Iloczyn tensorowy dwóch map liniowych

Produkt tensor dwóch przekształceń liniowych jest konstrukcją, która na dwóch przekształceń liniowych pomiędzy A - modułów , U od E 1 w F 1 i V z E 2 w F 2 , asocjację liniową mapę U ⊗ V pomiędzy produktami tensor , z e 1 ⊗ A E 2 w F 1 ⊗ A F 2 .

Definicja

W tej części zakładamy, że pierścień A jest przemienny . Z zapisami wstępu, aplikacja

$E_ {1} \ times E_ {2} \ do F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2}, \ quad (x, y) \ mapsto u (x) \ otimes v (y)$

jest A - dwuliniowy . Według powszechnej własności produktu tensora istnieje unikalny liniową mapę tak, że $\ varphi (u, v): E_ {1} \ otimes _ {A} E_ {2} \ do F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2}$

${\ Displaystyle \ forall (x, r) \ in E_ {1} \ otimes _ {A} E_ {2}, \ varphi (u, v) (x \ otimes y) = u (x) \ otimes v (y ).}$

Ponadto zastosowanie przestrzeni w module jest dwuliniowe; istnieje zatem kanoniczna mapa liniowa $\ varphi$ ${\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {1}, F_ {1}) \ times {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {2}, F_ {2})$ ${\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {1} \ otimes _ {A} E_ {2}, F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2})$

\ psi: {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {1}, F_ {1}) \ otimes _ {A} {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {2 }, F_ {2}) \ to {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {1} \ otimes _ {A} E_ {2}, F_ {1} \ otimes _ {A} F_ { 2})

Jak na przykład

$\ varphi (u, v) = \ psi (u \ otimes v)$ do wszystkich zastosowań -linéaires , . $u: E_ {1} \ do F_ {1}$ $v: E_ {2} \ do F_ {2}$

Aplikacja stanowi w jest nazywany produkt tensor U i V , w praktyce jest to napisane u ⊗ v . Uważaj, ta notacja jest obraźliwa, ponieważ może oznaczać dwa obiekty o różnym charakterze: $\ varphi (u, v)$ $E_ {1} \ otimes _ {A} E_ {2}$ $F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2}$

element iloczynu tensorowego (który nie jest odwzorowaniem liniowym), ${\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {1}, F_ {1}) \ otimes _ {A} {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {2}, F_ {2})$
jego obraz przez ψ w (aplikacja liniowa A ). ${\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (E_ {1} \ otimes _ {A} E_ {2}, F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2})$ $\ varphi (u, v)$

Zwłaszcza, że que nie zawsze jest izomorfizmem , więc nie można zidentyfikować dwóch „ u ⊗ v ”.

Niemniej jednak, gdy E 1 i E 2 są swobodnymi modułami rangi skończonej (na przykład przestrzenie wektorowe o skończonym wymiarze ), ψ jest izomorfizmem i nie ma sensu pomieszać tych dwóch notacji u ⊗ v . W szczególności ψ zapewnia, przy tym założeniu, izomorfizmy kanoniczne E 1 * ⊗ A E 2 * w ( E 1 ⊗ A E 2 ) * i E 1 * ⊗ A F 2 w Hom A ( E 1 , F 2 ) .

Demonstracja ostatniego wyniku

Każdy wolny -module z rang p jest izomorficzny (poprzez wybór z zasadą) A p i za każdym A -module F , hom ( P , K ) oznacza (kanonicznej) izomorficzna A p ⊗ A F . Dlatego wystarczy sprawdzić, czy dla wszystkich liczb całkowitych m i n następująca mapa kanoniczna, odpowiadająca ψ poprzez te identyfikacje, jest izomorfizmem:

(A ^ {m} \ otimes _ {A} F_ {1}) \ otimes _ {A} (A ^ {n} \ otimes _ {A} F_ {2}) \ to {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (A ^ {m} \ otimes _ {A} A ^ {n}, F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2}).

Ze względu na łączność i przemienność ⊗ A oraz izomorfizm między A m ⊗ A A n i A mn , jest to po prostu trzeci przypadek

A ^ {{mn}} \ otimes _ {A} (F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2}) \ to {\ mathrm {Hom}} _ {A} \, (A ^ {{mn }}, F_ {1} \ otimes _ {A} F_ {2})

izomorfizmu kanonicznego przywołanego na początku.

Nieruchomości

Jeśli jest sześć modułów, a jeśli podajemy aplikacje liniowe , to jednocześnie $E_ {1}, E_ {2}, F_ {1}, F_ {2}, G_ {1}, G_ {2}$ $u_ {i}: E_ {i} \ do F_ {i}$ $v_ {i}: F_ {i} \ do G_ {i}$ $(v_ {1} \ circ u_ {1}) \ otimes (v_ {2} \ circ u_ {2}) = (v_ {1} \ otimes v_ {2}) \ circ (u_ {1} \ otimes u_ { 2}).$
Jeśli jest izomorfizmem on i jest izomorfizmem odwrotnym, to $u_i$ $E_i$ $F_i$ $v_ {i}$ $u_ {1} \ otimes u_ {2}$ jest odwracalna i jej odwrotność jest . $v_ {1} \ otimes v_ {2}$