Równoważność logiczna
W klasycznej logiki dwie propozycje P i P są nazywane logiczny ekwiwalent lub po prostu równoważne , gdy jest to możliwe aby wnioskować, Q z P i wywnioskowanie P z Q . Przy obliczaniu zdań sprowadza się to do stwierdzenia, że P i Q mają tę samą wartość prawdziwości : P i Q są albo prawdziwe, albo oba fałszywe. Równoważność logiczna jest często wyrażana w formie wtedy i tylko wtedy , gdy w ramach takich jak nauczanie lub metamatematyka mówi się o właściwościach samej logiki, a nie o logicznym łączniku, który łączy dwa zdania.
Relacja logicznej równoważności między zdaniami jest ściśle związana z łącznikiem równoważności, często oznaczanym ⇔ lub ↔, który można zdefiniować (bardzo ogólnie, zarówno w logice klasycznej, jak i np. w logice intuicjonistycznej ) jako koniunkcja l ' implikacji P ⇒ Q („ Q jeśli P ”) i jego odwrotność Q ⇒ P ( Q tylko jeśli P ), czyli (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).
Twierdzenie, że P ⇔ Q sprowadza się do stwierdzenia, że P i Q są równoważne. Inaczej mówiąc (w logice klasycznej), zdanie P ⇔ Q przyjmuje wartość „prawda”, gdy P i Q są logicznie równoważne i tylko w tym przypadku. W logice czasami odnotowuje się relację równoważności ≡ (zapis ⇔ lub ↔ jest zarezerwowany dla łącznika).
W elektronice podobna funkcja nazywa się inclusive AND ; ten ostatni symbolizuje znak „⊙”.
Równoważność w języku matematyki
W tekstach matematycznych wyrażamy, że dwa zdania P i Q są równoważne przez:
- P wtedy i tylko wtedy, gdy Q (czasami w skrócie P iff Q );
- Dla P , konieczne i wystarczające jest , aby Q ;
- Warunkiem koniecznym i wystarczającym (CNS) dla P jest Q ;
- P jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla Q ;
- P równa się Q .
Rachunek zdań
W logice klasycznej, która ma tylko dwie wartości prawdy, tabela prawdy łącznika równoważności to:
| P | Q | P ⇔ Q |
|---|---|---|
| Prawdziwe | Prawdziwe | Prawdziwe |
| Prawdziwe | Fałszywe | Fałszywe |
| Fałszywe | Prawdziwe | Fałszywe |
| Fałszywe | Fałszywe | Prawdziwe |
Zdanie P ⇔ Q jest równoważne:
- ( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) (( P implikuje Q ) i ( Q implikuje P ));
- ( P ⇒ Q ) ∧ (¬ P ⇒ ¬ Q ) (( P implikuje Q ) iw przeciwieństwie do ( Q implikuje P ));
- ¬ P ⇔ ¬ Q (równoważność przeciwstawna);
- ( P ∧ Q ) ∨ (¬ Q ∧ ¬ P ) (( P i Q ) lub (nie P i nie Q )).
Nieruchomości
Logiczna relacja równoważności, zaznaczona ≡ poniżej, jest relacją równoważności , a mianowicie:
- P ≡ P (relacja równoważności jest zwrotna );
- Jeżeli P ≡ Q , to Q ≡ P (relacja równoważności jest symetryczna );
- Jeżeli P ≡ Q i Q ≡ R , to P ≡ R (relacja równoważności jest przechodnia ).
Ta relacja równoważności jest zgodna z łącznikami logicznymi. Ponadto w logice klasycznej:
- ¬¬P ≡ P.
- Dla wszystkich rzeczywistych x niezerowych i y mamy
- Równoważność ( x = y ⇔ x 2 = y 2 ) (przez zwiększenie do kwadratu) nie jest prawdziwa dla wszystkich rzeczywistych x i y : na przykład 2 2 = (–2) 2 nie implikuje 2 = –2 .
- Dla wszystkich rzeczywistych x dodatnich i y , następująca równoważność jest prawdziwa (podnoszenie do kwadratu)Przez podniesienie do kwadratu tracimy informację, która jest większa niż pierwiastek kwadratowy i musi być dodatnia, a żeby była równoważna, musimy dodać własność .
Aby zademonstrować równoważność P ⇔ Q , możemy udowodnić implikację P ⇒ Q i jej odwrotność Q ⇒ P .
Równoważność kilku zdań
Czy trzy propozycje P , Q i R .
Aby udowodnić 3 równoważności P ⇔ Q , Q ⇔ R i P ⇔ R , wystarczy udowodnić 2 z nich lub wystarczy udowodnić 3 implikacje:
P ⇒ P , P ⇒ R i R ⇒ P .Demonstracja:
Niech skutki P ⇒ Q , Q ⇒ R i R ⇒ P być ustalone.
Z Q ⇒ R i R ⇒ P dedukujemy Q ⇒ P .
Z R ⇒ P i P ⇒ Q dedukujemy R ⇒ Q .
Z P ⇒ Q i Q ⇒ R dedukujemy P ⇒ R.
Możemy uogólnić na n zdań P 1 , P 2 ,…, P n : aby udowodnić, że te zdania są równoważne, wystarczy udowodnić implikacje
P 1 ⇒ P 2 , P 2 ⇒ P 3 … P n-1 ⇒ P n i P n ⇒ P 1 .Przykłady typowych sformułowań
Rozważ dwie propozycje i .
- Mówimy, że jest to warunek konieczny, jeśli mamy i można to przetłumaczyć jako „aby , to jest konieczne ”.
- Mówimy, że jest to wystarczający warunek, jeśli mamy i można przetłumaczyć jako „aby to wystarczyło ”.
- Mówimy, że jest to konieczny i wystarczający warunek, jeśli mamy i jeśli mamy i można to przetłumaczyć jako „aby , konieczne i wystarczające jest to ”. Sprowadza się to do stwierdzenia, że jest to równoważne i jest odnotowane . Zatem przez przemienność równoważności możemy również powiedzieć, że jest to warunek konieczny i wystarczający dla .
