Teoria Yanga-Millsa jest typem nie- abelowej skrajni teorii , pierwszy przykład, który został wprowadzony w 1950 roku przez fizyków Chen Ning Yang i Robert Mills w celu uzyskania spójnego opisu oddziaływań jądrowych odpowiedzialnych za spójność protonów - neutrony w jądrze. Ponieważ zdaliśmy sobie sprawę, że ten typ teorii, raz włączony w ramy kwantowej teorii pola , pozwala na opis wszystkich podstawowych interakcji w fizyce cząstek i jest koncepcyjną podstawą wzorca modelu .
Jego nowoczesne wyrażenie matematyczne wykorzystuje narzędzia geometrii różniczkowej i przestrzeni włókien . Chociaż sformułowanie i ramy geometryczne klasycznej teorii Yanga-Millsa są od dawna dobrze znane, dwie podstawowe właściwości nie zostały jeszcze zademonstrowane matematycznie:
Rozwiązanie tych dwóch kwestii jest jednym z problemów związanych z Nagrodą Milenijną .
Oprócz tych aspektów związanych z fizyką kwantową, klasyczna teoria Yanga-Millsa jest wysoce nieliniowa, a równania Yanga-Millsa z nią związane są bardzo trudne do rozwiązania dokładnie poza przypadkami specjalnymi. To właśnie ta nieliniowość, związana z bogatą strukturą geometryczną, nadaje teoriom Yanga-Millsa całą ich złożoność i czyni je aktywnym przedmiotem badań zarówno w matematyce, jak i fizyce teoretycznej .
Aby zdefiniować teorię Yanga-Millsa, musimy zacząć od podania sobie grupy cechowania, która jest grupą Lie i fizycznie reprezentuje lokalną grupę symetrii teorii. Niezmienność lokalna oznacza, że równania Yanga-Millsa pozostaną niezmienione pod wpływem transformacji G na polach fizycznych w każdym punkcie czasoprzestrzeni .
Aby opisać teorię, najlepiej widok jest następnie naniesienie przestrzenno-czasowego oraz grupy , w tej samej geometrycznej jednostki zwanej przestrzeni włókien G . Możemy wizualizować tę przestrzeń włókien na podstawie danych kopii grupy G powyżej każdego punktu czasoprzestrzeni.
Po skonstruowaniu tej przestrzeni podstawowym narzędziem analizy są dane połączenia, które jest obiektem analogicznym do potencjału wektorowego teorii elektromagnetycznej. Z matematycznego punktu widzenia połączenie umożliwia zdefiniowanie transportu równoległego na światłowodzie kosmicznym. Z punktu widzenia fizyki kwantowej i biorąc prostszy przykład elektromagnetyzmu, połączenie jest tym, co pozwala poznać ewolucję fazy naładowanej cząstki, takiej jak na przykład poruszający się elektron .
Aby w pełni określić tego połączenia, widzimy go jako różnicowej formy nad czasoprzestrzeni z wartości w przestrzeni stycznej grupy Lie , który nazywa się algebry Lie z . W dowolnym momencie czasoprzestrzeni można to zapisać
gdzie są współrzędne czasoprzestrzeni.
W pierwszym podejściu można również wizualizować jako punkt odniesienia macierzy (w załączonej reprezentacji G) w każdym punkcie czasoprzestrzeni.
Następnie możemy wprowadzić Lagrangian Janga-Millsa, z którego wynika wiele równań. Jest sformułowany w kategoriach krzywizny połączenia, która jest wyrażona przez
i jest napisane
gdzie Tr jest ślad w reprezentacji sprzężonego z algebry Lie z . jest jedynym wolnym parametrem teorii i odpowiada stałej sprzężenia teorii Yanga-Millsa.
Użycie tego Lagrangianu obejmuje równania różniczkowe cząstkowe , których istnienie lub niepowtarzalność rozwiązań nie jest w ogólnym przypadku nieznane. Jednak poprzez narzucenie pewnych warunków początkowych problem ten można przezwyciężyć. Niemniej jednak nie jest to satysfakcjonujące z fizycznego punktu widzenia, ponieważ takie warunki nie odpowiadają (lub nie pozwalają na ich redukcję) warunkom eksperymentu.
Pierwsze równania Yanga-Millsa , które zostały wprowadzone, były równaniami Yanga-Millsa dla elektromagnetyzmu , które zastępują równania Maxwella :
gdzie d jest kowariantna przedłużenie w mierniku z zewnętrzną pochodnej , gwiazdy Hodge i wreszcie jest określenie źródła. Wydaje się, w przeciwieństwie do równań Maxwella , że równania Yanga-Millsa nie są liniowe. Tak więc znanych jest tylko kilka dokładnych rozwiązań tych równań, głównie w postaci ansatz .
Sukces teorii Yanga-Millsa z elektromagnetyzmem postawił pytanie o jej ostateczną skuteczność w radzeniu sobie z dwoma pozostałymi siłami kwantowymi: słabym i silnym oddziaływaniem jądrowym . Jednak teoria wykorzystuje wektory interakcji o zerowej masie : działa ona dla elektromagnetyzmu, którego wektorem jest foton . Ale to była przeszkoda dla dwóch oddziaływań jądrowych, z których przynajmniej część była przenoszona przez masywne bozony .
Zrozumienie mechanizmu Higgsa , który nadaje masę wektorom oddziaływań jądrowych, oraz unifikacji elektrosłabej , która łączy elektromagnetyzm i słabe oddziaływanie w jednym opisie teoretycznym, było dwoma głównymi elementami, z których teoria Yanga-Millsa mogła zastosować do tych dwóch oddziaływań kwantowych.
Silna interakcja rzeczywiście wykazały niezwykłą właściwość teorii Yanga-Millsa samego: asymptotycznej swobody . Umożliwiło to opis tej interakcji w SU ( 3 ) poprzez chromodynamikę kwantową , która wykorzystuje te same pojęcia.
Jednak opis oddziaływania silnego dokonany przez tę teorię może zweryfikować eksperyment tylko wtedy, gdy przedstawia pewną liczbę zjawisk czysto kwantowych:
Te właściwości, chociaż obserwowane w symulacjach lub w akceleratorach cząstek , nie są jeszcze zrozumiałe w teorii Yanga-Millsa. Czasami można je wyjaśnić w niezwykle uproszczonych modelach, ale dowody te nie obejmują pełnej teorii.