System współrzędnych

W matematyce , A układu współrzędnych pozwala dopasować każdy punkt w jego N- wymiarowej przestrzeni z jedną (i jedynym) N-krotnego w skalarnych . W wielu przypadkach rozważanymi skalarami są liczby rzeczywiste , ale możliwe jest użycie liczb zespolonych lub elementów dowolnego pola przemiennego . Mówiąc bardziej ogólnie, współrzędne mogą pochodzić z pierścienia lub innej powiązanej struktury algebraicznej .

Uważa się, że przestrzeń istnieje sama w sobie, niezależnie od wyboru konkretnego układu współrzędnych.

Przykłady

Najczęstszym przypadkiem jest pojęcie współrzędnych w geometrii , patrz artykuł Lokalizowanie w płaszczyźnie iw przestrzeni  : wybieramy punkt odniesienia zwany „początkiem” i trzy „osie” („linijki stopniowane”) o różnych kierunkach, które są nie w tej samej płaszczyźnie (w płaszczyźnie wystarczą dwa kierunki). Współrzędne tego punktu nazywane są „odciętymi”, „rzędnymi” i „wymiarami” i są oznaczone odpowiednio jako x , y i z . Zobacz także artykuł Geometria analityczna .

W geografii , długości geograficznej i szerokości geograficznej są związane z położeń geograficznych; jest to układ współrzędnych. W tym przypadku parametryzacja nie jest unikalna dla biegunów północnego i południowego.

Układ współrzędnych, na przykład opisujący punkt P w przestrzeni euklidesowej przez n- krotność: Rnie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

 P.=(r1,...,rnie){\ Displaystyle \ P = (r_ {1}, ..., r_ {n})}

 r1,...,rnie{\ displaystyle \ r_ {1}, ..., r_ {n}}są liczbami rzeczywistymi zwane współrzędne z punktu P .

Jeżeli podzbiór S w przestrzeni euklidesowej nakłada się tak dalej do innego miejsca topologicznej , określa współrzędne obrazu S . Można mówić o parametryzacji obrazu, ponieważ proces ten przypisuje punkty do liczb. Korespondencja jest wyjątkowa tylko wtedy, gdy wniosek jest bijektywny .

Transformacje

Przekształcenie współrzędnych jest konwersja z jednego do drugiego systemu do opisania tego samego miejsca.

Pewne wybory układu współrzędnych mogą prowadzić do paradoksów , na przykład w pobliżu czarnej dziury , które można rozwiązać, zmieniając układ. Nie jest to jednak możliwe w prawdziwej matematycznej osobliwości .

Wspólne systemy

Niektóre powszechnie używane układy współrzędnych:

• kartezjańskiego układu współrzędnych używany w przestrzeni wektorowej lub afinicznej przestrzeni skończonych wymiarach.
• dla dowolnej skończonej wymiarowej przestrzeni wektorowej i dowolnej bazy współczynniki wektorów wyrażone w tej bazie mogą być użyte jako współrzędne. Zmiana bazy to transformacja współrzędnych, transformacja liniowa, którą można zdefiniować za pomocą macierzy .
• układ współrzędnych krzywoliniowych to uogólnienie na podstawie przecięć krzywych.
• biegunowe układy współrzędnych  :
  • cylindryczny układ
  współrzędnych przedstawia punkt w przestrzeni pod kątem , odległością od początku i wysokością.
• układ sferycznych współrzędnych oznacza punkt w przestrzeni przez dwa kąty a odległość od początku. Z tego pochodzi układ współrzędnych geograficznych .

uogólnione układy współrzędnych są używane w mechanice Lagrange'a .

Systemy stosowane w astronomii

Astronomia korzysta z kilku układów współrzędnych zauważyć kierunek niebiańskiego obiektu:

• niebieskie układy współrzędnych  :
  • układ współrzędnych poziomych, współrzędne lokalne związane z danym punktem na Ziemi  ;
  • godzinowy układ współrzędnych , określony na podstawie ziemskiej płaszczyzny równikowej i kierunku lokalnej północy geograficznej;
  • układ współrzędnych równikowych , określonych z ziemskiej płaszczyzny równikowej oraz z punktu γ (kierunek odpowiadający przejściu deklinacji Słońca z wartości ujemnej do dodatniej);
  • ekliptyka układ współrzędnych , określony na podstawie płaszczyzny obrotu Ziemi wokół Słońca; system ten może być geocentryczny lub heliocentryczny (ten drugi wybór umożliwia określenie współrzędnych niepodlegających precesji );
  • galaktyczny układ współrzędnych , wyznaczony z płaszczyzny fundamentalnej, wybranej raz na zawsze i znajdującej się w pobliżu płaszczyzny symetrii naszej Galaktyki (zawartej w dysku, w którym znajduje się Słońce); współrzędne te nie podlegają świeckiej precesji z powodu przemieszczenia Układu Słonecznego (około 250  km / s ) w obrębie naszej Galaktyki;
• pozagalaktyczne układy współrzędnych:
  • układ współrzędnych supergalaktycznych , opartą na płaszczyźnie lokalnej supergromady z galaktyk

Inny

W ogólnej teorii względności pewne układy współrzędnych są wybierane w celu uproszczenia obliczeń.

• Harmoniczny układ współrzędnych reprezentuje układ współrzędnych, który, postrzegany jako pola wektorowe, ma zerowy Laplacian .
• Mówiąc bardziej ogólnie, układ współrzędnych jest zasadniczo arbitralny w ogólnej teorii względności, a struktura równań nie zależy od wyboru współrzędnych. Jednak gdy nadchodzi faza rozwiązywania równań pola grawitacyjnego, niektóre układy współrzędnych okazują się wygodniejsze od innych lub pozwalają na prostą fizyczną interpretację otrzymanych wyników. Klasy układów współrzędnych, które mają taką a taką właściwość, nazywane są miernikiem. W dziedzinie teorii zaburzeń kosmologicznych wybór takiego miernika może mieć zalety.

Powiązane artykuły

• Układ współrzędnych (mapowanie)

Zobacz też