Zero funkcji holomorficznej

W skomplikowanej analizy , wzywamy do zera o funkcji holomorficznej liczba zespolona takie, że . fa{\ displaystyle f} w{\ displaystyle a}fa(w)=0{\ displaystyle f (a) = 0}

Rząd krotności izolowanego zera

W sekcji tej, oznaczają otwartym Zestaw z ℂ, a holomorficzna funkcję i (element ) ± zero . U{\ displaystyle U}fa:U→VS{\ displaystyle \ scriptstyle f: U \ to \ mathbb {C}}w{\ displaystyle a}U{\ displaystyle U}fa{\ displaystyle f}

Istnieje otwarty dysk zawarty w miejscu, w którym rozwija się w całym szeregu (o promieniu zbieżności co najmniej równym ): re(w,r){\ Displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}U{\ displaystyle U}fa{\ displaystyle f}r{\ displaystyle r}

∀z∈re(w,r),fa(z)=∑k=1+∞αk(z-w)k{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = \ suma _ {k = 1} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {k} \, (za) ^ {k}}(stały składnik to, a pozostałe współczynniki to ).α0=fa(w)=0{\ displaystyle \ alpha _ {0} = f (a) = 0}αk=fa(k)(w)/k!{\ Displaystyle \ alpha _ {k} = f ^ {(k)} (a) / k!}

Definicja  -  jest izolowana zerowy od jeśli jest to punkt izolowany ze zbioru zer , czyli jeśli w tarczy dostatecznie małym centrum i promieniu, to jedyny punkt, w którym znika. w{\ displaystyle a}fa{\ displaystyle f}fa{\ displaystyle f}w{\ displaystyle a}w{\ displaystyle a}fa{\ displaystyle f}

Możliwe są (tylko) dwa przypadki:

• Jeśli dla dowolnej liczby całkowitej , tok>0{\ displaystyle k> 0}αk=0{\ displaystyle \ alpha _ {k} = 0}

∀z∈re(w,r),fa(z)=0{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = 0} : jest identycznie zerowe  ; jest zatem w tym przypadku nieizolowanym zerem  ;fa{\ displaystyle f}re(w,r){\ Displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}w{\ displaystyle a}

• W przeciwnym razie niech indeks pierwszego niezerowego współczynnika całego szeregu ( i ): możemy pisaćnie{\ displaystyle n}nie≥1{\ displaystyle \ scriptstyle n \ geq 1}αnie≠0{\ displaystyle \ scriptstyle \ alpha _ {n} \ neq 0}

∀z∈re(w,r),fa(z)=∑k=nie+∞αk(z-w)k=(z-w)niesol(z),{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = \ suma _ {k = n} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {k} \, (za) ^ {k} = (za) ^ {n} \, g (z),} gdzie jest zdefiniowany przez:sol:re(w,r)→VS{\ Displaystyle \ scriptstyle g \ ,: \, \ mathrm {D} (a, \, r) \ \, \ do \ \ mathbb {C}} ∀z∈re(w,r),sol(z)=∑ℓ=0+∞αℓ+nie(z-w)ℓ.{\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, g (z) = \ suma _ {\ ell = 0} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {\ ell + n} \, (za) ^ {\ ell}.} Ta funkcja jest analityczna i jest różna od zera.sol{\ displaystyle g}sol(w)=αnie{\ Displaystyle g (a) = \ alfa _ {n}} Przez ciągłość z IN , istnieje ściśle dodatnie realne takie, które nie znoszą się na .sol{\ displaystyle g}w{\ displaystyle a}r1<r{\ displaystyle r_ {1} <r}sol{\ displaystyle g}re(w,r1){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r_ {1})} Wreszcie, dla każdego elementu z  :z{\ displaystyle z}re(w,r1){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r_ {1})} fa(z)=(z-w)niesol(z)isol(z)≠0.{\ Displaystyle f (z) = (za) ^ {n} g (z) \ quad {\ tekst {i}} \ quad g (z) \ neq 0.} Wnioskujemy, że jest to jedyny punkt, w którym jest anulowany; jest zatem w tym przypadku izolowanym zerem .w{\ displaystyle a}re(w,r1){\ displaystyle \ mathrm {D} (a, r_ {1})}fa{\ displaystyle f}w{\ displaystyle a}

Możemy to podsumować następującą definicją i twierdzeniem.

Definicja

Celu wielości (lub wielokrotność ) wyodrębniany zerowej od jest unikalny całkowitą takie, że: w{\ displaystyle a}fa{\ displaystyle f}nie>0{\ displaystyle n> 0}

• dla wszystkich naturalnych ,k<nie{\ Displaystyle k <n}fa(k)(w)=0 {\ Displaystyle f ^ {(k)} (a) = 0 ~}

i

• fa(nie)(w)≠0.{\ Displaystyle f ^ {(n)} (a) \ neq 0.}

Kiedy mówimy, że jest to proste zero. nie=1{\ displaystyle n = 1}w{\ displaystyle a}

Twierdzenie

• w{\ displaystyle a}jest wyodrębniany rzędu zerowego , aby (i jeśli) tylko wtedy, gdy istnieje holomorficzny funkcja zdefiniowane w otwartym płyty zawiera , na przykład: nie{\ displaystyle n}fa{\ displaystyle f}sol{\ displaystyle g}re(w,r){\ Displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}U{\ displaystyle U}
  • ∀z∈re(w,r),fa(z)=(z-w)niesol(z){\ displaystyle \ forall \, z \ in \ mathrm {D} (a, \, r), \, f (z) = (za) ^ {n} \, g (z)} i
  • sol(w)≠0.{\ Displaystyle g (a) \ neq 0.}
• Zasada zer izolowanych  : jeśli jest nieizolowanym zerem , to istnieje otwarty dysk, w którym jest zero.w{\ displaystyle a}fa{\ displaystyle f}re(w,r){\ Displaystyle \ mathrm {D} (a, r)}U{\ displaystyle U}fa{\ displaystyle f}

Uwaga

W algebrze definiujemy analogiczne pojęcie rzędu wielokrotności pierwiastka niezerowego wielomianu , którego to, co zostało właśnie zdefiniowane, stanowi uogólnienie.

Przykład

Niech będzie liczbą zespoloną i w{\ displaystyle a}

fa:VS→VS, z↦exp⁡(z)-exp⁡(w)-(z-w) exp⁡(w).{\ Displaystyle f: \ mathbb {C} \ do \ mathbb {C}, ~ z \ mapsto \ exp (z) - \ exp (a) - (za) ~ \ exp (a).}

Ta funkcja jest całkowa (tj. Holomorficzna po ℂ) i jest izolowanym zerem 2 rzędu. w{\ displaystyle a}

Weryfikujemy to

fa(w)=fa′(w)=0ifa″(w)≠0.{\ Displaystyle f (a) = f '(a) = 0 \ quad {\ tekst {i}} \ quad f' '(a) \ neq 0.}

Podanie

Z zasady zer izolowanych wyprowadzamy następującą zasadę, czego dowodem jest artykuł Rozszerzenie analityczne .

Zasada rozszerzenia analitycznego

Niech będzie połączonym zbiorem otwartym i włączonymi dwiema zdefiniowanymi i holomorficznymi funkcjami . U{\ displaystyle U}fa1,fa2{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}U{\ displaystyle U}

Jeśli zbiór ma co najmniej jeden nieizolowany punkt , to . {z∈U∣fa1(z)=fa2(z)}{\ displaystyle \ {z \ in U \ mid f_ {1} (z) = f_ {2} (z) \}}fa1=fa2{\ displaystyle f_ {1} = f_ {2}}

Lub:

Jeżeli nie jest to element o i zestaw elementów oddzielnych , zbieżne , dzięki czemu w każdej liczby całkowitej , a następnie w{\ displaystyle a}U{\ displaystyle U}(znie){\ displaystyle (z_ {n})}U{\ displaystyle U}w{\ displaystyle a}w{\ displaystyle a}nie{\ displaystyle n}fa1(znie)=fa2(znie){\ displaystyle f_ {1} (z_ {n}) = f_ {2} (z_ {n})}

∀z∈Ufa1(z)=fa2(z){\ displaystyle \ forall z \ in U \ quad f_ {1} (z) = f_ {2} (z)}.

Przykład

Niech będzie połączonym zbiorem otwartym ℂ zawierającym przedział ℝ nie zredukowany do punktu: punkty nie są odizolowane. U{\ displaystyle U}ja{\ displaystyle I}ja{\ displaystyle I}

Jeśli funkcje są holomorficzne i pokrywają się , to pokrywają się . fa1,fa2{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}U{\ displaystyle U}ja{\ displaystyle I}U{\ displaystyle U}

Oznacza to, że funkcja in ℂ dopuszcza co najwyżej analityczną kontynuację połączonego otwartego zawierającego . ja{\ displaystyle I}U{\ displaystyle U}ja{\ displaystyle I}

• Zatem złożona funkcja wykładnicza jest jedynym analitycznym rozszerzeniem w punkcie ℂ rzeczywistej funkcji wykładniczej.
• Zakładamy, że tożsamość jest znana z dowolnej pary liczb rzeczywistych. Można ją rozszerzyć przez analityczne rozszerzenie na dowolną parę liczb zespolonych. W rzeczy samej : exp⁡(x+y)=exp⁡(x)exp⁡(y){\ displaystyle \ exp (x + y) = \ exp (x) \ exp (y)}
  • Niech będzie prawdziwa. Definiujemy na ℂ (otwarte połączone) dwie funkcje holomorficzne przez ustawienie i . Te dwie funkcje pokrywają się na ℝ, a więc (zasada kontynuacji analitycznej) na ℂ: dla dowolnego kompleksu , a to wszystko w rzeczywistości  ;y{\ displaystyle y}fa1,fa2{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}fa1(z)=exp⁡(z+y){\ displaystyle f_ {1} (z) = \ exp (z + y)}fa2(z)=exp⁡(z)exp⁡(y){\ displaystyle f_ {2} (z) = \ exp (z) \ exp (r)}z{\ displaystyle z}exp⁡(z+y)=exp⁡(z)exp⁡(y){\ displaystyle \ exp (z + y) = \ exp (z) \ exp (r)}y{\ displaystyle y}
  • Niech będzie skomplikowana. Definiujemy na ℂ (otwarte połączone) dwie funkcje holomorficzne przez ustawienie i . Te dwie funkcje, pokrywają się na ℝ (zgodnie z poprzednim punkcie), SO (zasada analitycznej kontynuacja) na ℂ: dla każdego kompleksu , a dla wszystkich Z złożone.z{\ displaystyle z}fa3,fa4{\ displaystyle f_ {3}, f_ {4}}fa3(u)=exp⁡(z+u){\ displaystyle f_ {3} (u) = \ exp (z + u)}fa4(u)=exp⁡(z)exp⁡(u){\ displaystyle f_ {4} (u) = \ exp (z) \ exp (u)}u{\ displaystyle u}exp⁡(z+u)=exp⁡(z)exp⁡(u){\ displaystyle \ exp (z + u) = \ exp (z) \ exp (u)}

Liczba zer

Zasada argument pozwala podać liczbę zer funkcji holomorficznej, liczonych z wielości, ujętą w dysku.

Jeśli F jest holomorficzne w sąsiedztwie zamkniętego dysku D tak, że F nie znika na krawędzi dysku, poniższy wzór podaje liczbę zer F , liczoną wielokrotnością, na dysku D :

12jaπ∮∂refa′(ξ)fa(ξ) reξ.{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2i \ pi}} \ anint _ {\ częściowe D} {\ Frac {F '(\ xi)} {F (\ xi)}} ~ \ mathrm {d} \ xi .} <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">