W matematyce i logice , wykorzystując twierdzenie (od greckiego Theorema , obiekt godny studiów) jest twierdzenie , który udowodnił , że to znaczy ustalony prawda z innych twierdzeń już wykazany (twierdzeń lub innych form „twierdzeń ) lub twierdzeń przyjętych jako prawdziwe, zwane aksjomatami . Twierdzenie jest wykazać w systemie dedukcyjnym i jest logiczną konsekwencją z systemu aksjomatów . W tym sensie różni się od prawa naukowego uzyskanego w wyniku eksperymentów .
Tradycyjnie , twierdzenie przedstawiono jako strukturę składającą się z następujących elementów:
W szerokim sensie każde skutecznie zademonstrowane twierdzenie może przyjąć nazwę twierdzenia. Jednak w pracach matematycznych zwyczajowo rezerwuje się ten termin dla stwierdzeń uznanych za nowe lub szczególnie interesujące lub ważne. W zależności od ich znaczenia lub przydatności inne twierdzenia mogą przybierać różne nazwy:
Zbiór twierdzeń, które można udowodnić na podstawie zbioru aksjomatów, nazywa się teorią. Zdanie jest twierdzeniem odnoszącym się do teorii, w ramach której jest skonstruowane. To może być fałszywe, ale status twierdzenia zdania względem teorii zależy tylko od prawdziwości implikacji między teorią a zdaniem.
Twierdzenie jest dowodzone na podstawie podstawowych hipotez i reguł wnioskowania .
Dowód, chociaż niezbędny do zaklasyfikowania zdania jako „twierdzenia”, nie jest uważany za część twierdzenia.
Niech F będzie formułą, a T teorią, mówimy, że F jest twierdzeniem T, jeśli:
Istnieje dowód F z T, który jest oznaczony jako T ⊢ F
Uwagi:
T może być pustą teorią, to znaczy bez aksjomatów . W tym przypadku F jest twierdzeniem leżącej u podstaw logiki . Mówimy w tym przypadku, że F jest tautologią tej logiki.
T może być na przykład aksjomatyką Euklidesa dla geometrii lub arytmetyką Peano . Ale jeśli T nie jest określone, zwykle podstawową teorią jest teoria zbiorów z aksjomatem wyboru , a podstawową logiką jest obliczenie klasycznych predykatów pierwszego rzędu .
Powyższe definicje składniowe i semantyczne pokrywają się dla wszystkich logik zawierających twierdzenie o zupełności , to znaczy dla większości zwykłych logik.
Jak stwierdzono powyżej, twierdzenie wymaga logicznego rozumowania opartego na aksjomatach. Składa się z szeregu podstawowych aksjomatów (patrz system aksjomatów ) i procesu wnioskowania, który pozwala na wyprowadzenie aksjomatów w nowe twierdzenia i inne twierdzenia zademonstrowane wcześniej. W logice zdań każde udowodnione twierdzenie nazywa się twierdzeniem.
Pojęcie twierdzenia pojawia się w niektórych dziełach sztuki.