Wektor ekscentryczności

Mimośród wektor jest ilość wprowadzona do mechaniki nieba w przypadku Keplerian ruchu , to znaczy od względnego ruchu dwóch gwiazd w newtonowskiej interakcji , system globalny rozważane jako izolowane. W tym przypadku orbity każdej z gwiazd są w barycentrycznej ramie z odniesieniem , elipsy z ekscentryczności zera . Mimośród wektor powszechnie zauważyć , jest to wektor z normą , współliniowymi z linii apsydami i stoi $\ vec {e}$ ${\ Displaystyle \ lVert {\ vec {e}} \ rVert = e}$ perycentrum (lub perycentrum).

Fizycznie ten wektor, który jest wielkością bezwymiarową, jest bezpośrednio powiązany z wektorem Runge-Lenza , który jest swoistą pierwszą całką problemu dwóch ciał w przypadku oddziaływania siły w (która pochodzi od potencjalnego Newtona ). Użycie pojęcia wektora ekscentryczności jest bardziej specyficzne dla mechaniki niebieskiej , a pojęcie wektora Runge-Lenza jest bardziej ogólne. $1 / r ^ 2$

Wyrażenie wektora mimośrodu

Przypomnienie o właściwościach ruchu dwóch ciał

W ogólnym badaniu problemu z dwoma ciałami o masach m 1 i m 2 można wykazać:

że ze względu na zachowanie pędu układu globalnego istnieje separacja między ruchem (prostoliniowym i jednostajnym) środka bezwładności układu globalnego dwóch ciał o masie całkowitej M w odniesieniu do danego układu Galileusza odniesienie, oraz fikcyjna cząstka masy (o której mówi się, że jest zredukowana ) , w barycentrycznym układzie odniesienia, poddana sile interakcji między dwoma ciałami. „Prawdziwe” trajektorie tego ostatniego są wyprowadzane z trajektorii fikcyjnej cząstki przez homotety (por. Problem z dwoma ciałami ). ${\ displaystyle \ mu = {\ Frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$
Że ze względu na centralną postać w życie , na które jest narażony, jest konserwacja pędu w fikcyjnej cząstki, co oznacza, że jego trajektoria jest samolot. Możliwe jest więc użycie współrzędnych cylindryczno-biegunowych do opisania ruchu fikcyjnej cząstki, dla której zapisano moment pędu . ${\ displaystyle {\ vec {l}} = {\ vec {r}} \ wedge (\ mu {\ kropka {\ vec {r}}}}$ ${\ displaystyle ((r, \ theta)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {L}} = \ mu r ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {z}}$

Demonstracja wektora mimośrodu

W bardzo ważnym przypadku astronomii, w którym występuje siła oddziaływania , równanie ruchu fikcyjnej cząstki przyjmuje postać: $1 / r ^ 2$

{\ displaystyle \ mu {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ frac {GM \ mu} {r ^ {2}}} {\ vec {e}} _ {r}}

Dlatego biorąc pod uwagę , że chodzi o: ${\ displaystyle {\ vec {L}} = {\ overrightarrow {cte}}}$

{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} \ wedge {\ vec {l}} = {\ frac {d} {dt}} \ lewo ({\ kropka {\ vec {r}}} \ klin {\ vec {L}} \ right) = - {\ frac {GM} {r ^ {2}}} {\ vec {e}} _ {r} \ wedge {\ vec {L}} = - {\ frac {GM \ mu} {r ^ {2}}} {\ dot {\ theta}} r ^ {2} {\ vec {e}} _ {r} \ wedge {\ vec {e}} _ {z } = GM \ mu {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}

Ale ponieważ jest to natychmiastowe przez przegrupowanie: ${\ displaystyle {\ dot {{\ vec {e}} _ {r}}} = {\ dot {\ theta}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ left ({\ Frac {{\ dot {\ vec {r}}} \ wedge {\ vec {L}}} {GM \ mu}} - {\ vec {e}} _ {r} \ right) = {\ vec {0}}}

W konsekwencji bezwymiarowa wielkość wektorowa, zwana wektorem mimośrodu , jest całką pierwszą ruchu dwóch ciał w jedynym przypadku potencjału Newtona:

\ vec {e} = \ frac {\ dot {\ vec {r}} \ wedge \ vec {L}} {GM \ mu} - \ vec {e} _r

Jest więc możliwe, aby jako źródło kąta polarnego θ kierunkiem i pokazać poprzez ustalenie , że , gdzie . W konsekwencji równanie trajektorii fikcyjnej cząstki jest równaniem stożka mimośrodu e (stąd nazwa wektora ) i parametru p , równego minimalnej odległości zbliżania się środka siły, która zajmuje jedno z ognisk tego stożkowy. $\ vec {e}$ $e = \ | \ vec {e} \ |$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {e}} = re \ cos {\ theta} = pr}$ ${\ Displaystyle p = {\ Frac {L ^ {2}} {GM \ mu ^ {2}}}}$ $\ vec {e}$

Relacja z wektorem Runge-Lenza

Wektor mimośrodowości jest z definicji bardzo zbliżony do tak zwanego wektora Runge-Lenza zdefiniowanego przez:

{\ displaystyle {\ vec {A}} = {\ vec {p}} \ wedge {\ vec {l}} - k \ mu {\ vec {e}} _ {r}}

, gdzie jest pęd cząstki fikcyjnej, konwencjonalnie wprowadzony w badaniu problemu dwóch ciał w szczególnym przypadku potencjału Newtona formy , z oddziaływaniem grawitacyjnym.

{\ displaystyle {\ vec {p}} = \ mu {\ kropka {\ vec {r}}}}

{\ Displaystyle V (r) = - {\ Frac {k} {r}}}

{\ displaystyle k = GM}

Łatwo to zauważyć , ponieważ zastosowanie wektora mimośrodowości jest raczej specyficzne dla astronomii, podczas gdy wektor Runge-Lenza dotyczy mechaniki ogólnej. ${\ displaystyle {\ vec {A}} = k \ mu {\ vec {e}} = GM \ mu {\ vec {e}}}$

Należy zauważyć, że istnienie tej dodatkowej pierwszej całki, specyficznej dla przypadku potencjału Newtona, powoduje, że połączony ruch, czyli eliptyczny, odbywa się po zamkniętej trajektorii. W ogólnym badaniu problemu dwóch ciał jest to fałszywe dla jakiegokolwiek potencjału centralnego , a faktycznie twierdzenie Bertranda pozwala ustalić, że tylko przypadki potencjału Newtona i potencjału harmonicznego ( dają początek zamkniętym trajektoriom). $V (r)$ ${\ Displaystyle V (r) = \ alfa r ^ {2}}$

Zgodnie z twierdzeniem Noether , z każdą ciągłą symetrią układu związana jest całka pierwsza ruchu. Tak więc zachowanie całkowitego pędu układu jest związane z niezmiennością przez przestrzenne przesunięcie Lagrangianu układu, z zachowaniem momentu pędu z jego niezmiennością przez obrót oraz energii z niezmiennością przez przesunięcie w czasie. Istnienie dodatkowej całki pierwszej z ruchu w przypadku Newtona jest samo w sobie odzwierciedleniem dodatkowej symetrii, którą można poprawnie zinterpretować tylko w czterech wymiarach.

Uwagi i odniesienia

Uwagi

Konkretnie, interakcje z innymi ciałami niebieskimi są uważane za nieistotne. Zazwyczaj rozważana sytuacja dotyczy „dużej” gwiazdy ( Słońce , Ziemia , bardziej ogólnie gwiazda , planeta itp.) Oddziałującej z „małą” gwiazdą (planetą, satelitą itp.), Której ruch chcemy określić przez w porównaniu do pierwszego.
W ogólnym przypadku są to stożki , elipsy, parabola lub hiperbola, rozważany jest tylko przypadek ruchu skończonego.
Ten układ odniesienia, który z definicji jest związany ze środkiem masy i ruchem translacyjnym w odniesieniu do układu odniesienia Galileusza, jest również Galileuszem, ze względu na prostoliniowy i jednolity ruch systemu globalnego, por. Zasada bezwładności .
Fizycznie, to prawo siły obowiązuje dla ciał przypuszczalnie punktowych lub o symetrii sferycznej. Ściśle mówiąc, jest to przybliżenie, ponieważ gwiazdy nie są dokładnie sferycznie symetryczne. W ten sposób każdy jest raczej elipsoida spłaszczenie obrót rzędu 1/298 TH , którego potencjał jest dokładnie kulisty (por pola grawitacyjnego ). W przypadku asteroidy, zwykle o kształcie niesferycznym, potencjał bliskiego zasięgu może być silnie nienewtonowski.
Należy sprecyzować, że dla dowolnego potencjału centralnego zawsze istnieje możliwość trajektorii kołowej, jeśli energia mechaniczna układu, która również jest zachowana, wynosi zero.

Bibliografia

Patrz Luc Duriez, Kurs klasycznej mechaniki niebieskiej , University Lille-I / IMCCE, 2002 dostępny w Internecie.
Patrz na przykład Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. i John L. Safko, Classical Mechanics [ szczegóły wydań ] w tym temacie.
Por. W szczególności Lev Landau i Evgueni Lifchits , Theoretical Physics , t. 1: Mechanika [ szczegóły wydań ] W tym punkcie.

Bibliografia

Prace ogólne:
- Perez, fizyka kursy: mechaniczne - 4 th Edition, Masson, Paryż, 2001.
- Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. i John L. Safko, Classical Mechanics [ szczegóły wydań ].
- Lev Landau i Evgueni Lifchits , Fizyka teoretyczna , t. 1: Mechanika [ szczegóły wydań ].

Książki specyficzne dla astronomii:
- Dumoulin and Parisot, Practical Astronomy and Computer Science , Masson, Paryż, 1987.
- Luc Duriez, Kurs klasycznej mechaniki niebieskiej , University Lille-I / IMCCE, 2002, bardzo kompletny, dostępny pod następującym adresem w formacie pdf: http://www.imcce.fr/fr/formations/cours/CoursMC_Duriez/mc/ CoursMCecr_Duriez. pdf .

Zobacz też

Powiązane artykuły

Link zewnętrzny

Demonstracja praw Keplera i właściwości elipsy , kurs mechaniki Bernarda Gisina (własna strona internetowa)