Częściowa korelacja

Korelacji częściowej współczynniku , tutaj zauważyć , umożliwia znać wartość korelacji dwóch zmiennych a i B, gdy zmienna C pozostawała stała dla serii obserwacji pod uwagę. ${\ displaystyle r_ {AB.C}}$

Innymi słowy, współczynnik korelacji częściowej jest całkowitym współczynnikiem korelacji między zmiennymi A i B, gdy zostały usunięte z ich najlepszego liniowego wyjaśnienia w kategoriach C. Wyraża go wzór: ${\ displaystyle r_ {AB.C}}$

{\ displaystyle r_ {AB.C} = {\ dfrac {r_ {AB} -r_ {AC} \ cdot r_ {BC}} {{\ sqrt {1-r_ {AC} ^ {2}}} \ cdot { \ sqrt {1-r_ {BC} ^ {2}}}}}}

Demonstracja geometryczna

Najszybszym zademonstrowaniem wzoru jest oparcie się na geometrycznej interpretacji korelacji (cosinus).

Serie obserwacji A, B i C, po wyśrodkowaniu zredukowane , są wyśrodkowanymi wektorami OA, OB, OC o długości jednostkowej:

Ich końce wyznaczają sferyczny trójkąt ABC, którego boki a , b i c są łukami dużych okręgów BC, AC i AB. Współczynniki korelacji między tymi wektorami są , i . Wtedy podstawowe prawo trójkątów sferycznych daje dla kąta C następującą zależność między cosinusami: ${\ displaystyle r_ {BC} = \ cos a}$ ${\ displaystyle r_ {AC} = \ cos b}$ ${\ displaystyle r_ {AB} = \ cos c}$

{\ Displaystyle \ cos C = {\ dfrac {\ cos c- \ cos a \ cdot \ cos b} {\ sin a \ cdot \ sin b}} = {\ dfrac {\ cos c- \ cos a \ cdot \ cos b} {{\ sqrt {1- \ cos ^ {2} a}} \ cdot {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} b}}}}}

Tak jak c jest kątem między punktami A i B, widzianymi ze środka kuli, tak C jest kątem sferycznym między punktami A i B, widzianymi z punktu C na powierzchni kuli, i jest „częściową korelacją” między A i B, gdy C jest naprawiony. ${\ displaystyle r_ {AB.C} = \ cos C}$

Obszary zastosowań

Stosuje się pojęcie korelacji częściowej:

w modelowaniu wielokrotnej regresji liniowej ;
w analizie danych za pomocą ikonografii korelacji .

Bibliografia

(w) GU Yule (1897). O znaczeniu formuł Bravais dla regresji itd., W przypadku korelacji skośnej. Proc. Royal Soc. Londyn Ser. A 60, 477-489.
(w) RA Fisher (1924). Rozkład częściowego współczynnika korelacji . Metron 3 (3–4): 329–332.
(en) Wzory matematyczne w sekcji „Opis” procedury IMSL PCORR