Logika The Greek λογική / logiké , to termin pochodzący z λόγος / lógos - oznacza zarówno „ rozum ”, „ język ” i „ rozumowanie ” - to, w pierwszym podejściu, badanie formalnych reguł, które muszą być spełnione każdy poprawny argument . Termin został użyty po raz pierwszy przez Xenocratesa .
Starożytna logika rozpada się najpierw na dialektykę i retorykę .
Od starożytności, to był jeden z wielkich dyscyplin o filozofii , wraz z etyki ( filozofii moralnej ) i fizyki ( nauka o przyrodzie ).
W średniowieczu nie była wyraźnie wymieniona wśród siedmiu sztuk wyzwolonych :
Dzieło George'a Boole'a , Jevonsa dozwolony od XIX e wieku oślepiającym opracowanie matematycznego podejścia logiki. Jego zbieżność pracować z komputerem od końca XX th century dał mu odnowiony witalność.
To z XX th Century wielu zastosowań w inżynierii , w języku , w psychologii poznawczej , w filozofii analitycznej lub komunikacji .
Logika to nauka o wnioskowaniu .
Logika jest u źródeł poszukiwania reguł ogólnych i formalnych pozwalających odróżnić rozumowanie, które jest rozstrzygające od tego, które nie jest. Znajduje swoje pierwsze ślady w matematyce, a zwłaszcza w geometrii, ale startuje głównie pod wpływem megaryka, a następnie Arystotelesa .
Logika użyto bardzo wcześnie na przeciwko siebie, to znaczy wobec samych warunkach dyskursu: the sofista Gorgiasz używa go w swoim traktacie o zakaz bycia w celu udowodnienia, że nie ma z możliwych ontologii : „to nie jest to jest przedmiotem naszych myśli” : materialna prawda logiki zostaje w ten sposób zrujnowana. Język uzyskuje w ten sposób swoje własne prawo, prawo logiki, niezależne od rzeczywistości. Ale sofiści byli wykluczeni z historii filozofii ( Sophist wziął pejoratywne znaczenie), tak, że logika, w zrozumieniu, że mieliśmy z nim na przykład w średniowieczu , pozostał zastrzeżeniem myśli do być .
W XVII -tego wieku , filozof Gottfried Wilhelm Leibniz prowadzi badania podstawowe w logice, która zrewolucjonizuje głęboko arystotelesowskiej logiki. On ciągle domaga się od tradycji sylogizmy od Arystotelesa i próbuje zintegrować swój własny system. Jest pierwszym, który wyobraził sobie i rozwinął logikę formalną .
Immanuel Kant ze swej strony definiuje logikę jako „naukę, która szczegółowo określa i rygorystycznie demonstruje formalne zasady wszelkiej myśli” . Sześć dzieł Arystotelesa zgrupowanych pod tytułem Organon , w tym Kategorie i studium sylogizmu , przez długi czas uważano za odniesienie w tym temacie.
W 1847 roku ukazała się książka George'a Boole'a zatytułowana Matematyczna analiza logiki , a następnie Badanie praw myśli, na których opierają się matematyczne teorie logiki i prawdopodobieństwa . Boole rozwija tam nową formę logiki, zarówno symboliczną, jak i matematyczną. Jego celem jest tłumaczenie idei i pojęć na wyrażenia i równania , zastosowanie do nich pewnych obliczeń i przełożenie wyniku na terminy logiczne, wyznaczając w ten sposób początek nowoczesnej logiki, opartej na podejściu algebraicznym i semantycznym , które później nazwaliśmy algebrą Boole'a na jego cześć.
Ogólnie rzecz biorąc, istnieją cztery podejścia do logiki:
Organon jest głównym logika dzieła Arystotelesa , w tym w szczególności Prior Analytics ; stanowi pierwsze wyraźne dzieło logiki formalnej , zwłaszcza z wprowadzeniem sylogistyki .
Dzieła Arystotelesa uważane są w Europie i na Bliskim Wschodzie w czasach klasycznych, średniowiecznych za obraz w pełni rozwiniętego systemu . Jednak Arystoteles nie był jedynym, ani pierwszym: stoicy zaproponowali system logiki zdań, który studiowali średniowieczni logicy. Ponadto w średniowieczu dostrzeżono problem wielokrotnej ogólności .
Rachunek zdań jest systemem formalnym, w którym formuły reprezentują zdania, które mogą być utworzone przez połączenie zdań atomowych i za pomocą łączników logicznych , iw którym system formalnych reguł dowodowych ustanawia pewne „ twierdzenia ”.
Rachunek predykatów jest systemem formalnym , który może być logiką pierwszego rzędu , logiką drugiego rzędu lub logiką wyższego rzędu , jest logiką nieskończoności . Wyraża poprzez kwantyfikację dużą próbkę propozycji języka naturalnego . Na przykład paradoks fryzjera z Bertranda Russella , „nie jest człowiekiem, który goli wszystkich mężczyzn, którzy nie golenie” może być sformalizowane przez formuły : za pomocą predykatu , aby wskazać, że jest to człowiek, binarna relacja wskazuje, że jest ogolony przez i inne symbole wyrażające kwantyzację , koniunkcję , implikację , negację i równoważność .
W języku naturalnym , o modalność jest przegięcie lub dodatek do modyfikacji semantyki o propozycji .
Na przykład zdanie „Idziemy na mecze” można zmienić na „Powinniśmy iść na mecze” lub „Możemy iść na mecze” lub „Idziemy na mecze” lub „Musimy iść do gier”.
Mówiąc bardziej abstrakcyjnie, modalność wpływa na ramy, w których twierdzenie jest spełnione.
W logice formalnej logika modalna jest logiką rozszerzoną o operatory , które są stosowane do zdań w celu modyfikacji ich znaczenia.
Logika filozoficzna dotyczy formalnych opisów języka naturalnego . Te filozofowie uważają, że istota codziennej rozumowania mogą być przepisywane na logikę, jeśli jeden lub więcej metoda (y) zarządzać (uda) w tłumaczeniu języka potocznego w tym logiki. Logika filozoficzna jest zasadniczo rozszerzeniem tradycyjnej logiki, która poprzedza logikę matematyczną i dotyczy związku między językiem naturalnym a logiką.
W związku z tym, logicy filozoficzne które przyczyniły się do niestandardowych logiki rozwoju (na przykład swobodnym logiki , The logicznego czasowy ) i różnych rozszerzeń logicznych (np modalne logiki ) oraz semantyki tych logikę (np supervaluationisme (PL) z Kripke w semantyce logiki).
Logiczny język jest określona przez składnię , to znaczy system symboli i reguł połączyć je w postaci preparatów . Ponadto z językiem związana jest semantyka . Umożliwia to interpretację, to znaczy nadanie znaczenia zarówno tym formułom, jak i symbolom. System dedukcji umożliwia powodu przez konstruowanie demonstracji.
Logika konwencjonalnie obejmuje:
Do którego dodaje się:
Składni logiki propozycji jest oparte na zmiennych zwane również propozycja atomów że oznaczamy małymi literami (p, q, r, s, etc.) Symbole te przedstawiają propozycji, w którym nie osąd Vis - w odniesieniu do ich prawda: mogą być prawdziwe lub fałszywe, ale nie możemy też chcieć nic mówić o ich statusie. Zmienne te są łączone za pomocą łączników logicznych, którymi są np.:
Te zmienne tworzą następnie złożone formuły.
Składnia logiki drugiego rzędu , w przeciwieństwie do logiki pierwszego rzędu , uwzględnia:
Poniżej oznaczymy przez V zbiór zmiennych (x, y, z...), F zbiór symboli funkcji (f, g...) i P zbiór symboli predykatów (P, Q .. .). Mamy też tzw m arity mapę . Znaczenie formuł jest przedmiotem semantyki i różni się w zależności od rozważanego języka.
W logice tradycyjnej (zwanej również logiką klasyczną lub logiką „wykluczonej osoby trzeciej”) formuła jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Bardziej formalnie, zbiór wartości prawdziwościowych to zbiór B dwóch wartości logicznych : prawda i fałsz. Znaczenie łączników jest definiowane za pomocą funkcji od Booleans do Booleans. Funkcje te mogą być reprezentowane w formie tabeli prawdy .
Znaczenie formuły zależy zatem od wartości logicznej jej zmiennych. Mówimy o tłumaczeniu lub cesji. Jednak w sensie złożoności algorytmicznej trudno jest użyć semantyki do rozstrzygnięcia, czy formuła jest zadowalająca (lub nie), a nawet ważna (lub nie). W tym celu należałoby umieć wymienić wszystkie interpretacje, których liczba jest wykładnicza .
Alternatywą dla semantyki jest zbadanie dobrze sformułowanych dowodów i rozważenie ich wniosków. Odbywa się to w systemie odliczeń . System dedukcji to para (A, R), gdzie A jest zbiorem formuł zwanych aksjomatami, a R zbiorem reguł wnioskowania , tj. relacji między zbiorami formuł (przesłankami) i formułami (wnioskami).
Wyprowadzenie z danego zbioru hipotez nazywamy niepustą sekwencją formuł, którymi są: aksjomaty lub formuły wyprowadzone z poprzednich formuł w sekwencji. Dowód formuły ϕ ze zbioru formuł Γ jest pochodną , której ostatnią formułą jest ϕ.
Do współczesnej logiki wprowadzamy zasadniczo dwa kwantyfikatory :
Dzięki negacji kwantyfikatory egzystencjalne i uniwersalne pełnią podwójną rolę i dlatego w logice klasycznej możemy oprzeć obliczenia predykatów na jednym kwantyfikatorze.
Predykat binarny, zwany równością , stwierdza, że dwa terminy są równe, gdy reprezentują ten sam obiekt. Zarządzają nim aksjomaty lub schematy określonych aksjomatów. Jednak wśród predykatów binarnych jest to bardzo szczególny predykat, którego zwykła interpretacja jest nie tylko ograniczona przez jego właściwości określone przez aksjomaty: w szczególności zazwyczaj istnieje tylko jeden możliwy predykat równości na model, ten, który odpowiada oczekiwanemu interpretacja (tożsamość). Jego dodanie do teorii zachowuje pewne dobre własności, takie jak klasyczne twierdzenie o zupełności rachunku predykatów. Dlatego bardzo często uważamy, że równość jest częścią podstawowej logiki, a następnie badamy obliczanie predykatów egalitarnych .
W teorii zawierającej równość często wprowadza się kwantyfikator, który można zdefiniować na podstawie poprzednich kwantyfikatorów i równości:
Do rachunku predykatów egalitarnych można wprowadzić inne kwantyfikatory (jest co najwyżej jeden przedmiot weryfikujący taką właściwość, istnieją dwa przedmioty...), ale przydatne w matematyce kwantyfikatory, takie jak „jest nieskończoność...” lub „Istnieje liczba skończona…” nie może być tam reprezentowana i wymaga innych aksjomatów (takich jak teoria mnogości ).
Dopiero na początku XX th century do zasady dwuwartościowości wyraźnie zakwestionowane na wiele różnych sposobów:
O filozofii:
O logice matematycznej:
Zobacz także: