Obwód z płaską postać jest rozwinięta długość obrysu tej figurze. Obliczenie obwodu służy na przykład do określenia ilości siatki drucianej potrzebnej do zamknięcia działki.
Dla dowolnego wielokąta obwód jest równy sumie długości boków. Istnieją proste wzory do obliczania obwodu figur podstawowych, ale problem staje się znacznie trudniejszy dla bardziej złożonych figur: obejmuje obliczenia całek lub granic . W tym przypadku jedna metoda polega na zbliżeniu się do figury złożonej przez inne, prostsze i lepiej znane, w celu uzyskania przybliżenia pożądanego obwodu.
Pytanie dla danego obszaru, co jest powierzchnia, której powierzchnia jest maksymalna (lub isoperimetry ) został założony na początku i odpowiedź tylko powstała w XIX th century .
Poza kontekstem matematycznym słowo obwód jest czasami używane do oznaczenia linii ograniczającej figurę. Korzystne jest jednak nazwanie tej linii obwodem figury o w przybliżeniu okrągłym kształcie lub konturem dowolnej innej figury.
W potocznym znaczeniu słowo obwód jest również używane do oznaczenia strefy, która rozciąga się wokół określonego miejsca ( obwód ochronny ).
Słowo obwód (od starożytnego greckiego : περίμετρος ) składa się z prefiksu około- co oznacza „około” i przyrostka -meter : „środek”.
Przypadek wielokątów jest fundamentalny, nie tylko ze względu na swoją prostotę, ale także dlatego, że wiele obwodów jest obliczanych w przybliżeniu przez szereg wielokątów zmierzających w kierunku tych krzywych. Pierwszym matematykiem, o którym wiadomo, że użył tego rozumowania, był Archimedes, który zbliżył się do obwodu koła, obramowując go wielokątami foremnymi .
Obwód wielokąta jest równy sumie długości jego boków.
W szczególności, prostokąta o wymiarach a i b ma w obwodzie 2 ( a + b ) . Równoboczny wielokąt jest wielokątem z każdej strony tej samej długości (A rombu jest równoboczny wielokąt o czterech stron). Aby obliczyć obwód wielokąta równobocznego , po prostu pomnóż tę długość przez liczbę boków.
Regularny wielobok jest często definiowany przez jego liczbę stron i jego promienia , to znaczy stałą odległość pomiędzy jego centrum i każdy z wierzchołków. Możliwe jest obliczenie długości boku na podstawie trygonometrii . Jeśli R jest promieniem wielokąta foremnego, a n jest liczbą jego boków, jego obwód wynosi:
.Metody te podsumowano w poniższej tabeli.
Wielokąt | Formuła | Zmienne |
---|---|---|
Trójkąt | a , b i c to długości boków trójkąta. | |
Równoległobok | a i b to długości dwóch kolejnych boków. | |
Wielokąt równoboczny | n jest liczbą boków i ma długość każdego boku. | |
Dowolny wielokąt | gdzie jest długość E ( 1 ul , 2 -go , 3 rd ... n -tego ) boku wieloboku o n bokach. | |
Regularny wielokąt wypukły | n to liczba boków, a R odległość między środkiem wielokąta foremnego a każdym z wierzchołków. |
Obwód koła to rozwinięta długość jego obrysu. Jest proporcjonalny do jego średnicy. Oznacza to, że istnieje stała π (z greckiego p oznaczająca obwód ) taka, że niezależnie od okręgu o średnicy D i obwodu P ,
P = π D .Użycie kompasu , faworyzującego użycie promienia R koła, a nie jego średnicy, wzór ten staje się:
P = 2 π R .Te dwie formuły są całkowicie równoważne, ponieważ dla każdego koła D = 2 R .
Aby obliczyć obwód koła, wystarczy znać jego promień lub średnicę oraz liczbę π . Problem w tym, że liczba ta nie jest wymierna (nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych) ani nawet algebraiczna (nie jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych). Uzyskanie przybliżonej wartości π tak dokładnej, jak jest to pożądane, nie jest zatem łatwe. Poszukiwanie ułamków dziesiętnych liczby π mobilizuje wiedzę z zakresu analizy , algorytmów i informatyki .
Obwód koła jest często określany jako przedłużenie obwodu, mimo że obwód odnosi się do krzywej, a nie miary długości. Użycie terminu długość koła jest niejednoznaczne i należy go unikać, ponieważ pojęcie to może równie dobrze obejmować odległość między dwoma przeciwległymi punktami (średnicę) jak rozwinięta długość obrysu koła (obwód).
Obwód jest, obok pola powierzchni , jedną z dwóch głównych miar figur geometrycznych. Powszechne jest mylenie tych dwóch pojęć lub przekonanie, że im większe, tym bardziej drugie. Rzeczywiście, powiększenie (lub zmniejszenie) figury geometrycznej jednocześnie zwiększa (lub zmniejsza) jej powierzchnię i obwód. Na przykład, jeśli kawałek gruntu jest pokazany na mapie w skali 1: 10 000, rzeczywisty obwód gruntu można obliczyć mnożąc obwód reprezentacji przez 10 000, a powierzchnię mnożąc obwód reprezentacji przez 10 000 2 . Jednak nie ma bezpośredniego związku między obszarem a obwodem jakiejkolwiek figury. Na przykład prostokąt o powierzchni równej jednemu metrowi kwadratowemu może mieć wymiary w metrach: 0,5 i 2 (a więc obwód równy 5 m ), ale także 0,001 i 1000 (a więc obwód większy niż 2000 m ). Proklos ( V th wieku ) informuje, że greccy rolnicy shared „sprawiedliwy” pól wzdłuż ich obwodów, ale z różnych dziedzin. Jednak produkcja pola jest proporcjonalna do obszaru, a nie do obwodu: niektórzy naiwni chłopi byli w stanie uzyskać pola o długich obwodach, ale przeciętny obszar (a zatem żniwa).
Gdy usuniemy część figury, zmniejsza się jej powierzchnia ( usunęliśmy też obszar). Ale nie zawsze jest tak samo na obwodzie. W przypadku bardzo „wyciętej” figury , do pola/obwodu dodaje się zamieszanie, że z wypukłą obwiednią figury, a nie z kolei w ścisłym tego słowa znaczeniu. Wypukła obwiednia postaci jest jak gumka, która otaczałaby tę figurę. Na animacji po lewej stronie wszystkie figury mają tę samą wypukłą obwiednię: duży początkowy sześciokąt .
Izoperimetria zajmuje się w szczególności kwestią znalezienia jak największej powierzchni dla danego obwodu. Odpowiedź jest intuicyjna, to dysk . To wyjaśnia, dlaczego w szczególności oczy na powierzchni bulionu mają okrągły kształt.
Ten pozornie nieszkodliwy problem wymaga wyrafinowanych teorii, aby uzyskać rygorystyczną demonstrację. Problem izoperymetryczny jest czasem upraszczany przez ograniczenie autoryzowanych powierzchni. Na przykład szukamy czworokąta lub trójkąta o największej możliwej powierzchni, zawsze dla danego obwodu. Odpowiednimi rozwiązaniami są kwadrat i trójkąt równoboczny . Ogólnie rzecz biorąc, wielokąt o n wierzchołkach o największej powierzchni na danym obwodzie to ten, który znajduje się najbliżej okręgu , jest to wielokąt foremny .
Izoperimetria nie ogranicza się do tych pytań. Poszukujemy również obszaru o jak największej powierzchni dla danego obwodu, o różnej geometrii. Na przykład w przypadku półpłaszczyzny odpowiedzią jest półtarcza.
Koncepcja ta daje początek rodzinie twierdzeń zwanych izoperymetrycznymi , wzrostami zwanych nierównościami izoperymetrycznymi , a także relacji zwanej ilorazem izoperymetrycznym . Nierówność izoperymetryczna wskazuje, że powierzchnia o obwodzie p i powierzchni a spełnia następujący wzrost:
Termin po lewej nazywa się ilorazem izoperymetrycznym, jest równy 1 wtedy i tylko wtedy, gdy powierzchnia jest dyskiem.
Jeśli pochodzenie tego pytania ma co najmniej 2900 lat, to dopiero w 1895 roku , przy użyciu metod wywodzących się z twierdzenia Minkowskiego, problem ten został ostatecznie rozwiązany w jego starożytnej formie. Metody te umożliwiają udowodnienie twierdzenia izoperymetrycznego i uogólnienie go na wyższe wymiary w przypadku geometrii euklidesowej .
Zobacz artykuł izoperimetria, aby poznać podstawowe aspekty tego pytania. Niektóre odpowiedzi, wykorzystujące bardziej wyrafinowane narzędzia matematyczne, zaproponowano w artykule Twierdzenie izoperimetryczne .
Poza przypadkami wielokątów i okręgów, obwód większości powierzchni jest trudny do obliczenia: obejmuje całkę, która nie jest często wyrażana za pomocą funkcji elementarnych (wielomiany, sinusy itp.).
Elipsa może wydawać się prosta: jest to przecież tylko „zgniecione kręgu”.
Niech będzie elipsą z półoś wielką a i półoś małą b .
Powierzchnia jest łatwa do obliczenia: .
Ale obwód P elipsy można uzyskać tylko za pomocą całki eliptycznej :
która wyraża się w postaci serii , stwierdzając, e the mimośrodowość elipsy (wzór Lambert JH (1772)):
lubTrudność tych obliczeń doprowadziła do opracowania przybliżeń. Drugą propozycją, bardziej precyzyjną, jest praca Ramanujana :
Problem obliczania obwodu jest trudniejszy, jeśli granica jest zakrzywiona i nie jest już wielokątna.
Zawsze jest możliwe przybliżenie długości krzywej przez wielokąt aproksymacyjny . Długość wielokąta aproksymacji jest sumą długości jego boków. Gdy uskok, to znaczy maksymalna długość pomiędzy dwoma kolejnymi wierzchołkami wielokąta, zbliża się do zera, górna granica długości wielokąta zbliża się do długości krzywej. Jeśli długość krzywej jest skończona, mówi się, że jest możliwa do wyprostowania . To rozumowanie umożliwia obliczenie przybliżonych wartości wielu krzywych.
Dokładna wartość jest możliwa, gdy krzywa jest sparametryzowana przez funkcję bezstopniową. Wtedy krzywa jest do wyprostowania. Jeżeli krzywa jest łukiem sparametryzowanym przez funkcję f zdefiniowaną w przedziale [ c ; d ], to jego długość wynosi:
W szczególności, jeśli f ( t ) = ( x ( t ); y ( t )) i jeśli współrzędne są wyrażone w ortonormalnej bazie , długość L krzywej jest dana wzorem:
Wzór ten umożliwia ustalenie podanego powyżej dla obwodu elipsy ( x ( t ) = a cos t , y ( t ) = b sin t , I =] 0, π / 4 [ ).
Możliwe jest również użycie współrzędnych biegunowych (θ, r (θ)) gdzie r jest ciągle różniczkowalną funkcją θ zdefiniowaną na przedziale [θ 1 ; θ 2 ]. W tym wypadku :
Krzywa kocha jest zbudowany przez serię wielokątów, które są zarówno bardzo proste i zaskakujących właściwościach.
W każdej iteracji, wielokąt otrzymanej obwodzie równym 4 / 3 z tego poprzedniego jeden, seria z obrzeżami uzyskanych dąży do nieskończoności . Jednak wszystkie te wielokąty są zawarte w okręgu opisanym w pierwszym trójkącie i mają skończony obszar.
Jeśli kilka powierzchni ma nieskończone obwody, możliwe jest jednak, że niektóre mają „dłuższy obwód” niż inne. Wymiar Hausdorff, wprowadzona w roku 1918, pozwala na ich stosunku przez dalsze rozszerzenie pojęcie długości, a zatem w obwodzie.
Z płaszczyznami odnalezione na glinianych tabliczkach datowanych od Ur III (koniec III e tysiąclecia p.n.e. ) obejmują odniesienia długości kursy, które są cięte na trójkąty i czworokąty w celu ułatwienia obliczeń. Ale pola wielokątów, a zwłaszcza pola pól, zostały obliczone na podstawie obwodu, nawet jeśli niektórzy skrybowie zdawali sobie sprawę, że te rozumowania mogą być fałszywe. Ten sposób mierzenia miast lub regionów według ich obwodu jest używany przez Homera dla Troi lub Herodota :
„Ponadto nazwę Egipt dawano dawniej Tebaidzie, której obwód wynosi sześć tysięcy sto dwadzieścia stadionów. "
Od 1800 pne. J. - C. , poświadczane są problemy geometrii o obwodach. Klasycznym problemem spotykanym na wielu tabletach było znalezienie wymiarów prostokąta, znając jego pole i obwód:
Przykład problemu babilońskiego – prostokątne pole ma powierzchnię 96, a obwód 40. Jaka jest długość i szerokość pola?
Legenda głosi, że Dido około 800 rpne. AD , szukając ziemi, aby założyć nowe miasto dla swojego ludu, uzyskał od króla, który mu scedował „tyle, ile mógł zmieścić w skórze wołu” . Dydona pocięła skórę wołu na bardzo cienkie paski i wybrała półwysep : paskami oddzieliła półwysep od lądu, dzięki czemu była w stanie wytyczyć ogromny obszar. Narodziła się Kartagina . Legenda o Dido może mieć pochodzenie dydaktyczne, ponieważ pokazuje, że obszar i obwód nie są ze sobą powiązane, jest też pierwszym podejściem do problemu izoperymetrii .
Powstanie Rzymu to także kwestia obwodu: ślady Romulusa, z jego pługiem, to okrągły obwód jego przyszłego miasta. Łacińskie słowo Urbs (miasto, które oznacza Rzym i nadało w języku francuskim słowa urban , urbanize ) byłoby zniekształceniem wyrażenia oznaczającego „śledzić obwód” . Pierwotny indoeuropejski oznaczający obwód, obwód, ogrodzenie byłby początkiem.
Problem isoperimetry jest bardzo stara, jak legenda Dido poświadcza, a jego różne odpowiedzi (wielokąta foremnego, pół-disk w pół-samolotem, krąg) były znane od greckiego antyku, choć nie jest to aż do XIX th wieku dla opracowano rygorystyczny dowód.
Babilończycy powiązali pole A i obwód P koła zgodnie z algorytmem obliczeniowym równoważnym ze wzorem, który daje przybliżenie π równe 3. Nawet znając średnicę koła, skrybowie zawsze przechodzili, obliczając jego obwód. (poprzez pomnożenie średnicy przez 3), aby uzyskać jej powierzchnię. Zwykle wymiarem koła był zawsze jego obwód, nigdy średnica czy promień. To pokazuje, że dla starożytnych okrąg był postrzegany bardziej jako obwód niż krzywa określona przez środek i promień. Procedura obliczania pola powierzchni dysku z jego średnicy była następująca, użyta w tym przykładzie do wyznaczenia objętości kłody cylindrycznej o średnicy 1 + 2 ⁄ 3 :
Metoda Babilońska - Potrójne 1 + 2 ⁄ 3 , szczyt kłody i 5, obwód kłody, nadejdzie. Weź kwadrat 5 i 25 nadejdzie. Mnożenie przez 25 1 / 12 , stała i 2 + 1 / 12 , w okolicy, się.
Przybliżenie π przez 3 jest również używane w Biblii :
„Stworzył morze stopienia. Miał on dziesięć łokci z boku na bok, okrągły kształt, wysokość pięciu łokci, a obwód mierzony sznurem trzydziestu łokci. "
i Talmud :
„To, co ma trzy płetwy obrotowe, ma szerokość jednej płetwy. "
Archimedes stwierdził i zademonstrował w swoim traktacie Na miarę koła :
Przybliżenie π przez Archimedesa - iloraz obwodu dowolnego okręgu przez jego średnicę jest mniejszy, ale większy niż .
Daje to obramowanie π (która jest ilorazem obwodu dowolnego okręgu przez jego średnicę ). Aby osiągnąć ten wynik, Archimedes otoczył okrąg dwoma regularnymi wielokątami, których obwód obliczył. Jego wynik wykorzystuje regularne 96-boczne wielokąty.
W 1424 Al-Kachi w swoim Traktacie o kole obliczył przybliżoną wartość π zamykając okrąg między dwoma regularnymi wielokątami o 805 306 368 bokach z szesnastoma dokładnymi miejscami po przecinku. Jego celem było wyznaczenie przybliżonej wartości π na tyle dokładnej, aby móc obliczyć nie tylko obwód Ziemi, ale i Wszechświata. Jego traktat zaczyna się następująco:
„Chwała Allahowi , który zna stosunek średnicy do obwodu […], a pokój Mahometowi , Wybranemu, który jest centrum kręgu proroków. "
Metoda Archimedesa została podjęta w 1579 przez François Viète iw 1593 przez Adriena Romaina, aby obliczyć od dwunastu do piętnastu miejsc po przecinku π.
Inne matematyków obliczyli przybliżone wartości Õ za pomocą obliczeń obszarów , a z XVII -tego wieku , techniki rachunku .
Kwestia obliczania rozwiniętą długość łuku odbywa się XVII th wieku nazwisko sprostowania krzywej. Na ogół uważa się, że jest to niemożliwe do rozwiązania, co Kartezjusz wyraża przez: „nieznana proporcja między liniami i krzywymi, a nawet ja wierzę, że nie jest to możliwe przez mężczyzn” .
Do XVII p wieku , wynalazek rachunku doprowadziły do interpretowania obliczenie rozwinięcie krzywej takiego koła według wzoru podanego powyżej (patrz przykład elipsy).
W XIX th century , Camille Jordan daje nową definicję rozwiniętej długości krzywej zbliżonej Archimedesa , ale przy użyciu nowoczesnych narzędzi (w tym przy obliczaniu limitu z poniższych ): podchodzi do krzywa a wielokąt , którego wierzchołkami są punkty ta krzywa. Gdy liczba tych punktów dąży do nieskończoności, górną granicą szeregu długości otrzymanych wielokątów, jeśli jest zwiększana , jest rozwinięta długość tej krzywej. Ta definicja krzywej prostowalnej obejmuje i rozszerza poprzednią, która wykorzystywała całkę .
Podczas XIX E i XX E wieków matematycy odkryli wiele „dziwnych” krzywe podobnie jak von Koch, które nie są do naprawienia. Od 1967 Benoît Mandelbrot definiował i badał fraktale na podstawie pozornie bardzo prostego pytania:
Pytanie - Jak długie jest wybrzeże Bretanii?
Mandelbrot wyjaśnia, że im bardziej staramy się określić miarę, tym będzie ona większa, aż w końcu stanie się nieskończona. Rzeczywiście, jeśli z grubsza zmierzymy obwód Bretanii (lub dowolnego kraju) na mapie, otrzymamy wielokąt. Jednak im dokładniejsza mapa, tym bardziej wielokąt zostanie przecięty i tym samym zwiększy się jego obwód. Jeśli chcemy „prawdziwy” obwód Bretanii, trzeba będzie pojechać na miejsce, aby zmierzyć każdy kamyk, każdą skarpę skalną, a nawet każdy atom tych składników. Badanie tych obiektów wykracza poza obliczanie obwodów.
Książki
Pozycja