Druga kwantyzacja
Sekund kwantyzację , nazywane również kanonicznej kwantyzacja , to pole kwantyzacji metoda wprowadzona przez Diraca 1927 do elektrodynamikę kwantowej . Składa się wychodząc z klasycznego dziedzinie , takich jak pole elektromagnetyczne , aby wziąć pod uwagę jako system fizycznego i zastąpienie ilości klasycznego ( E , B ) opisujące stan pola przez stanie kwantowym i wykrywalności od mechaniki kwantowej . W naturalny sposób dochodzimy do wniosku, że energia pola jest kwantowana, a każdy kwant reprezentuje cząstkę .
Druga kwantyfikacja została ochrzczona przez Focka i Jordana w 1932 roku. Druga kwantyzacja wyraźnie obejmuje operatory i , które pozwalają odpowiednio zniszczyć i stworzyć kwant energii.
w^k→{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ vec {k}}}w^k→†{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ vec {k}} ^ {\ sztylet}}
Przykład rzeczywistego pola skalarnego
Aby uprościć zapisy, najpierw interesuje nas prawdziwe pole skalarne . Można na przykład pomyśleć o polu ciśnienia P (r, t) w gazie, ale to pole nie jest fundamentalne, ponieważ zakłada istnienie innych cząstek i nie może istnieć w próżni. Jedynym polem badanym w fizyce klasycznej, które może rozprzestrzeniać się w próżni, jest pole elektromagnetyczne , które jest polem tensorowym . Możemy jednak skonstruować pole skalarne propagujące się w próżni, rozważając funkcję falową relatywistycznej cząstki jako pola.
Pierwsza kwantyfikacja
Relatywistyczne równanie podające energię cząstki o masie i zerowym ładunku elektrycznym w funkcji jej pędu jest napisane:
mi{\ displaystyle E}m{\ displaystyle m} p→{\ displaystyle {\ vec {p}}}
mi2 = p2vs2 + m2vs4{\ Displaystyle E ^ {2} \ = \ p ^ {2} \, c ^ {2} \ + \ m ^ {2} \, c ^ {4}}
|
Stosując najpierw zasady kanonicznej kwantyzacji z mechaniki kwantowej , otrzymujemy równanie Kleina-Gordona dla funkcji falowej :
Φ(r→,t){\ Displaystyle \ Phi ({\ vec {r}}, t)}
- ℏ2 ∂2Φ(r→,t)∂t2 = - ℏ2vs2 Δ Φ(r→,t) + m2vs4 Φ(r→,t){\ Displaystyle - \ \ hbar ^ {2} \ {\ Frac {{\ częściowe} ^ {2} \ Phi ({\ vec {r}}, t)} {{\ części} t ^ {2}}} \ = \ - \ \ hbar ^ {2} \, c ^ {2} \ \ Delta \ \ Phi ({\ vec {r}}, t) \ + \ m ^ {2} \, c ^ {4} \ \ Phi ({\ vec {r}}, t)}
|
To równanie zostało przepisane w następujący sposób:
( ◻ + m2vs2ℏ2 ) Φ(r→,t) = 0{\ Displaystyle \ lewo (\ \ Box \ + \ {\ Frac {m ^ {2} \, c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ \ prawej) \ \ Phi ({\ vec { r}}, t) \ = \ 0}
|
gdzie reprezentuje operator alembertański :
◻{\ displaystyle \ Box}
◻ = 1vs2 ∂2 ∂t2 - Δ.{\ Displaystyle \ Box \ = \ {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ {\ Frac {{\ częściowe} ^ {2} ~~} {{\ części} t ^ {2}}} \ - \ \ Delta.}
|
Jeśli do tej pory uważaliśmy, że jest to funkcja falowa cząstki, możemy ją również uznać za rzeczywiste pole skalarne propagujące się w próżni, a równanie Kleina-Gordona jest równaniem propagacji.
Φ{\ displaystyle \ Phi}
Rozwój Fouriera
Załóżmy dla uproszczenia, że cząstka jest zamknięta w dużym pudełku o skończonej objętości . Następnie pole skalarne dopuszcza rozwój w szeregach Fouriera . Uwaga:
V{\ displaystyle V}Φ(r→,t){\ Displaystyle \ Phi ({\ vec {r}}, t)}
-
ω{\ displaystyle \ omega}zmienna połączona z czasem : to pulsacja .t{\ displaystyle t}ω{\ displaystyle \ omega}
-
k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}wektor sprzężony w pozycji : jest wektorem falowym .r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
Te tryby Eigen są Exponentials:
fa(r→,t) = fa0 mi-jaωt+jak→⋅r→{\ Displaystyle f ({\ vec {r}}, t) \ = \ f_ {0} \ \ mathrm {e} ^ {- \, \ mathrm {i} \, \ omega t \, + \, \ mathrm {i} \, {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}}}}
|
które spełniają równanie Kleina-Gordona:
( ◻ + m2vs2ℏ2 )fa(r→,t) = 0⟹( - ω2vs2+k2+m2vs2ℏ2 )fa(r→,t) = 0{\ Displaystyle \ lewo (\ \ Box \ + \ {\ Frac {m ^ {2} \, c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ \ prawej) \, f ({\ vec { r}}, t) \ = \ 0 \ quad \ Longrightarrow \ quad \ left (\ - \ {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \, + \, k ^ {2 } \, + \, {\ frac {m ^ {2} \, c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ \ right) \, f ({\ vec {r}}, t) \ = \ 0}
|
Musimy zatem mieć relację dyspersji :
ω2vs2 = k2+m2vs2ℏ2{\ Displaystyle {\ Frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ = \ k ^ {2} \, + \, {\ Frac {m ^ {2} \, c ^ {2 }} {\ hbar ^ {2}}}}
|
Więc jeśli weźmie się wektor falowy , odpowiadają mu dwa tryby własne odpowiednich pulsacji:
k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
ω±(k) = ± vs2k2+m2vs4ℏ2 {\ Displaystyle \ omega _ {\ pm} (k) \ = \ \ pm \ {\ sqrt {\ c ^ {2} \, k ^ {2} \, + \, {\ Frac {m ^ {2} \, c ^ {4}} {\ hbar ^ {2}}} \}}}
|
Rozszerzenie szeregu Fouriera pola skalarnego można zatem zapisać jako sumę wszystkich możliwych wektorów falowych:
Φ(r→,t){\ Displaystyle \ Phi ({\ vec {r}}, t)}
Φ(r→,t)=∑k→[W+(k→)mi-jaω+(k→)t+W-(k→)mi-jaω-(k→)t]mijak→.r→+vs.vs.,{\ Displaystyle \ Phi \ lewo ({\ vec {r}}, t \ prawej) = \ suma _ {\ vec {k}} \ lewo [A _ {+} ({\ vec {k}}) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ omega _ {+} ({\ vec {k}}) t} + A _ {-} ({\ vec {k}}) \ mathrm {e} ^ { - \ mathrm {i} \ omega _ {-} ({\ vec {k}}) t} \ right] \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} {\ vec {k}}. {\ vec { r}}} + cc,}
|
gdzie oznacza kompleks koniugatu .
vs.vs.{\ displaystyle cc}
Druga kwantyzacja
Druga procedura kwantyzacji polega na zastąpieniu współczynników zespolonych modów Fouriera rozszerzania pola skalarnego operatorami abstrakcyjnymi:
-
w^k→{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ vec {k}}}, zwany operatorem anihilacji kwantu impulsu .ℏk→{\ displaystyle \ hbar {\ vec {k}}}
-
w^k→†{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ vec {k}} ^ {\ sztylet}}, zwany operatorem do tworzenia kwantowego impulsu .ℏk→{\ displaystyle \ hbar {\ vec {k}}}
Te operatory z definicji przestrzegają kanonicznej reguły komutacji:
[ w^k′→, w^k→† ] = δk→,k′→ 1^.{\ Displaystyle \ lewo [\ {\ kapelusz {a}} _ {\ vec {k '}}, \ {\ kapelusz {a}} _ {\ vec {k}} ^ {\ sztylet} \ \ w prawo] \ = \ \ delta _ {{\ vec {k}}, {\ vec {k '}}} \ {\ hat {1}}.}
|
Pole skalarne o zerowym spinie jest zatem polem bozonowym.
Drugi formalizm kwantyzacji jest ściśle powiązany z teorią problemu N-ciała . Jeśli weźmiemy pod uwagę zbiór układów kwantowych N (takich jak atomy lub cząstki), każdy z tych układów ma widmo energii, tj. Każdy z tych układów może znajdować się w pewnym stanie kwantowym danej energii. Kwantowa teoria problemu N-ciała działa w przestrzeni wektorowej:
H.NIE=H.⨂...⨂H.{\ displaystyle H ^ {N} = {\ mathcal {H}} \ bigotimes ... \ bigotimes {\ mathcal {H}}}
która jest przestrzenią Hilberta równą iloczynowi przestrzeni N Hilberta, przy czym każda z tych przestrzeni charakteryzuje jeden z układów kwantowych N. Jeśli przyjmiemy, że cały układ charakteryzuje się tym, że cząstka oznaczona i znajduje się obecnie w kwantowym stanie poziomu energii , to cały układ można przedstawić stanem kwantowym:
nieja{\ displaystyle n_ {i}}
|nie1,nie2,nie3,...⟩=∏ja1(nieja!)12(wja†)α|0⟩{\ Displaystyle | n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}, ... \ rangle = \ prod _ {i} {\ frac {1} {(n_ {i}!) ^ {\ tfrac { 1} {2}}}} (a_ {i} ^ {\ dagger}) ^ {\ alpha} | 0 \ rangle} z α=nieja{\ displaystyle \ alpha = n_ {i}}
gdzie reprezentuje stan podstawowy systemu (ten stan jest również nazywany stanem próżni, w kontekście problemu N-ciała) Drugi formalizm kwantyzacji oznacza zatem, że jeśli zastosujemy operator kreacji kilka razy do stanu podstawowego układu w końcu otrzymujemy stan wzbudzony, w którym każde ciało (a więc każdy z N poszczególnych podsystemów) będzie w odpowiednim stanie energetycznym .
|0⟩{\ displaystyle | 0 \ rangle}|0⟩{\ displaystyle | 0 \ rangle}nieja{\ displaystyle n_ {i}}
Zastosowania drugiej kwantyfikacji
Jeśli weźmiemy pod uwagę układ N ciał, zbiór elektronów znajdujących się w sieci krystalicznej, to drugi formalizm kwantyzacji pozwala nam jasno napisać hamiltonian opisujący ten układ. Ten hamiltonian można zatem zapisać:
H.^=H.0^+Vmi^{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {H_ {0}}} + {\ hat {V_ {e}}}} lub:
H.0^=∫rererwσ†(r→)[p→^22m+V(r→)]wσ(r→){\ displaystyle {\ hat {H_ {0}}} = \ int d ^ {d} ra _ {\ sigma} ^ {\ sztylet} ({\ overrightarrow {r}}) \ lewo [{\ frac {{\ hat {\ overrightarrow {p}}} ^ {2}} {2m}} + V ({\ overrightarrow {r}}) \ right] a _ {\ sigma} ({\ overrightarrow {r}})} to hamiltonian opisujący elektrony (zakładając, że są wolne, więc ignorując interakcje między elektronami)
V^mi=12∫rerer∫rerer′Vmi(r→-r′→)wσ†(r→)wδ†(r′→)wδ(r′→)wσ(r→){\ displaystyle {\ hat {V}} _ {e} = {\ Frac {1} {2}} \ int d ^ {d} r \ int d ^ {d} r'V_ {e} ({\ overrightarrow {r}} - {\ overrightarrow {r '}}) a _ {\ sigma} ^ {\ dagger} ({\ overrightarrow {r}}) a _ {\ delta} ^ {\ dagger} ({\ overrightarrow { r '}}) a _ {\ delta} ({\ overrightarrow {r'}}) a _ {\ sigma} ({\ overrightarrow {r}})}jest terminem opisującym oddziaływanie Coulomba między dwoma elektronami (znajdującymi się odpowiednio w pozycjach i ) i jest polaryzacją spinu elektronu, jest polaryzacją spinu elektronu, z którym oddziałuje pierwszy elektron, a terminem jest energia potencjalna należna do sieci krystalicznej.
r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}}}r′→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r '}}}σ{\ displaystyle \ sigma}δ{\ displaystyle \ delta}V(r→){\ Displaystyle V ({\ overrightarrow {r}})}
Uwagi i odniesienia
-
Jeśli objętość pudełka jest nieskończona, zamiast szeregu Fouriera należy zastosować transformatę Fouriera.V{\ displaystyle V}
-
Konieczne jest nałożenie warunku brzegowego na granicy skończonej objętości . To właśnie ten warunek brzegowy spowoduje dyskretyzację możliwych wektorów falowych. Jeśli weźmiemy na przykład okresowe warunki brzegowe dla równoległościanu : to kwantyfikacja zostanie zapisana wprost: gdzie liczby całkowite .∂V{\ Displaystyle \ częściowe V}V{\ displaystyle V}V=LxLyLz{\ displaystyle V = L_ {x} L_ {y} L_ {z}}kja = 2πniejaLja{\ Displaystyle k_ {i} \ = \ {\ Frac {2 \, \ pi \, n_ {i}} {L_ {i}}}}nieja ∈ Z{\ Displaystyle n_ {i} \ w \ \ mathbb {Z}}
-
(en) Alexander Altland i Ben Simons, Teoria pola materii skondensowanej , Cambridge,2010, 770 s. ( ISBN 978-0-521-76975-4 i 0-521-76975-2 , czytaj online ) , str. 44
Bibliografia
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">