Poynting wektor

Poynting wektor Iloczyn krzyżowy pola elektrycznego V przez pole magnetyczne B. Kluczowe dane

Jednostki SI	wat na metr kwadratowy ( W m -2 )
Wymiar	M · T  -3
Natura	Rozmiar Vector intensywny
Zwykły symbol	S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}, , LubΠ→{\ Displaystyle {\ vec {\ Pi}}}R→{\ displaystyle {\ vec {R}}}NIE→{\ styl wyświetlania {\ vec {N}}}
Link do innych rozmiarów	Π→{\ Displaystyle {\ vec {\ Pi}}} = 1μ0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ mu _ {0}}}} mi→{\ displaystyle {\ vec {E}}} ∧{\ styl wyświetlania \ klin}b→{\ displaystyle {\ vec {B}}} Π→{\ Displaystyle {\ vec {\ Pi}}} ⋅ reS→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {d} S}}} =re{\ styl wyświetlania = \ matematyka {d}}Φmi{\ styl wyświetlania \ Phi _ {\ matematyka {e}}}

W fizyce The Poyntinga wektor jest strumień gęstości podobne do rozmnażania z fal elektromagnetycznych . Jej kierunek jest kierunkiem propagacji. Zauważ, że , , lub . Π→{\ Displaystyle {\ vec {\ Pi}}}S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}R→{\ displaystyle {\ vec {R}}}NIE→{\ styl wyświetlania {\ vec {N}}}

Strumień wektora Poyntinga przez powierzchnię (zamkniętą lub nie) jest równy mocy przenoszonej przez falę przez tę powierzchnię. Moduł tego wektora jest w ten sposób moc na jednostkę obszaru , to znaczy gęstość przepływu od energii  ; jest jednorodna o energicznym oświetlenia i energicznym exitance  ; a w międzynarodowym układzie jednostek (SI) wyraża się w watach na metr kwadratowy .

Ogólna ekspresja wektora Poyntinga

Niech i być pole elektryczne i pole magnetyczne . Zachowanie energii elektromagnetycznej na powierzchni jest wyrażone w postaci lokalnej (często nazywanej twierdzeniem Poyntinga ) jako równanie zachowania  : mi→{\ displaystyle {\ vec {E}}}b→{\ displaystyle {\ vec {B}}}

∂mi(t)∂t+∇→⋅Π→(t)=s(t){\ displaystyle {\ frac {\ częściowe e (t)} {\ częściowe t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ pi}} (t) = s (t)}

z czasem gęstość energii objętościowej pola elektromagnetycznego, strumień wychodzący z energii powierzchniowej oraz termin źródło: gęstość objętościowa energii uzyskanej lub utraconej. t{\ styl wyświetlania t}mi{\ styl wyświetlania e}Π→{\ Displaystyle {\ vec {\ Pi}}}s{\ style wyświetlania}s>0{\ styl wyświetlania s> 0}

Z równań Maxwella w próżni wyprowadzamy wyrażenie na wektor Poyntinga w próżni:

Π→(t)=mi→(t)∧b→(t)μ0{\ displaystyle {\ vec {\ pi}} (t) = {\ frac {{\ vec {E}} (t) \ klin {\ vec {B}} (t)} {\ mu _ {0}} }}

gdzie μ 0 jest przepuszczalnością próżni .

W materiale liniowym , o przenikalności magnetycznej μ iw którym można pominąć dyspersję i straty , wskazane jest uwzględnienie wzbudzenia magnetycznego określonego zależnością . Otrzymujemy wtedy bardziej ogólne wyrażenie wektora Poyntinga: H→(t){\ displaystyle {\ vec {H}} (t)}b→(t)=μH→(t){\ displaystyle {\ vec {B}} (t) = \ mu \, {\ vec {H}} (t)}

Π→(t)=mi→(t)∧H→(t){\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ vec {E}} (t) \ klin {\ vec {H}} (t)}.

W stratnym, dyspersyjnym medium liniowym ekspresja wektora Poyntinga jest zachowana , ale twierdzenie Poyntinga nie jest już wyrażane i zawiera dodatkowe warunki rozpraszania. Π→=mi→∧H→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} = {\ vec {E}} \ klin {\ vec {H}}}mi{\ styl wyświetlania e}

Średnia czasu w notacji złożonej

W przypadku fali elektromagnetycznej harmonicznej progresywnej płaszczyzny mamy

mi→=mi→0sałata⁡(ωt-φ){\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ vec {E}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ varphi)}}

i

b→=b→0sałata⁡(ωt-ψ){\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {B}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ psi)}}

Jeden sposób można powiązać wielkości złożonych z polami i zadając (z tej liczby zespolonej , takiego jak ) mi→{\ displaystyle {\ vec {E}}}b→{\ displaystyle {\ vec {B}}}ja{\ styl wyświetlania i}ja2=-1{\ styl wyświetlania i ^ {2} = - 1}

mi→_=mi→_0mijaωt=mi→0mi-jaφmijaωt{\ displaystyle {\ podkreślenie {\ vec {E}}} = {\ podkreślenie {\ vec {E}}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {E }} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ varphi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}

i

b→_=b→_0mijaωt=b→0mi-jaψmijaωt{\ displaystyle {\ podkreślenie {\ vec {B}}} = {\ podkreślenie {\ vec {B}}} _ {0} \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {B}} _ {0} \, \ mathm {e} ^ {- i \ psi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}.

Średnia czasowa wektora Poyntinga jest wtedy warta:

⟨Π→⟩=12μ0Re(mi→_∧b→_⋆){\ displaystyle \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle = {\ frac {1} {2 \, \ mu _ {0}}} \; {\ tekst {Re}} \ lewo ({\ podkreślenie { \ vec {E}}} \ klin {\ podkreślenie {\ vec {B}}} ^ {\ gwiazda} \ po prawej)}

gdzie oznacza sprzężoną zb→_⋆{\ displaystyle {\ podkreślenie {\ vec {B}}} ^ {\ gwiazda}}b→_{\ styl wyświetlania {\ podkreślenie {\ vec {B}}}}

Związek z podejściem energetycznym propagacji wiązki

Średnia czasowa strumienia Poyntinga jest związana z luminancją wiązki rozchodzącej się w kierunku . Ta luminancja jest wyrażona przez: L(Ω){\ styl wyświetlania L (\ Omega)}Ω0=Π→||Π→||{\ displaystyle \ Omega _ {0} = {\ frac {\ vec {\ pi}} {|| {\ vec {\ pi}} ||}}}

L(Ω)=⟨Π→⟩δ(Ω-Ω0){\ displaystyle L (\ Omega) = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle \ delta (\ Omega - \ Omega _ {0})}

gdzie jest funkcja Diraca . δ{\ styl wyświetlania \ delta}

Sprawdzamy, że pierwszy moment, od którego reprezentuje gęstość strumienia znajdzie Poyntinga flux: L(Ω){\ styl wyświetlania L (\ Omega)}fa→{\ displaystyle {\ vec {f}}}

fa→=∫S2ΩL(Ω)reΩ=⟨Π→⟩{\ displaystyle {\ vec {f}} = \ int _ {S ^ {2}} \ Omega L (\ Omega) \ mathrm {d} \ Omega = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle}

Moc elektromagnetyczna przechodząca przez powierzchnię

Konsekwencją twierdzenia Poyntinga jest to, że moc elektromagnetyczna przechodząca przez powierzchnię S jest dana przez strumień wektora Poyntinga przez tę powierzchnię.

PS=∬SΠ→⋅reS→{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {S} = \ iint _ {S} {\ vec {\ Pi}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}}}

Równanie energii pola elektromagnetycznego

Niech energia pola elektromagnetycznego będzie: Umimi{\ displaystyle U_ {em}}

Umimi=∭VWmimireτ{\ displaystyle U_ {em} = \ iiint _ {V} W_ {em} \ matematyka {d} \ tau}o gęstości objętościowej energii W (ilość energii na jednostkę objętości)

Definiujemy ilość energii opuszczającej objętość przez pewien czas  : V{\ styl wyświetlania V}ret{\ styl wyświetlania \ matematyka {d} t}

-reUmimiret=-reret∭VWmimireτ=-∭V∂Wmimi∂treτ{\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} U_ {em}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ iiint _ {W} W_ {em} \ mathm {d} \ tau = - \ iiint _ {V} {\ frac {\ częściowy W_ {em}} {\ częściowy t}} \ mathm {d} \ tau}

Niech , będzie wektorem strumienia energii pola. Zgodnie z twierdzeniem Greena-Ostrogradskiego ( twierdzenie o rozbieżności przepływu ) możemy powiedzieć, że przepływ opuszczający objętość V wynosi: P→{\ displaystyle {\ vec {P}}}

∬ΣP→⋅nie→ reσ{\ displaystyle \ iint _ {\ Sigma} {\ vec {P}} \ cdot {\ vec {n}} \ \ mathrm {d} \ sigma}z wektorem jednostkowym normalnym do powierzchni objętości V, zorientowanym od wewnątrz na zewnątrz. nie→{\ displaystyle {\ vec {n}}}Σ{\ styl wyświetlania \ Sigma}

Straty energii w objętości można wytłumaczyć w następujący sposób:

• straty spowodowane "tarciem" obciążeń ruchomych (patrz lokalne prawo Ohma, efekt Joule'a);
• straty spowodowane promieniowaniem elektromagnetycznym opuszczającym objętość.

Możemy zatem powiedzieć, że:

-∭V∂Wmimi∂treτ=∭V∇→⋅P→reτ{\ displaystyle - \ iiint _ {V} {\ frac {\ częściowy W_ {em}} {\ częściowy t}} \ mathrm {d} \ tau = \ iiint _ {V} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} \ matematyka {d} \ tau}+ praca dostarczona przez pole do materiału

Obliczmy tę pracę:

fa→mi´jamivstrjaqtymi=q(mi→+v→∧b→){\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ rm {{\ ostre {e}} elektryczne}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ klin {\ vec {B }})}.

Dla cząstki:

reW→=fa→⋅rer→=qmi→⋅rer→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {W}} = {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = q {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}} (łatwo zaobserwować, że siła magnetyczna nie działa).

Przejdźmy do zasilania dostarczanego przez pole. Moc odbierana przez cząstkę to:

fa→⋅v→=qmi→⋅v→{\ displaystyle {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}} = q \, {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}}

Odnotowuje się gęstość cząstek , dlatego: NIE{\ styl wyświetlania N}

∂Wmijamivstrjaqtymi∂t=NIEqmi→⋅v→{\ displaystyle {\ frac {\ częściowy W_ {elektryczny}} {\ częściowy t}} = Nq {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}} złoto NIEqv→=jot→{\ displaystyle Nq {\ vec {v}} = {\ vec {j}}}

w związku z tym ∂Wmijamivstrjaqtymi∂t=jot→⋅mi→{\ displaystyle {\ frac {\ częściowy W_ {elektryczny}} {\ częściowy t}} = {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}}}

Ta utrata mocy jest równa utracie energii pola na jednostkę czasu i objętości, więc w końcu piszemy:

-∭V∂Wmimi∂treτ=∭V∇→⋅P→reτ+∭Vjot→⋅mi→reτ{\ displaystyle - \ iiint _ {V} {\ frac {\ częściowy W_ {em}} {\ częściowy t}} d \ tau = \ iiint _ {V} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} \ mathm {d} \ tau + \ iiint _ {V} {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}} \ mathrm {d} \ tau}

Więc w końcu mamy:

-∂Wmimi∂t=∇→⋅P→+jot→⋅mi→{\ displaystyle - {\ frac {\ częściowy W_ {em}} {\ częściowy t}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} + {\ vec {j}} \ cdot { \ vec {E}}} równanie energii pola elektromagnetycznego

Uwagi i referencje

1. Dubesset 2000 , sv wat na metr kwadratowy, s.  124.
2. Dubesset 2000 , irradiancja sv , s.  60.
3. Dubesset 2000 , sv ekwistancja energii, s.  64.
4. Dubesset 2000 , sv wektor Poyntinga, s.  121.
5. (w) John David Jackson, Elektrodynamika klasyczna 3. wydanie , John Wiley & Sons ,1999, strona 259
6. Elektrodynamika klasyczna 3. wydanie, JD Jackson, str. 264 (str. 275-277 w wydaniu francuskim)

Zobacz również

Bibliografia

• [Poynting 1884] (en) John Henry Poynting , „  O przekazywaniu energii w polu elektromagnetycznym  ” , Philos. Przeł. R. Soc. , tom.  175,grudzień 1884, art.  n O  XV , str.  343-361 ( OCLC  6067266495 , DOI  10.1098/rstl.1884.0016 , JSTOR  109449 , Bibcode  1884RSPT..175..343P , streszczenie , czytaj online [PDF] ) - art.  otrzymana w dniu17 grudnia 1883 i przeczytaj to Jan 10, 1884.
• [Dubesset 2000] Michel Dubesset ( pref.  Gérarda Grau), Podręcznik Międzynarodowego Układu Jednostek: leksykon i konwersje , Paryż, Technip, coll.  "Publikacje Francuskiego Instytutu Naftowego  ",wrz 2000, 1 st  ed. , 1  tom. , XX -169  s. , chory. , ryc. i tabl. , 15 × 22  cm , br. ( ISBN  2-7108-0762-9 , EAN  9782710807629 , OCLC  300462332 , zawiadomienie BNF n o  FRBNF37624276 , SUDOC  052448177 , prezentacji online , czytać on-line ) , sv wektor de Poyntinga, str.  121.

Powiązane artykuły

• Twierdzenie Poyntinga

Linki zewnętrzne

• [OI] (in) "  wektorem Poyntinga  " [ "wektor Poyntinga"] wzorcowe n o  20110803100341357 w Indeksie Oxford (OI) w bazie danych Oxford Reference z Oxford University Press (OUP) .
• Ewidencja organów  :
  • Gemeinsame Normdatei
• Uwaga w słowniku lub ogólnej encyklopedii  : Encyclopædia Britannica