Ograniczenie holonomiczne
W mechanice analitycznej mówimy, że układ cząstek N jest poddawany wiązaniu holonomicznemu, jeśli istnieje równanie algebraiczne charakteryzujące stan układu i którego zmiennymi są wektory współrzędnych cząstek, np . Piszemy to ograniczenie w formularzu . Jeśli ograniczenia są modelowane przez układ równań tego typu, nadal mówimy o ograniczeniach holonomicznych.
r→ja{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}
ja∈{1,2,...,NIE}{\ displaystyle \ scriptstyle ja \ in \ {1,2, ..., N \}}
fa(r→1,r→2,...,r→NIE,t)=0{\ displaystyle \ f \ left ({\ vec {r}} _ {1}, {\ vec {r}} _ {2}, ..., {\ vec {r}} _ {N}, t \ right) = 0}![\ f \ left (\ vec r_1, \ vec r_2, ..., \ vec r_N, t \ right) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed43da3b04750153c05de27ee972d94074a79d53)
O ograniczeniu, którego nie można zapisać w tej formie, mówi się, że jest nieholonomiczne .
Jeśli równanie ograniczenia holonomicznego zależy od czasu ( ), mówi się, że jest ono reonomiczne . Jeśli to nie zależy od tego ( mówi się, że jest skleronomiczne .
∂fa∂t≠0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe t}} \ neq 0}
∂fa∂t=0){\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe t}} = 0)}![{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe t}} = 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078c999ff366f861d0a5f8caf954abb56f3c46d4)
Matematycznie, ograniczenie holonomiczne definiuje zamkniętą rozmaitość zanurzoną w przestrzeni, w której ewoluuje system cząstek. Wymiar tego kolektora jest liczba stopni swobody układu, czyli liczba niezależnych współrzędnych należy uważać, aby go opisać. Ogólnie rzecz biorąc, ograniczenia holonomiczne K usuwają K stopni swobody, ale w zależności od równań i ich niezależności może być inaczej (jeśli chcemy, możemy zredukować K niezależnych równań do jednego równania; ten przedmiot w całej swojej ogólności należy do algebraicznych geometria ).
R3NIE{\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {3N}}![\ textstyle \ R ^ {3N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3ed0ae351bf51e2ff8e9a6b7c5fac141f1f4a5)
Przykład
Więzy przypuszczalnie sztywnego ciała są skleronomiczną holonomią: dla dowolnych dwóch ponumerowanych cząstek istnieje taka stała , którą musimy mieć .
ja,jot{\ displaystyle \ i, j}
VSja,jot{\ displaystyle \ C_ {i, j}}
‖r→ja-r→jot‖=VSja,jot{\ Displaystyle \ | {\ vec {r}} _ {i} - {\ vec {r}} _ {j} \ | = C_ {i, j}}![\ | \ vec r_i - \ vec r_j \ | = C_ {i, j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415e2fad379ecade1e99212cbff3028d65f4f7eb)
Współrzędne uogólnione
Badany układ można opisać zmiennymi innymi niż przestrzenne położenie jego N punktów: kąty, położenia względne itp. W tym przypadku nowe używane współrzędne nazywane są „ współrzędnymi uogólnionymi ”; są często zauważane i są . Mamy , i wtedy można zapisać ograniczenie holonomiczne . Układ N punktów, ewoluujący w przestrzeni o wymiarze 3, można zatem uznać za opisany w przestrzeni o wymiarze n .
{q1,...,qnie}{\ displaystyle \ \ {q_ {1}, ..., q_ {n} \}}
nie≤3NIE{\ displaystyle \ n \ leq 3N}
r→ja=r→ja(q1,...,qnie,t){\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {i} = {\ vec {r}} _ {i} \ lewo (q_ {1}, ..., q_ {n}, t \ prawo)}
fa(q1,q2,...,qnie,t)=0{\ Displaystyle \ f (q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {n}, t) = 0}![\ f (q_1, q_2, ..., q_ {n}, t) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293ade395094ced55bcff70de10e828f07261464)
- Układ N punktowych ciał niepodlegających holonomicznemu ograniczeniu ma 3 N stopni swobody i dlatego wymaga opisania 3 N niezależnych rzeczywistych zmiennych (na przykład: 3 N współrzędnych N ciał).
- System N punktowych ciał poddanych K niezależnym holonomicznym więzom ma 3 N - K stopni swobody i dlatego wymaga opisania 3 N - K niezależnych zmiennych rzeczywistych: mogą to być współrzędne przestrzenne pewnych ciał lub inne dane.
Przykład pozycjonowania trójkąta
W przestrzeni każdy trójkąt jest określany przez trzy wierzchołki (9 współrzędnych :) i dlatego ma 9 stopni swobody. Jednak kształt trójkąta nie znajdującego się w przestrzeni ma 3 stopnie swobody, co jest całkowicie zdeterminowane przez długość jego 3 boków ( L 1 , L 2 , L 3 ). Znajomość kształtu trójkąta, który ma być umieszczony w przestrzeni, wywołuje następujące 3 niezależne holonomiczne ograniczenia (przy ustalonych L 1 , L 2 , L 3 ):
(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3){\ Displaystyle {(x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}), (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}}![{\ Displaystyle {(x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}), (x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53afa3e780be40a5a2c4ae24009c32b027aa892b)
(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2=L12(x1-x3)2+(y1-y3)2+(z1-z3)2=L22(x2-x3)2+(y2-y3)2+(z2-z3)2=L32{\ textstyle {\ begin {array} {lcr} (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {2}) ^ {2} + (z_ {1} - z_ {2}) ^ {2} = L_ {1} ^ {2} \\ (x_ {1} -x_ {3}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {3}) ^ {2 } + (z_ {1} -z_ {3}) ^ {2} = L_ {2} ^ {2} \\ (x_ {2} -x_ {3}) ^ {2} + (y_ {2} - y_ {3}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {3}) ^ {2} = L_ {3} ^ {2} \ end {tablica}}}![{\ textstyle {\ begin {array} {lcr} (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {2}) ^ {2} + (z_ {1} - z_ {2}) ^ {2} = L_ {1} ^ {2} \\ (x_ {1} -x_ {3}) ^ {2} + (y_ {1} -y_ {3}) ^ {2 } + (z_ {1} -z_ {3}) ^ {2} = L_ {2} ^ {2} \\ (x_ {2} -x_ {3}) ^ {2} + (y_ {2} - y_ {3}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {3}) ^ {2} = L_ {3} ^ {2} \ end {tablica}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6238c31a212ae6015d0e9781100c3eaaf2f3b8cd)
Te trzy ograniczenia usuwają 3 stopnie swobody z układu, który ma teraz 9 - 3 = 6. W przestrzeni położenie trójkąta o danym kształcie można zatem określić za pomocą 6 niezależnych zmiennych. Na przykład, można wybrać 3 współrzędne kartezjańskie zlokalizować jeden z jego wierzchołków, powiedzmy P . Z tego wierzchołka określamy kierunek, w którym należy umieścić drugi, powiedzmy Q , z wektorem jednostkowym (odpowiada to 2 kątom). Następnie obracamy trzeci wierzchołek wokół osi ( PQ ), aby określić jego położenie (zajmuje to 1 kąt). W kategoriach współrzędnych uogólnionych możemy zatem opisać położenie dowolnego trójkąta w jako wektor zbioru , gdzie oznacza n- kulę, zbioru wektorów jednostkowych . Podobnie, ponieważ pozycja dowolnej sztywnej bryły jest określana przez dowolne trzy jej niewyrównane punkty, jest określana przez 6 niezależnych zmiennych.
R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}
R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}
R3×S2×S1{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ razy S ^ {2} \ razy S ^ {1}}
Snie{\ Displaystyle S ^ {n}}
Rnie+1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}![\ mathbb {R} ^ {{n + 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccea3976e1f8a1bb853c8ca00e52d518a3a4fe07)
Wirtualne przemieszczenie, siły naprężenia i mnożniki Lagrange'a
Przesunięcie jest chwilowa i nieskończenie przemieszczenie układu tak, że zawsze sprawdza swoje ograniczenia. W przypadku ograniczenia holonomicznego musimy zatem mieć w pierwszej kolejności .
(δq1,δq2,...,δqnie){\ Displaystyle \ lewo (\ delta q_ {1}, \ delta q_ {2}, ..., \ delta q_ {n} \ po prawej)}
fa(q1+δq1,q2+δq2,...,qnie+δqnie,t)=0{\ Displaystyle \ f \ lewo (q_ {1} + \ delta q_ {1}, q_ {2} + \ delta q_ {2}, ..., q_ {n} + \ delta q_ {n}, t \ right) = 0}
∑ja=1nie∂fa∂qja.δqja=0{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe q_ {i}}}. \ delta q_ {i} = 0}![\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ częściowa f} {\ częściowa q_i}. \ delta q_i = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43844e5ff5070f0461dae44c3fa8c87d068d9e63)
Można uzasadnić, że wektor jest proporcjonalny do uogólnionej siły naprężenia , związanej z naprężeniem , której n jest współrzędnych (proporcjonalność uzasadniona wnioskami o stopniach swobody układu), a współczynnik proporcjonalności nazwano mnożnikiem Lagrange'a . W przypadku istnienia więzów holonomicznych K można uzasadnić w ten sam sposób, że suma sił naprężeń jest liniową kompozycją wektorów indeksowanych przez k = 1,2, ..., K , przy czym współczynniki wyznaczane są również jako mnożniki Lagrange'a .
(∂fa∂qja)ja{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe q_ {i}}} \ prawej) _ {i}}
fa{\ displaystyle \ f}
Zjot(q,t)=∑ja=1NIEZ→ja(r→,t).∂r→ja∂qjot{\ Displaystyle \ Z_ {j} (q, t) = \ suma _ {i = 1} ^ {N} {\ vec {Z}} _ {i} ({\ vec {r}}, t). { \ frac {\ częściowe {\ vec {r}} _ {i}} {\ częściowe q_ {j}}}}
(∂fak∂qja)ja{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe f_ {k}} {\ częściowe q_ {i}}} \ prawo) _ {i}}![\ left (\ frac {\ częściowy f_k} {\ częściowy q_i} \ right) _i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8ed0afabce2878cd53c217506068c2c09b6e8e)
Przykłady ograniczeń nieholonomicznych
- Ciało punktu M, którego ruchy są ograniczone wewnątrz kuli o środku O i promieniu R, spełnia nierówność , to znaczy jest ograniczeniem nieholonomicznym.OM≤R{\ displaystyle \ scriptstyle OM \ leq R}
‖r→M-r→O‖≤R{\ Displaystyle \ textstyle \ | {\ vec {r}} _ {M} - {\ vec {r}} _ {O} \ | \ równoważnik R}![\ textstyle \ | \ vec r_M - \ vec r_O \ | \ the R](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb1483822de6a5bf348c4bdde974a9664a9aca2)
- Masa punktowa dołączona do końca sprężyny spełnia ograniczenie nieholonomiczne z .re2xret2+ω02x=0{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = 0}
ω0=km{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {k} {m.}}}}![\ omega _ {0} = {\ sqrt {{\ frac {k} {m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4949e44f7e8b28b77faafce9c399525330d391d5)
Uwagi i odniesienia
-
Rozdział I, Suplement 1.2 , str. 34-35 Mechaniki: od sformułowania Lagrange'a do chaosu Hamiltona , Claude Gignoux i Bernard Silvestre-Brac; Wydawca EDP-Sciences, 2002, 467 stron ( ISBN 2868835848 ) .
Bibliografia
- Claude Gignoux i Bernard Silvestre-Brac; Mechanika: od sformułowania Lagrange'a do chaosu Hamiltona , redaktor EDP-Sciences, 2002, 467 stron ( ISBN 2868835848 ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">