Węzeł Hopf

W teorii bifurkacji bifurkacja Hopfa lub Poincaré – Andronova – Hopfa , nazwana na cześć Henri Poincaré , Eberharda Hopfa i Aleksandra Andronova , jest bifurkacją lokalną, w której stały punkt układu dynamicznego traci stabilność, podczas gdy „para sprzężonych złożonych wartości własnych linearyzacji wokół punktu stałego przecina urojoną oś płaszczyzny zespolonej .

Bardziej ogólny przegląd bifurkacji Hopfa i ich zastosowań, w szczególności w fizyce i elektronice, patrz.

Definicja

Bifurkacja Hopfa w stanie nadkrytycznym/podkrytycznym

Cykl orbitalny (oscylacyjny) jest stabilny, jeśli określona wielkość zwana pierwszym wykładnikiem Lapunowa jest ujemna (tj. każde małe odchylenie zastosowane do punktu w cyklu granicznym zmniejsza się wykładniczo do pierwszego rzędu), a bifurkacja Hopfa jest uważana za super- krytyczny. W przeciwnym razie (pierwszy zerowy lub dodatni wykładnik Lapunowa) cykl graniczny jest niestabilny i mówi się, że bifurkacja jest podkrytyczna.

Kanoniczna forma bifurkacji Hopfa to:

{\ displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = z ((\ lambda + i) + b | z | ^ {2}),}

Gdzie z , b są złożone, a λ jest parametrem. Pozujmy

{\ displaystyle b = \ alfa + i \ beta. \,}

Liczbę α nazywamy pierwszym wykładnikiem Lapunowa.

Jeżeli α jest ujemne, to istnieje stabilny cykl graniczny dla λ > 0:

{\ displaystyle z (t) = re ^ {i \ omega t} \,}

lub

{\ displaystyle r = {\ sqrt {- \ lambda / \ alpha}} {\ text {i}} \ omega = 1 + \ beta r ^ {2}. \,}

Mówi się wtedy, że bifurkacja jest nadkrytyczna.

Jeśli α jest dodatnie, to cykl graniczny jest niestabilny dla λ < 0. Mówi się, że bifurkacja jest podkrytyczna .

Uwagi

„Najmniejszą reakcję chemiczną wykazującą bifurkację Hopfa” zaobserwowano w 1995 roku w Berlinie w Niemczech. Ten sam system biochemiczny został wykorzystany do zbadania, w jaki sposób bifurkacja Hopfa może nam powiedzieć o podstawowej dynamice systemu.

Bibliografia

(w) Steven H. Strogatz , Nonlinear Dynamics and Chaos , wydawnictwo Addison Wesley,1994
(w) Yuri A. Kuznetsov , Elements of Applied Bifurcation Theory , New York, Springer-Verlag,2004, 634 s. ( ISBN 0-387-21906-4 , prezentacja online )
(w) J. Hale i H. Koçak , Dynamika i bifurkacje , tom. 3, Nowy Jork, Springer-Verlag, kol. „Teksty w matematyce stosowanej”,1991
J. Guckenheimer , M. Myers i B. Sturmfels , " Computing Hopf Bifurcations I " , SIAM Journal on Numerical Analysis ,1997
(w) E. Hairer , SP Norsett i G. Wanner , Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych I: problemy niesztywne , New York, Springer-Verlag,1993, wyd. drugie .
T. Wilhelm i R. Heinrich , „ Najmniejszy układ reakcji chemicznych z bifurkacją Hopfa ”, Journal of Mathematical Chemistry , tom. 17, n o 1,1995, s. 1-14 ( DOI 10.1007 / BF01165134 , przeczytaj online )
PDW Kirk , T. Toni i MP Stumpf , „ Wnioskowanie parametrów dla układów biochemicznych, które ulegają bifurkacji Hopfa ”, Biophysical Journal , tom. 95 N O 22008, s. 540-549 ( PMID 18456830 , PMCID 2440454 , DOI 10.1529 / biophysj.107.126086 , czytaj online )

Linki zewnętrzne