Krzywa tautochroniczna

Tautochronous krzywa jest krzywą znajduje się w płaszczyźnie pionowej, przy czym czas potrzebny cząstki przesuwają się wzdłuż krzywej pod równomiernym wpływem grawitacji do jego najniższego punktu jest niezależne od punktu początkowego.

Tautochronous problemem , próba określenia tej krzywej, został rozwiązany przez Huygensa w 1659 w przypadku, gdy działa tylko siła ciężkości. Geometrycznie udowodnił w swoim oscylatorium Horologium ( 1673 ), że krzywa była cykloidą . Rozwiązanie to posłużyło później do rozwiązania problemu krzywej brachistochronicznej .

Późniejsi matematycy, tacy jak Lagrange , d'Alembert i Euler, szukali analitycznego rozwiązania problemu w ogólnym przypadku.

Równanie różniczkowe opisujące cykloidę generowaną przez okrąg o promieniu R to:

{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dy} {dx}} \ prawej) ^ {2} = {\ Frac {2R-y} {y}}}

W ćwiczeniu, które nas interesuje, używamy odwróconej cykloidy (głową w dół), której równanie różniczkowe ma postać:

{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {dy} {dx}} \ prawej) ^ {2} = {\ Frac {y} {2R-y}}}

Umieść cząstkę na krzywej w położeniu współrzędnych i pozwól działać grawitacji (stała grawitacyjna g ). Prędkość w dowolnym punkcie ( x , y ) krzywej wynosi: $(x_ {0}, y_ {0})$

{\ displaystyle v = {\ sqrt {2g (y_ {0} -y)}}}

Czas potrzebny cząstce na pokonanie nieskończenie małej ścieżki do punktu krzywej ( x + dx , y + dy ) wynosi:

{\ Displaystyle dt = {\ Frac {\ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2}}} {\ sqrt {2g (y_ {0} -y)}}} = {\ sqrt {\ Frac {R } {gy (y_ {0} -y)}}} dy}

Czas t , jaki zajmie cząstce dotarcie do dna cykloidy, wynosi:

{\ displaystyle t = \ int _ {0} ^ {y_ {0}} {{\ sqrt {\ frac {R} {gy (y_ {0} -y)}}} dy}}

Zmieniając zmienną wtedy (lub bezpośrednio ) znajdujemy: ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {y_ {0} -y} {y_ {0}}}}$ ${\ Displaystyle \ tau = \ sin ^ {2} u}$ ${\ displaystyle y = y_ {0} \ sin ^ {2} u}$

{\ Displaystyle t = {\ sqrt {\ Frac {R} {g}}} \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {d \ tau} {\ sqrt {\ tau (1- \ tau)} }} = \ pi {\ sqrt {\ frac {R} {g}}}}

Stąd okazuje się, że czas podróży jest niezależny od punktu startowego na cykloidzie.

Kolejna demonstracja (demonstracja Lagrangianu)

definicja cykloidy we współrzędnych (krzywoliniowa odcięta s , rzędna y )

jest: jeśli weźmiemy pod uwagę cykloidę, której wklęsłość jest skierowana do góry i jeśli początek zostanie przyjęty w najniższym punkcie. ${\ Displaystyle s ^ {2} = 8Ry (t)}$ $s$

złoto, zgodnie z twierdzeniem o energii kinetycznej . ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {ds} {dt}} \ prawej) ^ {2} + 2gy (t) = {\ rm {cste}}}$

Eliminacja zmiennej y między tymi dwoma równaniami prowadzi do:

{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {ds} {dt}} \ prawej) ^ {2} + {\ Frac {g} {4R}} s ^ {2} = {\ rm {cste}}}

, jest

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} s} {dt ^ {2}}} + {\ Frac {g} {4R}} s = 0}

Stąd sinusoidalny tautochroniczny ruch oscylacyjny pulsacji ( ), niezależny od amplitudy ruchu. ${\ displaystyle \ omega = {\ Frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {g} {R}}}}$ ${\ Displaystyle T = 4 \ pi {\ sqrt {\ Frac {R} {g}}}}$

Ta obserwacja ustanawia związek z izochronicznym problemem potencjalnej studni. Oczywiste jest, że problem tautochroniczny jest izochroniczny. Z drugiej strony, czy istnieją różne studnie, które dopuszczają oscylacje izochroniczne? odpowiedź brzmi: nie: jedyną symetryczną studnią, która ma izochroniczną oscylację, jest cykloida, w wyniku której na krzywoliniowej odciętej występuje ruch sinusoidalny (a nie ruch w odciętej, która w rzucie na oś Wołu nie jest sinusoidalna). Zauważ, że w przypadku "studni potencjalnej" (co nie jest tym samym problemem), ruch izochroniczny jest ruchem Keplera w studni pozorno-potencjalnej Leibniza (1693):

{\ Displaystyle V _ {\ tekst {siła robocza}} (r) = {\ Frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}} - GM {\ Frac {m.} {r}}.}

Wszystkie te potencjalne studnie są połączone ze sobą poprzez transformatę Abla .

Zobacz też

Wahadło cykloidalne