Interakcja spin-orbita

W mechanice kwantowej The oddziaływanie spin-orbitalne (znany również efekt wirowania orbicie lub wirowania orbicie sprzęgania ) opisuje interakcji między wirowania cząstki i jego ruchu. Pierwszym i najlepiej znanym przykładem tej interakcji jest powstawanie przesunięć poziomów energii elektronowej (obserwowanych przez rozdzielenie linii widmowych ) w wyniku interakcji między spinem elektronu a jądrowym polem elektrycznym, w którym się porusza. Podobny efekt, ze względu na związek między momentem pędu a silną siłą jądrową , występuje w przypadku ruchów protonów i neutronów w jądrze atomowym , prowadząc do przesunięcia ich poziomów energii w warstwowym modelu jądra. W spintronice efekty spinowo-orbitalne elektronów w półprzewodnikach i innych materiałach są badane i wykorzystywane technologicznie.

Oddziaływanie spin-orbita na poziomach energii atomowej

W tej sekcji przedstawimy stosunkowo prosty i ilościowy opis oddziaływania spin-orbita dla elektronu związanego z atomem, przy użyciu półklasycznej elektrodynamiki i nierelatywistycznej mechaniki kwantowej , aż do pierwszego rzędu w teorii zaburzenia . Daje to wyniki, które zgadzają się, ale nie doskonale, z obserwacjami. Bardziej rygorystyczna demonstracja tego samego wyniku byłaby oparta na równaniu Diraca , a uzyskanie dokładniejszego wyniku wymagałoby obliczenia niewielkich poprawek z elektrodynamiki kwantowej , co wykracza poza cel tego artykułu.

Energia momentu magnetycznego

Energia momentu magnetycznego w polu magnetycznym jest określona wzorem:

{\ Displaystyle \ Delta H = - {\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot \ mathbf {B},}

gdzie μ jest momentem magnetycznym cząstki, a B jest wartością pola magnetycznego eksperymentu.

Pole magnetyczne

Zajmijmy się najpierw polem magnetycznym. Chociaż w układzie spoczynkowym jądra nie ma pola magnetycznego, jest ono w układzie spoczynkowym elektronu. Nie biorąc na razie pod uwagę, że ten układ odniesienia nie jest układem Galileusza , traktujemy równanie:

{\ Displaystyle \ mathbf {B} = - {\ mathbf {v} \ razy \ mathbf {E} \ ponad c ^ {2}},}

gdzie v jest prędkością elektronu, a E przecina się pole elektryczne. Wiemy, że E jest radialne, możemy przepisać . Wiadomo również, że pęd elektronu jest . Wprowadzając te ilości i zmieniając kolejność iloczynu krzyżowego otrzymujemy: ${\ Displaystyle \ mathbf {E} = \ lewo | {E \ ponad r} \ prawo | \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = m_ {e} \ mathbf {v}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {B} = {\ mathbf {r} \ razy \ mathbf {p} \ ponad m_ {e} c ^ {2}} \ lewo | {E \ ponad r} \ prawo |.}

Następnie pole elektryczne wyrażamy jako gradient potencjału elektrycznego . Pole centralne jest tutaj przybliżane , biorąc pod uwagę, że potencjał elektrostatyczny ma symetrię sferyczną, a więc jest funkcją samego promienia. To przybliżenie jest weryfikowane dla wodoru, a zatem dla układów hydrogenoidowych. Możemy wtedy powiedzieć, że: ${\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} V}$

{\ Displaystyle \ lewo | E \ prawo | = {\ częściowe V \ ponad \ częściowe r} = {1 \ przez e} {\ częściowe U (r) \ ponad \ częściowe r},}

gdzie jest energia potencjalna elektronu w polu centralnym, a e jest jego ładunkiem elementarnym . Zgodnie z mechaniką klasyczną moment pędu cząstki wynosi . Przez podstawienie otrzymujemy wtedy: ${\ displaystyle U = Ve}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ razy \ mathbf {p}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {B} = {1 \ ponad m_ {e} ec ^ {2}} {1 \ ponad r} {\ częściowe U (r) \ ponad \ częściowe r} \ mathbf {L}.}

Należy zauważyć, że w tym momencie B jest liczbą dodatnią uwzględniającą L , co oznacza, że pole magnetyczne jest równoległe do orbitalnego momentu pędu cząstki.

Moment magnetyczny elektronu

Moment magnetyczny elektronu jest:

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} = - g_ {s} \ mu _ {\ rm {B}} \ mathbf {S} / \ hbar,}

gdzie jest wektor momentu pędu spinu, to magneton Bohra, a jest to współczynnik spinu elektronu g . Tutaj jest ujemna stała pomnożona przez spin , więc moment magnetyczny jest przeciwrównoległy do pędu kątowego spinu. ${\ mathbf {S}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {\ rm {B}}}$ ${\ displaystyle g_ {s} \ około 2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ mu}}$

Energia interakcji

Energia interakcji to:

{\ Displaystyle \ Delta H = - {\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot \ mathbf {B}.}

Zróbmy kilka podstawień:

{\ Displaystyle - {\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot \ mathbf {B} = {2 \ mu _ {\ rm {B}} \ ponad \ hbar m_ {e} ec ^ {2}} {1 \ ponad r} {\ częściowe U (r) \ ponad \ częściowe r} (\ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S})}

Do tej pory fakt, że repozytorium elektroniczne nie jest repozytorium Galileusza, nie był brany pod uwagę. Ten efekt nazywa się precesją Thomasa i wprowadza czynnik . Mamy wtedy: ${\ frac {1} {2}}$

{\ Displaystyle - \ mathbf {\ mu} \ cdot \ mathbf {B} = {\ mu _ {\ rm {B}} \ ponad \ hbar m_ {e} ec ^ {2}} {1 \ ponad r} { \ częściowe U (r) \ ponad \ częściowe r} (\ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S})}

Ocena niedopasowania energii

Dzięki powyższym przybliżeniom możemy dokładnie ocenić przesunięcie energii w tym modelu. W szczególności chcemy znaleźć podstawę, która diagonalizuje zarówno H 0 (niezakłócony hamiltonian), jak i ΔH . Aby zidentyfikować tę podstawę, najpierw definiujemy operator o łącznej momentu pędu :

{\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}.}

Biorąc na siebie iloczyn skalarny tego wyrażenia, otrzymujemy:

{\ Displaystyle J ^ {2} = L ^ {2} + S ^ {2} +2 \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S}}

(skoro L i S dojeżdżają do pracy), to:

{\ Displaystyle \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S} = {1 \ ponad 2} (\ mathbf {J} ^ {2} - \ mathbf {L} ^ {2} - \ mathbf {S} ^ { 2})}

Możemy pokazać, że pięciu operatorów H 0 , J ², L ², S ² i J z dojeżdża do pracy zarówno ze sobą, jak iz ΔH . Zatem baza, której szukamy, jest właściwą bazą pięciu operatorów jednocześnie (czyli bazą, w której tych pięciu operatorów jest diagonalnych). Elementy tej podstawy ma pięć cyfr kwantowe : n (główny liczbę kwantową), J (całkowity moment pędu liczbą kwantową), l (orbitalnej pędu liczbą kwantową ) Ś (spin liczbą kwantową) i j Z (moduł Z z całkowity moment pędu).

Zwracamy uwagę na to, aby obliczyć energię

{\ Displaystyle \ lewo \ langle {1 \ nad r ^ {3}} \ prawo \ rangle = {\ Frac {2} {a ^ {3} n ^ {3} l (l + 1) (2l + 1) }}}

dla funkcji fal wodorowych (tutaj jest promień Bohra podzielony przez ładunek jądrowy Z ) i ${\ Displaystyle a = \ hbar / Z \ alfa m_ {e} c}$

{\ Displaystyle \ lewo \ langle \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S} \ prawo \ rangle = {1 \ ponad 2} (\ langle \ mathbf {J} ^ {2} \ rangle - \ langle \ mathbf { L} ^ {2} \ rangle - \ langle \ mathbf {S} ^ {2} \ rangle)}

{\ Displaystyle = {\ hbar ^ {2} \ ponad 2} (j (j + 1) -l (l + 1) -s (s + 1))}

Końcowe przesunięcie energii

Mamy wtedy:

{\ Displaystyle \ Delta E = {\ beta \ ponad 2} (j (j + 1) -l (l + 1) -s (s + 1))}

lub

{\ Displaystyle \ beta = {- \ mu _ {\ rm {B}} \ hbar \ ponad m_ {e} ec ^ {2}} \ lewo \ langle {1 \ nad r} {\ częściowe U (r) \ nad \ częściowym r} \ prawym \ rangle}

W przypadku wodoru możemy zapisać wyraźny wynik:

{\ Displaystyle \ beta (n, l) = {\ mu _ {0} \ ponad 4 \ pi} g_ {s} \ mu _ {\ rm {B}} ^ {2} {1 \ ponad n ^ {3 } a_ {0} ^ {3} l (l + 1/2) (l + 1)}}

Dla każdego monojonizowanego atomu z protonami Z:

{\ Displaystyle \ beta (n, l) = Z ^ {4} {\ mu _ {0} \ ponad 4 \ pi} g_ {s} \ mu _ {\ rm {B}} ^ {2} {1 \ ponad n ^ {3} a_ {0} ^ {3} l (l + 1/2) (l + 1)}}

Zobacz też

Bibliografia

EU Condon, GH Shortley, The Theory of Atomic Spectra , Cambridge University Press,1935
DJ Griffiths, Podstawy mechaniki kwantowej ( 2 th edition) , Prentice Hall,2004

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Oddziaływanie spin-orbita ” ( zobacz listę autorów ) .