tym punkcie. Mamy więc do prawego trójkąta w przeciwprostokątnej E, której jeden z kątów $π / n$ i której strona przeciwna do kąta ma długość R 1 . Więc mamy :

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

Promień okręgu opisanego na krzyżu maltańskim jest jednocześnie długością sąsiedniego boku prawego trójkąta, tj.

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = {\ Frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha.}

Ponadto nominalna szerokość rowka musi być równa nominalnej średnicy 2 r palca: mniejszy, palec nie mógłby wejść, zbyt duży, nastąpiłby wstrząs. W praktyce występuje luz: rowek musi być nieco szerszy niż palec, aby umożliwić ruch. Możliwe jest zastosowanie tak zwanej regulacji „przesuwania bez luzu”, a dokładniej „precyzyjnego prowadzenia”, oznaczonego H7 / g6, w celu ograniczenia wstrząsów, ale jest to kosztowne do osiągnięcia.

Koniec gałęzi musi mieć niezerową szerokość. W rzeczywistości konieczne jest nałożenie minimalnej szerokości e 1 , która zależy od pożądanego oporu. Narzuca to maksymalny promień dla cylindra immobilizera. Ponadto kontakt musi być skuteczny, dlatego istnieje minimalny promień, a mianowicie:

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {1} \ lewo ({\ Frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ Frac {1} {\ tan \ alpha}} \ prawej) <\ mathrm {R } _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

wymiar e 1 jest grubość, że jest pożądane, aby utrzymać na końcu gałęzi w celu uzyskania wystarczającej wytrzymałości.

Demonstracja

Mamy kursy nominalne (zakładając zerowy luz):

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {R} _ {3} + r + e_ {1}}

jest

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {3} = \ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

Ze względu na niezbędny prześwit faktycznie jest to konieczne

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

różnica (R 1 - r - e 1 ) - R 3 to gra.

Kontakt musi być skuteczny, dlatego koniecznie mamy też:

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {2}}

jest

{\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {R} _ {1} \ lewo ({\ Frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ Frac {1} {\ tan \ alpha) }} \ right) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}}}

Minimalną długość rowka L uzyskuje się, biorąc pod uwagę położenie, w którym palec jest najbardziej zaczepiony. Następnie mamy, ustawiając długości w lewo:

{\ Displaystyle \ mathrm {L} _ {\ min} = \ mathrm {R} _ {1} - \ mathrm {E} + \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {R} _ {1} \ left (1 - {\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ right) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {\ cos \ alpha + \ sin \ alpha -1} {\ sin \ alpha}}.}

Maksymalna długość to taka, która pozostawia wystarczającą ilość materiału, aby krzyż maltański wytrzymał stres. Jeśli nazywamy r a promieniem trzonu krzyża maltańskiego, a e 2 minimalną grubością materiału, którego chcemy, to otrzymujemy:

{\ Displaystyle \ mathrm {L} _ {\ max} = \ mathrm {R} _ {2} -r_ {a} -e_ {2} = {\ Frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} - r_ {a} -e_ {2}.}

Badanie kinematyczne

Przyjmuje się, że koło napędowe (korba) obraca się ze stałą prędkością kątową ω (równomierny ruch obrotowy). Rysunek obok przedstawia działający mechanizm. Jeśli zanotujemy jak poprzednio

n liczba rowków w krzyżu maltańskim (koło napędzane);
α = 2π / n kąt między dwoma rowkami

i że przedstawiamy sprawozdanie

{\ Displaystyle k = {\ Frac {\ mathrm {E}} {\ mathrm {R} _ {1}}} = {\ Frac {1} {\ sin \ alpha}}}

wtedy zauważamy, że:

maksymalna prędkość kątowa napędzanego koła wynosi ;
${\ Displaystyle \ omega _ {0} = {\ Frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2 k + 1}}}$
wartość maksymalnego przyspieszenia kątowego, w zależności od liczby rowków:
- n = 4: α 0 ≃ 3,82 × ω 2 ,
- n = 6: α 0 ≃ 0,375 × ω 2 ,
- n = 8: α 0 ≃ 0,268 × ω 2 ;
początkowe i końcowe przyspieszenie kątowe nie są zerowe, co oznacza, że koło napędzane poddawane jest wstrząsom o nieskończonym kącie ( dirac ) w praktyce ograniczonym przez sprężystość i tarcie układu.

Te szczyty szarpnięcia nie stanowią problemu, o ile pozostaje się przy niskich prędkościach i bezwładności. Z drugiej strony stają się przeszkodą dla systemów o dużej prędkości i dużym obciążeniu.

Demonstracja

Nazywamy kąt wejścia i oznaczamy przez θ e , kąt, jaki tworzy promień przechodzący przez palec z osią x , i który charakteryzuje orientację koła napędowego. Nazywamy kąt wyjścia i oznaczymy przez θ s , kąta utworzonego przez oś rowka względem x osi , i która charakteryzuje się orientację napędzanego koła.

Badanie nieciągłości

Kąt wejścia θ e zmienia się równomiernie

{\ Displaystyle {\ kropka {\ theta}} _ {\ mathrm {e}} = \ omega}

prędkość kątowa ω jest na rysunku ujemna. Zapisuje się zatem godzinowe równanie kąta wejścia

{\ Displaystyle \ theta _ {\ mathrm {e}} = \ omega t + \ varphi}

gdzie $φ$ jest dowolnym kątem przy t = 0. Do przedstawienia graficznego wybieramy $φ$ tak, aby palec wszedł w rowek w momencie t = 0, tj.

{\ Displaystyle \ varphi = {\ Frac {\ pi} {2}} - \ alpha}

Czas treningu $τ$ odpowiada obrotowi koła napędowego od kąta $φ$ do kąta symetrycznego - $φ$ , tj.

{\ Displaystyle \ omega \ tau = (- \ varphi) - \ varphi = -2 \ varphi = 2 \ alfa - \ pi.}

jest

{\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {2 \ alfa - \ pi} {\ omega}}.}

Całkowity okres jest równy $T = -2π / ω$ , więc faza treningu jest ułamkiem całkowitego okresu

{\ Displaystyle {\ Frac {\ tau} {T}} = {\ Frac {- (2 \ alpha - \ pi)} {2 \ pi}} = {\ Frac {1} {2}} - {\ Frac {1} {n}}.}

Następnie, ze względu na uproszczenia, określenie θ y jako funkcję θ e zamiast t .

Badanie relacji kątowych

Kąt wejścia jest powiązany z kątem wyjścia przez fakt, że dwa trójkąty proste mają tę samą przeciwną stronę h :

{\ displaystyle h = \ mathrm {R} _ {1} \ sin \ theta _ {e} = \ mathrm {R} _ {3} \ tan \ theta _ {s}.}

Więc mamy

{\ Displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ Frac {h} {\ mathrm {R} _ {3}}} = {\ Frac {h} {\ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {1}}} \ times {\ frac {1} {\ mathrm {E} / \ mathrm {R} _ {1} - \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}}}

jest

{\ Displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} }

{\ Displaystyle \ theta _ {\ mathrm {s}} = \ operatorname {arctan} \ left ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ right)}

Prawa ruchu

Na wstępie obliczmy następujące pochodne:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ Frac {\ mathrm {d} \ cos (\ omega t )} {\ mathrm {d} t}} = - \ omega \ sin (\ omega t) = - \ omega \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}}

iw ten sam sposób

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = \ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}

Prędkość kątową napędzanego koła uzyskuje się poprzez obejście. Weźmy znowu ekspresję tan θ s . Jeśli wyprowadzimy lewą kończynę, mamy

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ kropka {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left (1+ \ tan ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {s}} \ right) = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} \ left (1 + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} \ right)}

jest

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ kropka {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left ({\ frac {k ^ {2} -2 \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2 }}} \ dobrze)}

i wyprowadzając prawą stronę:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ Frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}} \ right) = {\ frac {\ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} (k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) - \ omega \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega} {( k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)}

Pisząc równość dwóch członków, otrzymujemy

{\ Displaystyle {\ kropka {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ Frac {\ omega (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}}}

Wyprowadzając wyznacza się przyspieszenie kątowe:

{\ Displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ Frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ theta _ {\ mathrm {e} }} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}}}

Zauważmy, że przyspieszenie to zanika dla θ e = 0, więc w tym momencie prędkość jest maksymalna i

{\ Displaystyle \ omega _ {0} = {\ Frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2 k + 1}}}

Na początku mamy θ e = φ i dlatego

{\ Displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} (0) = {\ Frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ varphi} {(k ^ {2} -2k \ cos \ varphi +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2) } -2k \ sin \ alpha +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2} -1) ) ^ {2}}} \ neq 0}

dlatego u początku występuje nieskończone szarpnięcie. Zgodnie z symetrią na końcu ruchu następuje nieskończone szarpnięcie.

Wyprowadzając przyspieszenie, uzyskujemy szarpnięcie podczas ruchu:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ mathrm {d} ^ {3} \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t ^ {3}}} \ & = { \ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}} \ left (\ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} - {\ frac {4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}} \ right) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (- 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1 )} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k) \ end {aligned}}}

Przyspieszenie jest maksymalne, gdy szarpnięcie jest anulowane, co sprowadza się do rozwiązania:

{\ Displaystyle 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k = 0}

to znaczy ustawiając x = cos θ e

{\ Displaystyle 2kx ^ {2} + (k ^ {2} +1) x-4k = 0 {\ tekst {; }} \ sin \ alpha \ leqslant | x | \ leqslant 1}

który jest równaniem kwadratowym ściśle dodatniego dyskryminatora

{\ Displaystyle \ Delta = (k ^ {2} +1) ^ {2} + 32k ^ {2} = k ^ {4} + 34k ^ {2} +1> 0}

Zatem równanie dopuszcza dwa rzeczywiste rozwiązania

{\ Displaystyle x_ {1,2} = {\ Frac {- (k ^ {2} +1) \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {4k}}}

Otrzymujemy dla niektórych wartości n :

nie	k	x 1	x 2	θ e	Acc. max.
4	√2	0,980	1.33	-0,200 radów (-11,5 °)	3,82 × ω 2
6	2	0.921	1.17	-0,400 rad (-22,9 °)	0,675 × ω 2
8	2.61	0.851	1.04	-0,552 rad (-31,6 °)	0,268 × ω 2

Aplikacja cyfrowa

Rozważmy projektor kinowy z czterorowkowym krzyżem maltańskim. Więc mamy :

koło napędowe o częstotliwości obrotu N = 24 Hz (24 klatki na sekundę) lub ω = 2π N N 151 rad / s ;
stosunek $k = 1 / sin (π / 4) = \sqrt 2 ≃ 1,41$ ;

a więc

ω 0 ~ 364 rad / s ; N 0 = 57,9 obr / min ;
α 0 ≃ 8,69 × 10 4 rad / s 2 .

Uwagi i odniesienia

„ Maltese Cross ” , on projector.mip.free.fr (dostęp 30 czerwca 2016 )

Zobacz też

Bibliografia

(en) John H. Bickford , Mechanisms for intermittent motion , New York, Industrial Press inc.,1972, 264 str. ( ISBN 0-8311-1091-0 , czytaj online ) , rozdz. 9 („Mechanizmy genewskie”) , s. 127-138

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

Krzyż maltański na terenie Uniwersytetu w Nantes (animacja dziecięca w języku Java )
Krzyż maltański : strona dotycząca początków historii kina widziana w książkach z epoki