W matematyce , a dokładniej w teorii liczb , twierdzenie o postępie arytmetycznym jest sformułowane w następujący sposób:
Dla każdej niezerowej całkowitych n oraz dowolną liczbę całkowitą m sile z n istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych przystającej do m modulo n (to znaczy od postaci m + an się z liczby całkowitej ).
To twierdzenie jest uogólnieniem twierdzenia Euklidesa na liczbach pierwszych . Jego pierwsza demonstracja, za sprawą niemieckiego matematyka Gustava Lejeune Dirichleta w 1838 r., Odwołuje się do wyników arytmetyki modularnej i analitycznej teorii liczb . Pierwsza „elementarna” demonstracja miała miejsce w 1949 roku za sprawą Atle Selberga .
Twierdzenie to uogólnienie Euklidesa twierdzenie , według której istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, a zatem odnosi się do przypadku, w którym powodem n o arytmetyczny jest równe 1. Oznacza to, że jeśli konstrukt tablicę jak poniżej (co odpowiada w przypadku n = 9 : jest to liczba, która pojawia się w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie), to:
Możemy iść dalej. Rozkład statystyczny jest prawie taki sam w każdym wierszu. Im dłuższa linia, tym bardziej rozkłady statystyczne wyglądają podobnie, aby stać się dokładnie takie same. W tym świetle liczby pierwsze są wyjątkowo dobrze uporządkowane. Wynik ten jest zademonstrowany przez twierdzenie Chebotareva o gęstości , uogólnienie pracy Dirichleta. W przytoczonym przykładzie wiersze rozpoczynające się liczbą całkowitą pierwszą z 9 zawierają od 7 do 5, czyli odchylenie mniejsze niż 40%. Z drugiej strony, jeśli tabela zostanie rozszerzona do wartości 1000, to liczba liczb pierwszych w wierszach zawierających nieskończoność waha się tylko od 26 do 29, to znaczy odchylenie mniejsze niż 10%.
Kolejna analiza jest wykonywana na pojawieniu się pierwszej liczby pierwszej z rzędu; jest przedmiotem twierdzenia Linnika .
0 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 | 117 | 126 | 135 | 144 |
1 | 10 | 19 | 28 | 37 | 46 | 55 | 64 | 73 | 82 | 91 | 100 | 109 | 118 | 127 | 136 | 145 |
2 | 11 | 20 | 29 | 38 | 47 | 56 | 65 | 74 | 83 | 92 | 101 | 110 | 119 | 128 | 137 | 146 |
3 | 12 | 21 | 30 | 39 | 48 | 57 | 66 | 75 | 84 | 93 | 102 | 111 | 120 | 129 | 138 | 147 |
4 | 13 | 22 | 31 | 40 | 49 | 58 | 67 | 76 | 85 | 94 | 103 | 112 | 121 | 130 | 139 | 148 |
5 | 14 | 23 | 32 | 41 | 50 | 59 | 68 | 77 | 86 | 95 | 104 | 113 | 122 | 131 | 140 | 149 |
6 | 15 | 24 | 33 | 42 | 51 | 60 | 69 | 78 | 87 | 96 | 105 | 114 | 123 | 132 | 141 | 150 |
7 | 16 | 25 | 34 | 43 | 52 | 61 | 70 | 79 | 88 | 97 | 106 | 115 | 124 | 133 | 142 | 151 |
8 | 17 | 26 | 35 | 44 | 53 | 62 | 71 | 80 | 89 | 98 | 107 | 116 | 125 | 134 | 143 | 152 |
Zainteresowanie liczbami pierwszymi jest stare i wszechobecne w historii matematyki. Euklides (Vers -325 -vers -265 ) poświęca Księga VII z jego elementów ją . Możemy również przytoczyć prace Sun Zi , ustalone około roku 300 , w jego podręczniku Sunzi Suanjing , pierwszą wersję chińskiego twierdzenia o pozostałościach, a zwłaszcza Qin Jiushao, który w swoim Mathematical Treatise in Nine Sections ( 1247 ) rozwija je. wystarczająco wyrafinowana wersja przekroczyć poziomu europejskiego z XVIII -tego wieku . George Sarton uważa go za jednego z największych matematyków wszechczasów.
XVII th wieku kiedy matematyka Europejskiej, a zwłaszcza francuskim, są odzyskanie wiedzy o starożytnej i wkładu cywilizacji arabskiej . W 1621 roku , Claude Gaspard Bachet de Méziriac w przetłumaczony łaciński arytmetyczne z Diofantos (ok. 200 / 214 - ok. 284 / 298 ) . Pierre de Fermat ( 1601 - 1665 ) annotates go.
W XVIII -tego wieku , Leonhard Euler kilka rozwiązuje równanie diofantyczne pozostanie otwarta przez poprzedniego wieku. Możemy przytoczyć jego pracę dotyczącą twierdzenia Fermata o dwóch kwadratach lub jego atak na „ostatnie twierdzenie Fermata” dla przypadku n = 3 . W tej dziedzinie jest szczególnie uzdolniony, rozwiązując po raz pierwszy od ponad wieku otwarte problemy.
W 1735 roku , po studium rozwiązania problemu Mengoliego , Euler zbadał nieskończone produkty . Dwa lata później używa dziwnej formuły zwanej teraz produktem Eulera . Jego zapis seryjny jest zapisem funkcji Riemanna ζ . Dostarcza pierwszych informacji statystycznych o rozkładzie liczb pierwszych.
W 1775 roku Euler sformułował twierdzenie o sekwencji arytmetycznej pierwszego członu 1.
Dziesięć lat później Adrien-Marie Legendre stwierdza w ogólnym przypadku twierdzenie o postępie arytmetycznym. Myślał, że zademonstrował to w 1808 roku za pomocą (fałszywego) lematu, który potwierdził, że przy dwóch liczbach całkowitych m i n pierwszych między nimi oraz k nieparzystych liczb pierwszych nie dzielących n , istnieje co najmniej jedna liczba całkowita j zawarta (w szerokim sensie) między 1 a p k ( k-ta liczba pierwsza, zaczynając od p 1 = 2) taka, że –m + jn nie jest podzielne przez żadną z tych k liczb pierwszych.
W 1801 roku Carl Friedrich Gauss opublikował swoje słynne Disquisitiones arithmeticae . Zawiera podstawy algebraicznej teorii liczb , znanej jako arytmetyka modularna . Jego książka analizuje właściwości ℤ / n ℤ i, aby wykazać prawo kwadratowej wzajemności , rozwija szczególny przypadek charakteru grupy skończonej : symbol Legendre .
W 1837 roku Dirichlet przedstawił pierwszą wersję swojego twierdzenia o postępie arytmetycznym, zakładając, że n jest liczbą pierwszą. W następnym roku demonstruje przypadek, w którym n nie jest liczbą pierwszą, aw 1841 roku uogólnia dowód na liczby całkowite Gaussa .
Dowód jest bardzo interesujący w arytmetyce . Łączy nową teorię Gaussa z pozornie odległymi ideami Eulera. Wzbogaca również każdą z dwóch gałęzi.
Algebraiczny wkład w teorię liczb polega głównie na rozwoju analizy harmonicznej . Dirichlet pracował nad odkryciami Josepha Fouriera ( 1768 - 1830 ) . Aby udowodnić swoje twierdzenie, używa tych samych metod, tym razem dla skończonej grupy abelowej . Jacobi mówi o nim: „Dzięki zastosowaniu szeregu Fouriera do teorii liczb, Dirichlet niedawno znaleziono wyników idące szczyty ludzkiej intuicji . ” Teoria postaci grupy skończonej dla przypadku abelowego jest praktycznie kompletna.
Jego wkład w analizę jest nie mniej innowacyjny. Z każdą postacią kojarzy nieskończony produkt podobny do Eulera. Pokazuje równoważność tych iloczynów z szeregami, zwanymi obecnie szeregami L Dirichleta , których szczególnym przypadkiem jest funkcja Riemanna ζ . Istota dowodu polega zatem na ustaleniu, czy jednostka jest pierwiastkiem tych szeregów, czy nie. Dostrzegamy tutaj głęboką analogię z hipotezą Riemanna . Ten artykuł oznacza narodziny nowej gałęzi matematyki: analitycznej teorii liczb z jej podstawowymi narzędziami: iloczynami Eulera lub serią L Dirichleta i jej bliskim związkiem z arytmetyką modularną.
La Vallée Poussin wykazał następującą ilościową wersję twierdzenia, wysuniętą przez Dirichleta i Legendre'a. Jest to wspomniany wyżej równy rozkład liczb pierwszych w klasach [ m ] modulo n , dla n niezerowych i m pierwszych między sobą:
Liczba numerów pierwszej mniejszej niż lub równą X w sekwencji m + a jest równoważna z Li ( x ) / φ ( n ) .
Twierdzenie uogólnia liczba pierwsza twierdzenie (co odpowiada przypadkowi, n = 1, m = 0) w taki sam sposób jak w progresji twierdzenie uogólnia twierdzenie Euklidesa na liczb pierwszych . W 1949 r. Atle Selberg jednocześnie podał „elementarny dowód” (tj. Niestosujący metod analitycznej teorii liczb ) twierdzenia o postępach arytmetycznych i liczb pierwszych. W 1998 roku Ivan zmusił Soprunowa do ponownej ilościowej wersji twierdzenia o postępie arytmetycznym, wykorzystując idee wprowadzone w 1980 roku przez Donalda J. Newmana (w) swoim niezwykle prostym dowodzie twierdzenia o liczbach pierwszych .
Pomimo tego wyniku zauważamy (jest to odchylenie Czebyszewa ), że dla wartości m, które nie są modulo n kwadratów , ta liczba, często oznaczana π ( x ; n , m ), jest prawie zawsze większa niż aux π ( x ; n , p ) gdzie p jest modułem n kwadratowym ; ten wynik jest obecnie zademonstrowany tylko wtedy, gdy uogólniona hipoteza Riemanna jest prawdziwa .
Tutaj n oznacza ściśle dodatnią liczbę całkowitą, a m jest klasą grupy jednostek , oznaczoną U , pierścienia ℤ / n ℤ . Celem jest pokazanie, że m zawiera nieskończoność liczb pierwszych. P oznacza zbiór liczb pierwszych, a S półpłaszczyznę kompleksów o części rzeczywistej ściśle większej od 1. Jeśli c oznacza liczbę zespoloną , c oznacza jej sprzężenie .
Znak Dirichleta jest oznaczony symbolem χ, a grupa znaków Û.
Celem jest zdefiniowanie na S × U funkcji ω, której zachowanie zapewni, że klasa m zawiera nieskończoność liczb pierwszych.
Po ustaleniu tego twierdzenia wystarczy, przez przeciwstawienie , wykazać, że funkcja różni się przy 1, aby udowodnić twierdzenie.
Demonstracja Szereg definiujący ω ( s , u ) jest absolutnie zbieżny Twierdzenie to zostało przedstawione w akapicie „ Iloczyn Eulera ” w szczegółowym artykule. Jeśli m zawiera tylko skończoną liczbę liczb pierwszych, to s ↦ ω ( s , m ) ma granicę 1 Na stałe, zZgrubne ograniczenie zbieżnym szeregiem Riemanna pokazuje, że szereg ψ 2 jest zwykle zbieżny na zamkniętej półpłaszczyźnie Re ( s ) ≥ 1:Jeśli jest skończona, ψ 1 jest prostą funkcją całkowitą , zdefiniowaną na całej płaszczyźnie zespolonej.Trudność polega na tym, że sumowanie w ω ( s , m ), w przeciwieństwie do ζ ( s ) , odbywa się tylko na liczbach pierwszych należących do m .
Jednak funkcja ω zależy od parametru u elementu skończonej grupy abelowej . Jednak taka grupa ma bardzo prostą analizę harmoniczną . Funkcje trygonometryczne są zastępowane znakami i mamy transformatę Fouriera i twierdzenie Plancherela ; umożliwia „delokalizację” zbioru liczb pierwszych:
Funkcja ω jest równa następującemu wyrażeniu w swojej dziedzinie definicji:
.Demonstracja znajduje się w części „Wniosek” artykułu szczegółowego.
Jeśli χ nie jest głównym bohaterem, jego seria L Dirichleta jest zdefiniowana i kontynuowana w 1 z wartością niezerową (dowód znajduje się w akapicie „Zachowanie w punkcie pierwszym” artykułu szczegółowego). Z drugiej strony, jeśli χ jest głównym bohaterem, jego szereg L (na którego logarytm ma wpływ, w rozwinięciu ω ( s , m ) , współczynnik χ ( m ) = 1) jest równy , gdzie jest zeta funkcja Riemanna , która różni się w punkcie 1. To pozwala nam na sformułowanie następującego zdania, które kończy dowód, jak zapowiedziano powyżej :
Dla każdej klasy m w U funkcja ω ( s , m ) różni się, gdy s zbliża się do 1.