Równanie różniczkowe cząstkowe

W matematyce , a dokładniej w rachunku różniczkowym , równanie różniczkowe cząstkowe (czasami nazywane równaniem różniczkowym cząstkowym i w skrócie PDE ) jest równaniem różniczkowym, którego rozwiązaniami są nieznane funkcje zależne od kilku zmiennych spełniających określone warunki dotyczące ich pochodnych cząstkowych .

PDE często ma bardzo wiele rozwiązań, a warunki są mniej rygorystyczne niż w przypadku zwykłego równania różniczkowego z pojedynczą zmienną; problemy często obejmują warunki brzegowe, które ograniczają zestaw rozwiązań. Podczas gdy zbiory rozwiązań zwykłego równania różniczkowego są sparametryzowane przez jeden lub więcej parametrów odpowiadających dodatkowym warunkom, w przypadku PDE warunki brzegowe mają raczej postać funkcji  ; intuicyjnie oznacza to, że zestaw rozwiązań jest znacznie większy, co dotyczy prawie wszystkich problemów.

PDE są wszechobecne w naukach ścisłych, ponieważ pojawiają się zarówno w dynamice strukturalnej czy mechanice płynów, jak iw teoriach grawitacji , elektromagnetyzmu ( równania Maxwella ) czy matematyce finansowej ( równanie Blacka-Scholesa ). Są niezbędne w takich dziedzinach, jak symulacja lotnicza , synteza obrazów czy prognozowanie pogody . Wreszcie najważniejszymi równaniami ogólnej teorii względności i mechaniki kwantowej są również PDE.

Jednym z siedmiu problemów związanych z Nagrodą Milenijną jest wykazanie istnienia i ciągłości oryginalnych danych systemu PDE zwanego równaniami Naviera-Stokesa .

Wprowadzenie

Bardzo proste równanie różniczkowe cząstkowe to:

∂u∂x=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe x}} = 0}

gdzie u jest nieznaną funkcją x i y . Z tego równania wynika, że ​​wartości u ( x , y ) są niezależne od x . Rozwiązania tego równania to:

u(x,y)=fa(y),{\ Displaystyle u (x, r) = f (r),}

gdzie f jest funkcją y .

Zwykłe równanie różniczkowe

reurex=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} = 0}

ma na rozwiązanie:

u(x)=vs,{\ Displaystyle u (x) = c,}

gdzie c jest wartością stałą (niezależną od x ). Te dwa przykłady pokazują, że na ogół rozwiązanie zwykłego równania różniczkowego wymaga dowolnej stałej, podczas gdy cząstkowe równania różniczkowe obejmują dowolne funkcje. Rozwiązanie równań różniczkowych cząstkowych na ogół nie jest unikalne.

Trzy ważne kategorie PDE to liniowe i jednorodne cząstkowe równania różniczkowe drugiego rzędu zwane eliptycznymi , hiperbolicznymi i parabolicznymi .

Notacje

W matematyce

W przypadku PDE, dla uproszczenia, zwyczajowo zapisuje się u nieznaną funkcję i D x u (notacja francuska) lub u x (notacja anglosaska, bardziej rozpowszechniona) jej pochodną cząstkową względem x, tj. zapisy rachunku różniczkowego:

ux=∂u∂x{\ Displaystyle u_ {x} = {\ częściowe u \ ponad \ częściowe x}}

a dla drugiej pochodnej cząstkowej:

uxy=∂2u∂y∂x=∂∂y(∂u∂x){\ displaystyle u_ {xy} = {\ częściowe ^ {2} u \ ponad \ częściowe r \, \ częściowe x} = {\ częściowe \ nad \ częściowe y} \ lewo ({\ częściowe u \ nad \ częściowe x} \ dobrze)}

W fizyce

Używane są operatory analizy wektorowej .

Podsumowanie analizy wektorów Operator nabla reprezentuje zbiór pochodnych cząstkowych rzędu 1[∇→=(∂∂x∂∂y∂∂z)] {\ displaystyle \ left [{\ vec {\ nabla}} = \ lewo ({\ początek {tablica} {c} {\ frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} \\ {\ frac {\ częściowe} { \ częściowe y}} \\ {\ frac {\ części} {\ częściowe z}} \ end {tablica}} \ right) \ right] \} Dla funkcji wektorowej , stosując do niej iloczyn skalarny , definiujemy dywergencję  :u→(x,y,z,t)=(ux(x,y,z,t)uy(x,y,z,t)uz(x,y,z,t)){\ Displaystyle {\ vec {u}} \ lewo (x, y, z, t \ prawej) = \ lewo ({\ początek {tablica} {c} u_ {x} \ lewo (x, y, z, t \ right) \\ u_ {y} \ left (x, y, z, t \ right) \\ u_ {z} \ left (x, y, z, t \ right) \ end {array}} \ right) }∇→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}  ∇→⋅u→(x,y,z,t)=(∂∂x∂∂y∂∂z).(uxuyuz)=∂ux∂x+∂uy∂y+∂uz∂z≡rejavu→{\ Displaystyle \ {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {u}} \ lewo (x, y, z, t \ prawo) = \ lewo ({\ początek {tablica} {c} {\ frac {\ części} {\ częściowy x}} \\ {\ frac {\ części} {\ częściowy y}} \\ {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy z}} \ end {tablica}} \ right). \ left ({\ begin {array} {c} u_ {x} \\ u_ {y} \\ u_ {z} \ end {array}} \ right) = {\ frac {\ częściowe u_ {x}} { \ częściowe x}} + {\ frac {\ częściowe u_ {y}} {\ częściowe y}} + {\ frac {\ częściowe u_ {z}} {\ częściowe z}} \ equiv {\ rm {div}} \, {\ vec {u}}} Korzystając z iloczynu poprzecznego , definiujemy rotację  ∇→∧u→(x,y,z,t)=(∂∂x∂∂y∂∂z)∧(uxuyuz)=(∂uz∂y-∂uy∂z∂ux∂z-∂uz∂x∂uy∂x-∂ux∂y)≡rot→u→≡vsurl→u→{\ Displaystyle \ {\ vec {\ nabla}} \ klin {\ vec {u}} \ lewo (x, y, z, t \ prawo) = \ lewo ({\ początek {tablica} {c} {\ Frac {\ części} {\ częściowy x}} \\ {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy y}} \\ {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy z}} \ end {tablica}} \ right) \ wedge \ left ({\ begin {array} {c} u_ {x} \\ u_ {y} \\ u_ {z} \ end {tablica}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c } {\ frac {\ częściowe u_ {z}} {\ częściowe y}} - {\ frac {\ częściowe u_ {y}} {\ częściowe z}} \\ {\ frac {\ częściowe u_ {x}} { \ częściowe z}} - {\ frac {\ częściowe u_ {z}} {\ częściowe x}} \\ {\ frac {\ częściowe u_ {y}} {\ częściowe x}} - {\ frac {\ częściowe u_ {x}} {\ częściowe y}} \ end {tablica}} \ right) \ equiv {\ overrightarrow {\ rm {rot}}} \, {\ vec {u}} \ equiv {\ overrightarrow {\ rm { curl}}} \, {\ vec {u}}} Dla funkcji, która w dowolnym miejscu w przestrzeni kojarzy liczbę skalarną, definiujemy gradient :u(x,y,z,t){\ Displaystyle u \ lewo (x, y, z, t \ prawej)}  ∇→u(x,y,z,t)=(∂∂x∂∂y∂∂z).u(x,y,z,t)=(∂u∂x∂u∂y∂u∂z)=solrwre→u{\ Displaystyle \ {\ vec {\ nabla}} \, u \ lewo (x, y, z, t \ prawo) = \ lewo ({\ początek {tablica} {c} {\ Frac {\ częściowa} {\ częściowe x}} \\ {\ frac {\ części} {\ częściowe y}} \\ {\ frac {\ części} {\ częściowe z}} \ end {tablica}} \ right) .u \ left (x, y, z, t \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {\ części u} {\ częściowe x}} \\ {\ frac {\ częściowe u} {\ częściowe y} } \\ {\ frac {\ częściowy u} {\ częściowy z}} \ end {array}} \ right) = {\ overrightarrow {\ rm {grad}}} \, u} Używamy również operatora Laplaciana , analogicznego do dywergencji dla wyprowadzenia drugiego rzędu. Δ≡∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2{\ Displaystyle \ Delta \ equiv \ nabla ^ {2} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe y ^ {2}}} + {\ frac {\ części ^ {2}} {\ częściowy z ^ {2}}}} zobacz także wektorowy operator Laplaciana .  

Przykłady EDP

Równanie Laplace'a

Równanie Laplace'a jest bardzo ważnym podstawowym PDE:

∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=0{\ Displaystyle {\ częściowe ^ {2} u \ ponad \ częściowe x ^ {2}} + {\ częściowe ^ {2} u \ ponad \ częściowe r ^ {2}} + {\ częściowe ^ {2} u \ ponad \ częściowe z ^ {2}} = 0}

gdzie u = u ( x , y , z ) oznacza nieznaną funkcję.

Funkcję tę można zapisać analitycznie w określonych warunkach granicznych i przy zadanej geometrii, na przykład ze współrzędnymi sferycznymi.

W notacji analizy wektorowej za pomocą operatora Laplaciana Δ

Albo funkcja falowa.ψ≡u(x,y,z,t) {\ Displaystyle \ psi \ equiv u \ lewo (x, y, z, t \ prawej) \} Δψ = 0{\ Displaystyle \ Delta \ psi \ = \ 0}

Równanie propagacji (lub równanie wibrującej struny)

To PDE, zwane równaniem propagacji fal , opisuje zjawisko propagacji fal dźwiękowych i fal elektromagnetycznych (w tym światła). Nieznaną funkcję falową oznaczamy u (x, y, z, t), t reprezentując czas:

∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=1vs2∂2u∂t2{\ Displaystyle {\ częściowe ^ {2} u \ ponad \ częściowe x ^ {2}} + {\ częściowe ^ {2} u \ ponad \ częściowe r ^ {2}} + {\ częściowe ^ {2} u \ ponad \ częściowe z ^ {2}} = {1 \ ponad c ^ {2}} {\ częściowe ^ {2} u \ ponad \ częściowe t ^ {2}}}

Liczba c oznacza szybkość lub prędkość propagacji fali u.

W notacji analizy wektorowej, używając operatora Laplaciana Δ  :

Albo funkcja falowa.ψ≡u(x,y,z,t) {\ Displaystyle \ psi \ equiv u \ lewo (x, y, z, t \ prawej) \} Δψ = 1vs2∂2ψ∂t2{\ Displaystyle \ Delta \ psi \ = \ {1 \ ponad c ^ {2}} {\ częściowe ^ {2} \ psi \ ponad \ częściowe t ^ {2}}} Równanie falowe, postać ogólna

Fala  ψ{\ displaystyle ~ \ psi}		Część podłużna		Część poprzeczna		Rozpiętość		Rozpusta
Δψ{\ Displaystyle ~ \ Delta \ psi}	={\ displaystyle \ =}	grad→[div ψ]{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ textrm {grad}}} [{\ textrm {div}} \ \ psi]}	-{\ displaystyle \ -}	beknięcie→[beknięcie→ ψ]{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ textrm {rot}}} \ left [{\ overrightarrow {\ textrm {rot}}} \ \ psi \ right]}	={\ displaystyle \ =}	1vs2∂2ψ∂t2{\ Displaystyle {1 \ ponad c ^ {2}} {\ częściowe ^ {2} \ psi \ ponad \ częściowe t ^ {2}}}	+{\ displaystyle \ +}	1α∂ψ∂t{\ displaystyle {1 \ over \ alpha} {\ częściowe \ psi \ nad \ częściowe t}}

Zobacz także fala sejsmiczna , fala mechaniczna , Jego , fala na drgającej struny , stacjonarną fali w rurze , Maxwell równań

Równanie Fouriera

∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2=1α∂u∂t{\ Displaystyle {\ częściowe ^ {2} u \ ponad \ częściowe x ^ {2}} + {\ częściowe ^ {2} u \ ponad \ częściowe r ^ {2}} + {\ częściowe ^ {2} u \ ponad \ częściowe z ^ {2}} = {1 \ ponad \ alpha} {\ częściowe u \ ponad \ częściowe t}}

To PDE jest również nazywane równaniem ciepła . Funkcja u przedstawia temperaturę. Pochodna rzędu 1 względem czasu odzwierciedla nieodwracalność zjawiska. Liczba ta nazywana jest dyfuzyjnością cieplną ośrodka. α{\ displaystyle \ alpha}

W notacji analizy wektorowej, używając operatora Laplaciana Δ  :

To znaczy funkcja fali temperatury.ψ≡u(x,y,z,t) {\ Displaystyle \ psi \ equiv u \ lewo (x, y, z, t \ prawej) \} Δψ = 1α∂ψ∂t{\ Displaystyle \ Delta \ psi \ = \ {1 \ ponad \ alfa} {\ częściowe \ psi \ ponad \ częściowe t}}

Równanie Poissona

Używając operatora Laplaciana Δ  :

Niech będzie funkcją falową i gęstością ładunku.ψ(x,y,z) {\ Displaystyle \ psi \ lewo (x, y, z \ prawej) \}ρ(x,y,z,t){\ Displaystyle \ rho \ lewo (x, y, z, t \ prawej)} Δψ =-4πρ{\ Displaystyle \ Delta \ psi \ = -4 \ pi \ rho}

Równanie adwekcji

Jednowymiarowe równanie adwekcji przestrzeni i czasu opisuje transport ilości przez tempo adwekcjiu(x,t){\ Displaystyle u (x, t)}w{\ displaystyle a}

∂u∂t+w∂u∂x=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} + a {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe x}} = 0}

Ma do sporządzania roztworu do gdzie jest początkowy stan na . u(x,t)=η(x-wt){\ Displaystyle u (x, t) = \ eta (x-at)}t⩾0{\ displaystyle t \ geqslant 0}η(x){\ Displaystyle \ eta (x)}t=0{\ displaystyle t = 0}

Równanie adwekcji odgrywa fundamentalną rolę w badaniach metod numerycznej rozdzielczości metodą objętości skończonych hiperbolicznych układów praw zachowania, takich jak równania Eulera w dynamice płynów ściśliwych.

Równanie falowe Langmuira

Niech będzie funkcją falową i gęstością ładunku. ψ(x,y,z,t) {\ Displaystyle \ psi \ lewo (x, y, z, t \ prawej) \}ρ(x,y,z,t){\ Displaystyle \ rho \ lewo (x, y, z, t \ prawej)}

Δψ =1vs2.∂2ψ∂t2-ρϵ{\ Displaystyle \ Delta \ psi \ = {1 \ ponad c ^ {2}}. {\ częściowe ^ {2} \ psi \ ponad \ częściowe t ^ {2}} - {\ rho \ ponad \ epsilon}}

To równanie opisuje podłużne fale elektryczne rozchodzące się w plazmie .

Równanie Stokesa

Układ Stokesa, który opisuje przepływ nieściśliwego płynu Newtona w stanie ustalonym i niskiej liczbie Reynoldsa , jest napisany:

ηΔv→=solrwre→p-ρfa→{\ Displaystyle \ eta \ Delta {\ vec {v}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, p- \ rho {\ vec {f}}} rejavv→=0{\ displaystyle {\ rm {div}} \, {\ vec {v}} = 0} Oceny:

• v→(r→){\ displaystyle {\ vec {v}} ({\ vec {r}})} jest prędkością płynu;
• p(r→){\ Displaystyle p ({\ vec {r}})}to ciśnienie w płynie;
• ρ{\ displaystyle \ rho} jest gęstością płynu
• η{\ displaystyle \ eta}jest dynamiczną lepkością płynu;
• fa→{\ displaystyle {\ vec {f}}} jest siłą masową wywieraną na płyn (na przykład: grawitacja);
• solrwre→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}}, div i Δ są odpowiednio operatorami różniczkowymi: gradientem, dywergencją i Laplacianem.

 

Równanie Schrödingera

jaℏ∂ψ∂t =[-ℏ22mΔ+V]ψ{\ Displaystyle i \ hbar {\ częściowe \ psi \ ponad \ częściowe t} \ = \ lewo [- {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ Delta + V \ prawej] \ psi} Oceny:

• ψ(x,y,z,t){\ Displaystyle \ psi \ lewo (x, y, z, t \ prawej)}, funkcja falowa.
• ℏ {\ displaystyle \ hbar \} zredukowana stała Plancka .
• m jest masą cząstki.
• ja{\ displaystyle i}urojona liczba zespolona, ​​taka jak .ja2=-1{\ Displaystyle i ^ {2} = - 1}
• Operator potencjału V (reprezentuje potencjał w dowolnym punkcie), ogólnie elektryczny.
• Δ to Laplacian.

 

Równanie Kleina-Gordona

Albo funkcja falowa. ψ(x,y,z,t){\ Displaystyle \ psi \ lewo (x, y, z, t \ prawej)}

-ℏ2∂2ψ∂t2 =-ℏ2vs2Δψ+m2vs4ψ{\ Displaystyle - \ hbar ^ {2} {\ częściowe ^ {2} \ psi \ ponad \ częściowe t ^ {2}} \ = - \ hbar ^ {2} c ^ {2} \ Delta \ psi + m ^ {2} c ^ {4} \ psi} Oceny:

• ψ(x,y,z,t){\ Displaystyle \ psi \ lewo (x, y, z, t \ prawej)}, funkcja falowa.
• ℏ {\ displaystyle \ hbar \} zredukowana stała Plancka .
• m jest masą cząstki.
• jest to prędkość światła
• Δ to Laplacian.

 

Metody rozdzielczości

Podejście analityczne

• Metoda charakterystyk

Rozdzielczość cyfrowa

Najczęściej stosowanymi metodami numerycznymi do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych są:

• Metoda różnic skończonych
• Metoda elementów skończonych
• Metoda objętości skończonych
• Metoda charakterystyk

Uwagi i odniesienia

1. Stéphane Mottin , „Analitical solution of the Laplace equation with Robin conditions by apply Legendre transform”, Integral Transforms and Special Functions , tom. 27 ( n O  4), 2016, p.289-306. Czytaj online

Powiązane artykuły

• Twierdzenie Frobeniusa (geometria różniczkowa)
• Twierdzenie Cauchy'ego-Kowalewskiego
• Operator różniczkowy
• Operator pseudo-różniczkowy
• Transformata Laplace'a
• Podstawowa zasada Ehrenpreis

Bibliografia

• VI Arnold: Lessons on Partial Differential Equations , Cassini, 2016.
• Claire David , Pierre Gosselet: Równania różniczkowe cząstkowe - Kurs i ćwiczenia poprawione , wydanie 2. Dunod, 2015.
• Ahmed Lesfari, Równania różniczkowe zwyczajne i równania różniczkowe cząstkowe - Kurs i ćwiczenia poprawkowe . Wielokropki, 2015.
• Edward Goursat: lekcje integracji równań różniczkowych rzędu drugiego z dwóch niezależnych zmiennych, tom I . Hachette / BNF, 2014.
• Mourad Choulli, Analiza funkcjonalna - Równania różniczkowe cząstkowe - Kurs i ćwiczenia poprawkowe . Vuibert, 2013.
• Hervé Le Dret, Nieliniowe eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe . Springer, 2013.
• Lionel Roques: Modele reakcji i dyfuzji dla ekologii przestrzennej . Quae, 2013.
• Pierre Dreyfuss: Wprowadzenie do analizy równań Naviera-Stokesa . Wielokropki, 2012.
• Claude Wagschal: Rozkłady, analiza mikrolokalna, cząstkowe równania różniczkowe . Hermann, 2011.
• Claude Zuily: Problemy rozkładów i równań różniczkowych cząstkowych . Cassini, 2010.
• Bruno Després: Eulerian , Lagrangian Conservation Laws and Numerical Methods . Springer / SMAI, 2010.
• Jacques Hadamard: Problem Cauchy'ego i hiperboliczne liniowe równania różniczkowe cząstkowe . Jacques Gabay, 2008.
• Jean Dieudonné: Elementy analizy - Tom VIII - Liniowe równania funkcyjne, część druga, zagadnienia brzegowe . Jacques Gabay, 2008.
• Bruno Després, François Dubois: Hiperboliczne systemy praw zachowania . Politechnika, 2005.
• Jean Dieudonné: Elementy analizy - Tom VII - Liniowe równania funkcyjne - Część pierwsza: operatory pseudo-różniczkowe . Jacques Gabay, 2003.
• Claude Zuily: Elementy rozkładów i równań różniczkowych cząstkowych . Dunod, 2002.
• Jacques-Louis Lions: Niektóre metody rozwiązywania problemów z granicami nieliniowymi . Dunod, 2002 (przedruk tekstu z 1969 roku).
• Jean-Michel Rakotoson, Jean-Emile Rakotoson: Analiza funkcjonalna stosowana do równań różniczkowych cząstkowych . PUF, 1999.
• Denis Serre: Systemy praw zachowania. Ja, hiperboliczność, entropie, fale uderzeniowe . Redaktor Diderot, 1996.
• Denis Serre: Systemy praw zachowania. II, Struktury geometryczne, drgania i problemy mieszane . Redaktor Diderot, 1996.
• A. Martin: Ćwiczenia rozwiązane: równania różniczkowe cząstkowe . Dunod, 1991.
• H. Reinhard: Równania różniczkowe cząstkowe - wprowadzenie . Dunod, 1991.
• Camille Jordan: Kurs analizy, tom III, wydanie 3 . Jacques Gabay, 1991 (przedruk tekstu z 1915 r.).
• Robert Dautray, Jacques-Louis Lions: Analiza matematyczna i obliczenia numeryczne dla nauki i technologii . Masson, 1984.
• Jean Vaillant: Hiperboliczne i holomorficzne równania różniczkowe cząstkowe . Hermann, 1984.
• Jacques Chazarain, Alain Piriou: Wprowadzenie do teorii liniowych równań różniczkowych cząstkowych . Gauthier-Villars, 1981.
• Serge Colombo: Równania różniczkowe cząstkowe w fizyce i mechanice ośrodków ciągłych . Masson, 1976.
• OA Ladyženskaja, NN Ural'ceva: Równania różniczkowe cząstkowe typu eliptycznego . Dunod, 1968.
• J. Necas: Metody bezpośrednie w teorii równań eliptycznych . Masson, 1967.
• Édouard Goursat: Lekcje na temat całkowania równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu, wydanie 2 . Hermann, 1921.
• (en) Lars Hörmander , Analiza liniowych operatorów różniczkowych cząstkowych , Springer-Verlag, 1983-1985. Traktat referencyjny w czterech tomach, autorstwa odbiorcy Medalu Fieldsa z 1962 r. Tom I nosi podtytuł: Teoria dystrybucji i analiza Fouriera , a tom II: Operatory różniczkowe ze stałymi współczynnikami . Tomy III i IV poświęcone są nowoczesnej teorii za pośrednictwem operatorów pseudo-różniczkowych .
• (en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators , Springer-Verlag, 1963. Książka zawiera prace, za które autorowi przyznano Medal Fieldsa w 1962 roku.
• (w), Yu. V. Jegorow i MA Shubin  (w) , podstawy klasycznej teorii równań różniczkowych cząstkowych , Springer-Verlag, 2 th ed., 1998 ( ISBN  3-540-63825-3 ) . Pierwszy tom z dziewięcioczęściowej serii napisanej dla Encyclopaedia of Mathematical Sciences . Poniższe tomy poświęcone są nowoczesnej teorii za pomocą operatorów pseudo-różniczkowych.
• (en) Michael E. Taylor  (en) , Równania różniczkowe cząstkowe - teoria podstawowa , coll. "Tekstów Applied Mathematics" ( N °  23), Springer-Verlag, 2 th ed., 1999 ( ISBN  0-387-94654-3 ) . Pierwszy tom z serii, która obejmuje trzy. Poniższe tomy poświęcone są nowoczesnej teorii za pośrednictwem operatorów pseudo-różniczkowych.
• (en) Vladimir I. Arnold , Wykłady z równań różniczkowych cząstkowych , Springer-Verlag, 2004 ( ISBN  3-540-40448-1 ) .

Linki zewnętrzne

• A. Lesfari: Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych , kurs magisterski, 2014-2015