Rotacja wektora
Niech E będzie euklidesową wektora przestrzeni . Wektor obrotu z E jest element specjalny ortogonalne grupy SO ( E ). Jeśli zdecydujemy się Baza Ortonormalna z E , jego matryca w tej podstawie jest bezpośredni prostopadłe .
Płaski obrót wektora
Pisanie matrycowe
W zorientowanej płaszczyźnie wektora euklidesowego obrót wektora jest po prostu określony przez jego kąt . Jego macierz w bezpośredniej podstawie ortonormalnej to:
φ{\ displaystyle \ varphi \,}
(sałataφ-grzechφgrzechφsałataφ){\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ koniec {pmatrix}}}.
Innymi słowy, wektor składników ma dla obrazu wektor składników, które można obliczyć z równości macierzy:
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}(x,y){\ displaystyle (x, y)}V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}(x′,y′){\ displaystyle (x ', y')}
(x′y′)=(sałataφ-grzechφgrzechφsałataφ)(xy){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ początek {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}},
to znaczy, że mamy:
x′=xsałataφ-ygrzechφ{\ Displaystyle x '= x \ cos \ varphi -y \ sin \ varphi \,}
i
y′=xgrzechφ+ysałataφ{\ Displaystyle y '= x \ sin \ varphi + y \ cos \ varphi \,}.
Przykład
Jeżeli, na przykład , a , oznacza, że jeden z kątów trójkąta prostokątnego o bokach 3, 4 i 5. Można mnożyć przykłady przedstawiające współczynników macierzy z racjonalnych stosując za każdym razem Pitagorasa tryplet .
sałataφ=0,8{\ Displaystyle \ cos \ varphi = 0 {,} 8}grzechφ=0,6{\ Displaystyle \ sin \ varphi = 0 {,} 6}φ{\ displaystyle \ varphi}
Złożone pisanie
Można to porównać do następującego wzoru, zapisanego liczbami zespolonymi :
x′+ja y′=(x+ja y)(sałataφ+jagrzechφ){\ Displaystyle x '+ i \ y' = (x + i \ r) (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}
lub:
z′=x′+ja y′=(x+ja y)⋅mi jaφ=z⋅mi jaφ{\ Displaystyle Z '= x' + i \ y '= (x + i \ y) \ cdot e ^ {\ i \ varphi} = z \ cdot e ^ {\ i \ varphi} \,}.
Poczucie rotacji
Kiedy jest pomiędzy i i jeśli mapa jest zorientowana w zwykły sposób, obrót odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (lub „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara z zegarka”). Mówimy, że rotacja jest złowieszcza. Jeśli jest pomiędzy a , obrót jest zgodny z ruchem wskazówek zegara. Mówi się, że jest zręczny.
φ{\ displaystyle \ varphi}0{\ displaystyle 0}π{\ displaystyle \ pi}φ{\ displaystyle \ varphi}-π{\ displaystyle - \ pi}0{\ displaystyle 0}
Kompozycja
Związek dwóch obrotów wektorów to obrót wektora, którego kąt jest sumą kątów dwóch obrotów, co tłumaczy się, mówiąc, że grupa obrotów wektorów jest izomorficzna z grupą .
(R/2πZ,+){\ Displaystyle (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z}, +)}
Obroty i kąty
W aksjomatycznej konstrukcji geometrii opartej na algebrze liniowej to właśnie definicja obrotów płaszczyzny umożliwia zdefiniowanie pojęcia kąta (patrz także artykuł Kąt ).
Rotacja wektora w przestrzeni trójwymiarowej
Pisanie matrycowe
W zorientowanej przestrzeni euklidesowej o wymiarze 3 obrót wektora jest określony przez:
- jednostkowym wektorem , który określa oś: linia wektorów niezmienniczych Przy tym obrocie wektora jest wytwarzanych i zorientowanych w tym wektorze;NIE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}
- jego kąt , kąt skojarzonego obrotu wektora płaszczyzny, ograniczenie tego obrotu do płaszczyzny prostopadłej do osi.φ{\ displaystyle \ varphi \,}Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} \,}
Orientacja tej płaszczyzny jest określana przez wybór orientacji osi. Pary i dlatego reprezentują ten sam obrót przestrzeni.
(NIE→,φ){\ Displaystyle ({\ vec {N}}, \ varphi)}(-NIE→,-φ){\ Displaystyle (- {\ vec {N}}, - \ varphi)}
Zwrócimy uwagę na współrzędne wektora jednostkowego w stałej bezpośredniej podstawie ortonormalnej :
(niex,niey,niez){\ Displaystyle \ lewo (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \ po prawej)}NIE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}(ja→,jot→,k→){\ Displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}}) \,}
niex2+niey2+niez2=‖NIE→‖2=1{\ Displaystyle n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} = \ | {\ vec {N}} \ | ^ {2} = 1}.
Niech będzie dowolnym wektorem. Oznaczmy jego obraz rotacją .
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}(NIE→,φ){\ Displaystyle ({\ vec {N}}, \ varphi)}
Prosty przypadek specjalny
Zacznijmy od zbadania konkretnego przypadku .
NIE→=k→{\ displaystyle {\ vec {N}} = {\ vec {k}}}
Płaszczyzna jest wtedy płaszczyzną wygenerowaną przez wektory i . Wektor rozkłada się na wektor współliniowy, który jest niezmienny przez obrót, oraz wektor, który podlega rotacji kątowej w płaszczyźnie i możemy zastosować się do wzorów ustalonych w przypadku obrotów wektorów płaskich. Możemy zatem napisać:
Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} \,}ja→{\ displaystyle {\ vec {i}}}jot→{\ displaystyle {\ vec {j}}}U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}zk→{\ displaystyle z {\ vec {k}}}NIE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}xja→+yjot→{\ displaystyle x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}φ{\ displaystyle \ varphi}Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi}}xja→+yjot→{\ displaystyle x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}
z′=z{\ displaystyle z '= z \,} i
jak wyżej,
(x′y′)=(sałataφ-grzechφgrzechφsałataφ)(xy){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ początek {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}
które można zapisać w formie syntetycznej:
(x′y′z′)=(sałataφ-grzechφ0grzechφsałataφ0001)(xyz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {pmatrix}} = {\ początek {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi & 0 \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}
|
Sprawa ogólna
Jeśli wektor jednostkowy jest nieokreślony w porównaniu z bezpośrednią bazą ortonormalną, która jest używana do wyrażenia składowych, rozumowanie jest bardziej delikatne.
NIE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}(ja→,jot→,k→){\ Displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}}) \,}
Wektor rozkłada się na sumę współliniowości z i niezmienną przez obrót oraz element elementu i, który będzie podlegał rotacji w tej płaszczyźnie. Wektor prostopadły do płaszczyzny i o tej samej normie jest taki, że obraz w kącie obrotu jest .
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}(U→⋅NIE→)NIE→{\ Displaystyle ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}}NIE→{\ displaystyle {\ vec {N}}}W→=U→-(U→⋅NIE→)NIE→{\ Displaystyle {\ vec {W}} = {\ vec {U}} - ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}}Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} \,}W→{\ displaystyle {\ vec {W}}}NIE→∧W→{\ Displaystyle {\ vec {N}} \ klin {\ vec {W}}}W→{\ displaystyle {\ vec {W}}}φ{\ displaystyle \ varphi}(sałataφ)W→+(grzechφ)NIE→∧W→{\ Displaystyle (\ cos \ varphi) {\ vec {W}} + (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ klin {\ vec {W}}}
Wreszcie obraz z rotacji jest wart:
U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}
V→=(U→⋅NIE→)NIE→+(sałataφ)W→+(grzechφ)NIE→∧W→{\ Displaystyle {\ vec {V}} = ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}} + (\ cos \ varphi) {\ vec {W}} + (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ wedge {\ vec {W}}}a jeśli zastąpimy jego wartością , otrzymamy:
W→{\ displaystyle {\ vec {W}}}U→-(U→⋅NIE→)NIE→{\ Displaystyle {\ vec {U}} - ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}}
V→=(U→⋅NIE→)NIE→+(sałataφ)(U→-(U→⋅NIE→)NIE→)+(grzechφ)NIE→∧U→{\ Displaystyle {\ vec {V}} = ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}} + (\ cos \ varphi) ({\ vec {U}) } - ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}) + (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ wedge {\ vec {U} }}skąd wreszcie formuła rotacji Rodriguesa :
V→=(sałataφ) U→+(1-sałataφ)(U→⋅NIE→) NIE→+(grzechφ)(NIE→∧U→){\ Displaystyle {\ vec {V}} = (\ cos \ varphi) \ {\ vec {U}} + (1- \ cos \ varphi) ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N} }) \ {\ vec {N}} + (\ sin \ varphi) \, \, \ left ({\ vec {N}} \ wedge {\ vec {U}} \ right)}
|
.
Wzór opisany powyżej daje wektorową ekspresję obrazu dowolnego wektora przez obrót .
V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}U→{\ displaystyle {\ vec {U}}}(NIE→,φ){\ Displaystyle ({\ vec {N}}, \ varphi)}
Ten sam wynik możemy przedstawić w następującej równoważnej postaci macierzowej:
(x′y′z′)=M(xyz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {pmatrix}} = M {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}
z:
M=(sałataφ)(100010001)+(1-sałataφ)(niex2niexnieyniexniezniexnieyniey2nieyniezniexnieznieyniezniez2)+ (grzechφ)(0-nieznieyniez0-niex-nieyniex0){\ Displaystyle M = (\ cos \ varphi) {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 0 i 0 \\ 0 i 1 i 0 \\ 0 i 0 i 1 \ koniec {pmatrix}} + (1- \ cos \ varphi ) {\ begin {pmatrix} n_ {x} ^ {2} & n_ {x} n_ {y} & n_ {x} n_ {z} \\ n_ {x} n_ {y} & n_ {y} ^ { 2} & n_ {y} n_ {z} \\ n_ {x} n_ {z} & n_ {y} n_ {z} & n_ {z} ^ {2} \ end {pmatrix}} + \ (\ sin \ varphi) {\ begin {pmatrix} 0 & -n_ {z} & n_ {y} \\ n_ {z} & 0 & -n_ {x} \\ - n_ {y} & n_ {x} & 0 \ koniec {pmatrix}}}
|
.
Uwagi
Macierz M nazywana jest macierzą rotacji . Jest to bezpośrednia macierz ortogonalna , co oznacza, że jej kolumny tworzą bezpośrednią bazę ortonormalną lub że jej macierz transponowana jest równa macierzy odwrotnej, a jej wyznacznik jest równy 1.
I odwrotnie, mając dowolną macierz obrotu, łatwo znajdujemy cosinus kąta obrotu. Rzeczywiście, ślad macierzy (to znaczy suma jej przekątnych elementów) jest równy . Ponadto zauważamy, że:
1+2sałataφ{\ Displaystyle 1 + 2 \ cos \ varphi \,}
M-tM=2(grzechφ)(0-nieznieyniez0-niex-nieyniex0){\ Displaystyle M - {} ^ {t} M = 2 (\ sin \ varphi) {\ rozpocząć {pmatrix} 0 & -n_ {z} i n_ {y} \\ n_ {z} i 0 i -n_ { x} \\ -n_ {y} & n_ {x} & 0 \ end {pmatrix}}}co umożliwia szybkie znalezienie osi i sinusa związanego z obrotem. Geometrycznie i uformuj dwa boki rombu, którego wektor jest ukośny, prostopadły do osi obrotu. To pastylka Olinde Rodrigues .
MU→{\ displaystyle M {\ vec {U}}}tMU→{\ displaystyle {} ^ {t} M {\ vec {U}}}(M-tM)U→=2(grzechφ)NIE→∧U→{\ Displaystyle (M - {} ^ {t} M) {\ vec {U}} = 2 (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ klin {\ vec {U}}}
Stosowanie kwaternionów
Możemy również użyć pojęcia kwaternionów . Rzeczywiście, możemy obliczyć obraz wektora, używając iloczynu kwaternionów w następującej postaci:
V→{\ displaystyle {\ vec {V}} \,}U→{\ displaystyle {\ vec {U}} \,}
(0, V→)=(0, R(φ,NIE→)(U→))=(sałataφ2, grzechφ2 NIE→)⋅(0, U→)⋅(sałataφ2, -grzechφ2 NIE→){\ Displaystyle (0, \ {\ vec {V}}) = \ lewo (0, \ \ mathbf {R} _ {\ lewo (\ varphi, {\ vec {N}} \ prawo)} ({\ vec {U}}) \ right) = (\ cos {\ frac {\ varphi} {2}}, \ sin {\ frac {\ varphi} {2}} \ {\ vec {N}}) \ cdot ( 0, \ {\ vec {U}}) \ cdot (\ cos {\ frac {\ varphi} {2}}, \ - \ sin {\ frac {\ varphi} {2}} \ {\ vec {N} })}
|
Skład dwóch rotacji wektorowych
Związek dwóch rotacji wektorów i przestrzeni wymiaru 3 jest rotacją wektorów. Charakterystykę tego określa się na podstawie , gdzie jest iloczynem początkowych macierzy rotacji, lub z iloczynu kwaternionów definiujących każdy z obrotów, lub też poprzez komponowanie wzorów Rodriguesa odnoszących się do każdego obrotu.
R2∘R1{\ Displaystyle R_ {2} \ Circ R_ {1}}R1=(NIE→1,φ1){\ Displaystyle R_ {1} = ({\ vec {N}} _ {1}, \ varphi _ {1})}R2=(NIE→2,φ2){\ Displaystyle R_ {2} = ({\ vec {N}} _ {2}, \ varphi _ {2})}(NIE→3,φ3){\ Displaystyle ({\ vec {N}} _ {3}, \ varphi _ {3})}M3-tM3{\ Displaystyle M_ {3} - {} ^ {t} M_ {3}}M3{\ displaystyle M_ {3}}M2M1{\ displaystyle M_ {2} M_ {1}}
Znaleźliśmy to:
sałata(φ32)=sałata(φ12)sałata(φ22)-grzech(φ12)grzech(φ22)(NIE→1⋅NIE→2){\ Displaystyle \ cos ({\ Frac {\ varphi _ {3}} {2}}) = \ cos ({\ Frac {\ varphi _ {1}} {2}}) \ cos ({\ Frac {\ varphi _ {2}} {2}}) - \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) ({\ vec {N}} _ {1} \ cdot {\ vec {N}} _ {2})}
grzech(φ32)NIE→3=sałata(φ12)grzech(φ22)NIE→2+sałata(φ22)grzech(φ12)NIE→1+grzech(φ12)grzech(φ22)NIE→2∧NIE→1{\ Displaystyle \ sin ({\ Frac {\ varphi _ {3}} {2}}) {\ vec {N}} _ {3} = \ cos ({\ Frac {\ varphi _ {1}} {2 }}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {N}} _ {2} + \ cos ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2 }}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) {\ vec {N}} _ {1} + \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2 }}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {N}} _ {2} \ wedge {\ vec {N}} _ {1}}
Obroty w wymiarze 4
Macierze grupy ortogonalnej SO (4) można również nadać formie kanonicznej (po diagonalizacji w C ); pokazano, że istnieją dwie ortogonalne płaszczyzny wektorowe, tak że w bazie ortonormalnej złożonej z dwóch wektorów każdej płaszczyzny macierz jest zapisana
(sałataα-grzechα00grzechαsałataα0000sałataβ-grzechβ00grzechβsałataβ){\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ cos \ alfa i - \ sin \ alfa i 0 i 0 \\\ sin \ alfa i \ cos \ alfa i 0 i 0 \\ 0 i 0 i \ cos \ beta & - \ sin \ beta \\ 0 & 0 & \ sin \ beta & \ cos \ beta \ end {pmatrix}}}.
Widzimy zatem, że obrót składa się z dwóch obrotów płaskich, aw szczególności nie ma ustalonego wektora (bez „osi”), chyba że jeden z kątów α lub β wynosi zero (w tym przypadku możemy mówić przez analogię z trójwymiarowym przypadkiem obrotu „wokół” płaszczyzny). Jeśli te dwie płaszczyzny są unikalne i są jedynymi płaszczyznami niezmiennymi globalnie przez rotację; w przypadku gdy (tzw. rotacje izoklin ) wszystkie płaszczyzny generowane przez wektor i jego obraz są globalnie niezmienne.
α≠β{\ Displaystyle \ alpha \ neq \ beta}α=±β{\ Displaystyle \ alpha = \ pm \ beta}
Uwagi i odniesienia
-
Jean Dieudonné , Algebra liniowa i elementarna geometria , Paryż, Hermann ,1964, str. 113 dla studium matematycznego i zobacz także przedmowę: „Myślę w szczególności o niesamowitych nieporozumieniach i paralogizmach, do których prowadzi się pojęcie tak proste, jak pojęcie„ kąta ”, gdy bierze się je z tradycyjnego punktu widzenia to znaczy, że z punktu widzenia algebry liniowej to nic innego jak badanie grupy obrotów w płaszczyźnie. ”, s. 13
-
Olinde Rodrigues , „ Prawa geometryczne, które rządzą przemieszczeniami ciała stałego w przestrzeni oraz zmienność współrzędnych wynikających z tych przemieszczeń rozpatrywana niezależnie od przyczyn, które mogą je wywołać ” , Journal of pure and application mathematics ,1840, s. 380-440, a zwłaszcza s. 403
-
Olindes Rodrigues, op. cit., a zwłaszcza s. 408
Zobacz też
Powiązane artykuły
Link zewnętrzny
Korzystanie z DCM
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">