Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Do równania różniczkowe liniowej rzędu 1 są równania różniczkowe formularza

wy′+by=vs{\ displaystyle ay '+ by = c \,}

gdzie a , b i c są funkcjami, które będziemy przypuszczać jako ciągłe.

Te równania można rozwiązać metodami systematycznymi, wzywając do obliczania prymitywów . W pewnych szczególnych przypadkach, na przykład gdy c wynosi zero (mówi się wtedy o jednorodnych liniowych równaniach różniczkowych), można mieć nadzieję na uzyskanie jednoznacznych wyrażeń rozwiązań przy użyciu zwykłych funkcji.

Ściśle mówiąc, konieczne jest użycie nazwy liniowych skalarnych równań różniczkowych rzędu 1 , aby zaznaczyć, że nieznana funkcja y ma wartości rzeczywiste lub zespolone. Macierzowe równanie różniczkowe , z wektorami kolumnowymi Y i C oraz macierzami kwadratowymi A i B , jest w istocie również liniowym równaniem różniczkowym rzędu 1. To bardziej ogólne znaczenie jest analizowane w artykule „  Liniowe równanie różniczkowe  ”. WY′+bY=VS{\ displaystyle AY '+ BY = C}

Jednorodne liniowe równanie różniczkowe

Przy stałych współczynnikach

To są równania, które sprowadzają się do miejsca, w którym k jest liczbą rzeczywistą. Spotykamy się z tego typu równaniami: y′+ky=0{\ Displaystyle y '+ ky = 0}

• z dodatnim k w modelowaniu rozpadu promieniotwórczego w ośrodku jednorodnym i zamkniętym;
• z ujemnym k podczas modelowania wykładniczego wzrostu populacji. Jednak ten model ma swoje ograniczenia, ponieważ populacja nie może rosnąć w nieskończoność w zamkniętym środowisku. Preferujemy model Verhulsta lub model Gompertza .

Rozwiązaniem takiego równania są funkcje zdefiniowane na ℝ przez

fa(x)=VSmi-kx{\ displaystyle f (x) = Ce ^ {- kx}}

gdzie C jest rzeczywistą, której wartość jest określana, gdy tylko znane są warunki początkowe: jeśli dla mamy to . x0{\ displaystyle x_ {0}}fa(x0)=y0{\ displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0}}VS=y0mikx0{\ displaystyle C = y_ {0} e ^ {kx_ {0}}}

Możemy zobaczyć ten wynik jako szczególny przypadek z § poniżej lub zademonstrować go bezpośrednio .

Sprawa ogólna

W ogólnym przypadku zapisuje się jednorodne liniowe równanie różniczkowe

w(x)y′(x)+b(x)y(x)=0{\ Displaystyle a (x) y '(x) + b (x) y (x) = 0}

lub w skrócie:

wy′+by=0{\ displaystyle ay '+ by = 0}.

Pracując na przedziale I, w którym funkcja a nie znika, i przez notowanie

W{\ displaystyle A}prymityw funkcji ,bw{\ displaystyle {\ frac {b} {a}}}

rozwiązania na ja są funkcjami formy

y(x)=K.mi-W(x){\ Displaystyle y (x) = K \ operatorname {e} ^ {- A (x)}}

gdzie K jest stałą, której wartość jest określona przez dane z warunków początkowych.

Obliczenie funkcji pierwotnej A nie zawsze jest osiągalne przy użyciu zwykłych funkcji; rozwiązanie może zatem mieć tylko jedno wyrażenie w postaci integralnej.

To rozwiązanie równania jednorodnego z nie stałymi współczynnikami jest z kolei szczególnym przypadkiem poniższego § „Przypadek ogólny”.

Równanie różniczkowe liniowe z drugim składnikiem

Jeśli równanie różniczkowe zawiera drugi człon (jeśli c jest funkcją niezerowa), wystarczy, aby znaleźć się szczególne rozwiązanie równania je wszystkie. Rzeczywiście, rozwiązaniami równania różniczkowego są funkcje, w których g jest ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego. fa0{\ displaystyle f_ {0}}fa0+sol{\ displaystyle f_ {0} + g}

Często problemem jest określenie tego konkretnego rozwiązania.

Jeśli c jest sumą dwóch funkcji c 1 i c 2 , możemy poszukać konkretnego rozwiązania równania różniczkowego drugiego elementu c 1 , następnie konkretnego rozwiązania równania różniczkowego drugiego elementu c 2 , a następnie sumy tych dwóch konkretne rozwiązania. Otrzymujemy wtedy konkretne rozwiązanie równania początkowego.

Przypadek, w którym a , b i c są stałymi niezerowymi

Generalnie otrzymujemy równania tego typu . Te równania są używane do modelowania, na przykład, ładowania lub rozładowania kondensatora w obwodzie RC. y′=my+p{\ displaystyle y '= my + p}

Zbiór rozwiązań to funkcje f zdefiniowane na ℝ przez

fa(x)=VSmimx-pm{\ displaystyle f (x) = Ce ^ {mx} - {\ Frac {p} {m.}}}

gdzie C jest bytem rzeczywistym określonym przez dane z warunków początkowych, na przykład, co daje: fa(x0)=y0{\ displaystyle f (x_ {0}) = y_ {0}}

fa(x)=(y0+pm)mi-mx0mimx-pm.{\ Displaystyle f (x) = \ lewo (y_ {0} + {\ Frac {p} {m}} \ prawej) e ^ {- mx_ {0}} e ^ {mx} - {\ Frac {p} {m.}}.}

Przypadek, w którym i b są niezerowe stałe i c a wielomianowym funkcji lub trygonometrycznych

Będziemy wtedy szukać konkretnego rozwiązania formularza

• wielomianu stopnia n, jeśli c jest wielomianem stopnia n  ;
• liniowej kombinacji i jeślisałata⁡(ωx+ϕ){\ Displaystyle \ cos (\ omega x + \ phi)}grzech⁡(ωx+ϕ){\ Displaystyle \ sin (\ omega x + \ phi)}vs(x)=Wsałata⁡(ωx+ϕ)+bgrzech⁡(ωx+ϕ).{\ Displaystyle c (x) = A \ cos (\ omega x + \ phi) + B \ sin (\ omega x + \ phi).}

Sprawa ogólna

Metoda rozwiązywania równania z drugim elementem

wy′+by=vs{\ displaystyle ay '+ by = c}

jest metodą zmiennych stałych . Polega to na zredukowaniu, poprzez zmianę funkcji zmiennej, do problemu obliczenia funkcji pierwotnej.

W ten sposób stwierdzamy, ponownie zakładając, że funkcja a nie znika w przedziale I i tamto

W{\ displaystyle A}jest funkcją pierwotną na I funkcji ,bw{\ displaystyle {\ frac {b} {a}}}

że rozwiązanie funkcji ponad I od są funkcjami formie y{\ displaystyle y}wy′+by=vs{\ displaystyle ay '+ by = c}

y(x)=mi-W(x)b(x){\ Displaystyle y (x) = \ operatorname {e} ^ {- A (x)} B (x)},

gdzie jest dowolny element pierwotny funkcji . b{\ displaystyle B}vswmiW{\ Displaystyle {\ Frac {C} {a}} \ mathrm {e} ^ {A}}

Lub wreszcie, ustalając punkt  : x0∈ja{\ displaystyle x_ {0} \ in I}

y(x)=mi-W(x)(K.+∫x0xvs(s)w(s)miW(s) res){\ Displaystyle y (x) = \ operatorname {e} ^ {- A (x)} \ lewo (K + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ Frac {c (s)} {a (s)}} \ mathrm {e} ^ {A (s)} \ \ mathrm {d} s \ right)},

gdzie K jest znowu stałą określoną przez warunki początkowe.

Dlatego konieczne jest wykonanie drugiego obliczenia prymitywu, co może uniemożliwić wyrażenie rozwiązania przy użyciu zwykłych funkcji.

Uwaga

1. Zobacz na przykład „Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu ze zmiennymi współczynnikami” na Wikiversity .

Zobacz też

• Równanie różniczkowe liniowe rzędu 2

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">