Pałeczki do obliczenia

Te pręty liczenia ( chińskie :算筹/算籌, pinyin : suànchóu ) są laski około 10 cm długości używanych przez Chińczyków od III th wieku przed naszą erą. AD do wykonywania obliczeń. System opiera się na reprezentacji liczb według pozycyjnej numeracji dziesiętnej .

Ten system jest starszy od systemu obliczeń liczydła o kilka stuleci . Umożliwia proste operacje, takie jak dodawanie i odejmowanie, ale także bardziej złożone operacje, takie jak mnożenie, dzielenie, wyodrębnianie korzeni. Dzięki wprowadzeniu specjalnego reprezentację liczb ujemne, to umożliwia pracę w bardziej abstrakcyjne pojęć takich jak rozwiązanie układów równań liniowych , licząc na współczynnikach wielomianu , przy czym sposób Ruffini-Hornera lub reprezentacji wielomianów z dwiema zmiennymi.

Historia

Najwcześniejszy opis tego systemu jest w książce Hanshu ( Historia Hans ) napisanej przez Ban Gu w I st wieku pne. BC System ten nazywa się według źródeł suan lub kapusta lub chousuan lub suanchou , Suanzi podczas dynastii Song, termin Suan prawdopodobnie z poczuciem różdżkę. Jednak korzystanie z takiego systemu obliczeniowego a jest prawdopodobnie wcześniej niż w I st wieku pne. AD . W rzeczywistości znajdujemy odniesienia do zewnętrznego procesu obliczania w starszych pracach: w Księdze procedur matematycznych ( Suanshushu - przed 186 pne ) widzimy wyrażenie „umieść liczbę”. Na początku procedury, co sugeruje istnienie fizyczna czynność do wykonania. Volkov tak pałeczkami zastosowania do obliczeń później niż w III th century BC. AD .

Im bardziej postępujemy przez stulecia, tym dokładniejsze stają się odniesienia do tego systemu. Astronom Liu Xin (pl) , na I st century określa, że jeden przewożący astronomicznych obliczeń przy użyciu zestawu prętów 271 około 14 cm długości i że te pręty zostały również wykorzystane w numerologii i wróżbiarstwa. Matematyczna klasyczny Sun Zi ( IV p wieku ) dokładnie opisano system reprezentacji i procedur obliczeniowych. Kiedy między dynastii Tang i piosenki , wokół X XX wieku , ilustracje są wkładane w pracach, możemy prześledzić nie tylko proces pisania, ale również linie obliczenia układu podczas operacji.

Obliczenia wykonane pałeczkami wymagają płaskiej powierzchni, na której zmaterializowałyby się pudełka wskazujące różne cyfry dziesiętne i miejsca, w których zostaną umieszczone pałeczki. Niektórzy historycy (Li Yan, Joseph Needham , Ulrich Libbrecht (en) ) postawili hipotezę, że ta płaska powierzchnia byłaby drewnianą deską pociętą na pudełka. Jednak podczas wykopalisk archeologicznych nie odnaleziono takiej tablicy. Ponadto taka tablica musiałaby mieć bardzo duże rozmiary, aby móc wykonywać obliczenia z bardzo dużymi liczbami. Dlatego rozsądniej wydaje się sądzić, według Chemli i Volkova, że obliczenia zostały wykonane po prostu na podłodze lub na stole, a pudełka są tylko wyobrażane lub reprodukowane na płótnie lub arkuszu papieru, które można łatwo transportować.

Opracowanie algorytmu obliczeniowego wykonywanego dynamicznie w komórkach tabeli w naturalny sposób rozszerza się o obliczanie ułamków i algorytmy rozwiązywania układów równań z wprowadzeniem liczb ujemnych ( III e w. ) Następnie obliczenia wielomianów z pierwiastkami według metody Ruffiniego-Hornera i rozwiązywanie układów nieliniowych równania ( XIII p wieku ).

Możemy datować zniknięcie pałeczki do obliczeń pomiędzy XV th wieku i XVI -tego wieku , stopniowo zastępowane przez zastosowanie liczydła i praktyce obliczeń pisemnych.

Numeracja

Jest to liczba pozycji w bazie 10, mający osiemnaście symboli w próżni do reprezentowania zera . Zasada polega na przedstawianiu za pomocą drążków liczb od 1 do 9. Pozycja danej liczby umieszczonej na powierzchni obliczeniowej wskazuje na jej rząd wielkości (od lewej do prawej:…, tysiąc, sto, dziesięć, jednostka, dziesiąta, setna…). Brak patyka w pudełku oznacza równowartość zera. Operacje wykonuje się przesuwając pręty lub modyfikując ich konfigurację.

Dane liczbowe

Te laski count ma dwa zestawy cyfr od 1 do 9. W tym artykule, jeden z dwóch serii będą oznaczane literą A , a drugą z literą B . W obu seriach 0 jest reprezentowane przez puste miejsce.

Seria	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
W
b

Budowa liczb

Jako system pozycyjny oparty na 10 , każda cyfra reprezentuje współczynnik o potędze 10 w zależności od zajmowanego miejsca. Cyfra znajdująca się najdalej po prawej stronie to jednostka liczby, ta po jej lewej stronie, dziesiątka itd.

Jednak liczba zero reprezentowana przez pustkę stanowi problem: dwie liczby, takie jak 62 i 620, byłyby trudne do rozróżnienia.

Ponadto, gdy ustawione są drążki, jeśli reprezentuje liczbę 2 i reprezentuje liczbę 1, nie jest oczywiste, czy reprezentuje ona 3, 12 lub 21 (lub nawet 30, 120 lub 210).

Aby przezwyciężyć te możliwe nieporozumienia, numeracja ma dwie serie cyfr.

Seria A jest używana do zapisywania liczb parzystych potęg 10 (jednostki, setki, dziesiątki tysięcy, ...), a seria B jest używana do nieparzystych potęg 10 (dziesiątki, tysiące, ...).

Zatem następujące liczby są reprezentowane przez:

4:
72:
256:
308:
1,007:
81 753:
1,95:

Nie ma sposobu (jak w numeracji babilońskiej ) na odróżnienie liczb dziesiętnych od liczb całkowitych. Różnicuje je tylko ich pozycja w tabeli obliczeniowej i towarzyszący jej tekst. W niektórych pracach jednostka główna jest oznaczona symbolem umieszczonym pod numerem jednostek. Tak więc pismo:


日

z ideogramem 日 (dzień) umieszczonym pod pierwszą 1 oznacza, że reprezentowana liczba to 1,1446154 dni.

Kolejne zera są symbolizowane przez spację, która jest tym większa, ponieważ jest ich dużo.

Ułamki

Ułamek jest reprezentowany za pomocą dwóch linii, z których górna zawiera licznik, a dolna mianownik. Ta reprezentacja jest prawdopodobnie inspirowana algorytmem dzielenia, na końcu którego wynik dzielenia jest przedstawiany w 3 liniach: w linii 1 jest część całkowita ilorazu, część ułamkowa zajmuje linie 2 (dla licznika) i 3 ( za mianownik). Tak więc miesza się frakcję 13 2 / 7 jest reprezentowany przez:

Liczby ujemne

Gdy liczby ujemne pojawiają się jako współczynniki w wielomianach lub układach równań liniowych, należy znaleźć sposób na ich odróżnienie od liczb dodatnich. Można to zrobić, używając innego koloru dla pozytywów i negatywów (czerwony kontra czarny lub czarny kontra biały) lub umieszczając liczby ujemne pod kątem lub używając prętów o różnych przekrojach. W pracach pisemnych znajdujemy również liczbę ujemną identyfikowaną przez linię przekreślającą niezerową liczbę najdalej na prawo.

Zero

W systemie kija zero jest symbolizowane przez pustkę. Jednak, gdy obliczenia powierzchni uzupełniają ilustracje obliczania algorytmów w pracach papieru, pojawiają widzimy reprezentacji braku pałeczkami rundę ( XIII th century ). Ten symbol jest prawdopodobnie inspirowany indyjską notacją punktu zerowego.

Obliczenia

Dodawanie i odejmowanie

Podobnie jak w przypadku obliczeń z liczydłem , operacje są wykonywane przy użyciu najcięższych wag (od lewej do prawej), a potrącenia są natychmiast zgłaszane.

Jeśli chodzi o dodawanie ułamków a / b + c / d , konieczne jest umieszczenie liczników (aic) po lewej stronie, a mianownik (bic) po prawej. Następnie zmniejsz ułamki do tego samego mianownika, mnożąc a przez d, a następnie c i d przez b. Dodaj dwie liczby po lewej stronie (które zawierają odpowiednio ad i bc) i umieść wynik w prawym górnym rogu.

Mnożenie i dzielenie

Mnożenie wymaga trzech linii. W pierwszym wierszu jest zapisana mnożnik. Pod linią mnożenia stopniowo zapisujemy iloczyn tych dwóch liczb. Mnożnik jest umieszczany kolejno pod każdą cyfrą mnożnika w trzeciej linii. Pierwsza cyfra mnożnika z lewej strony jest mnożona przez mnożnik. Iloczyn jest umieszczony w środkowej linii, poniżej liczby mnożnikowej. Następnie usuwamy pierwszą cyfrę mnożnika, przesuwamy mnożnik w prawo i mnożymy drugą cyfrę mnożnika przez ten mnożnik, wynik jest dodawany do liczby znajdującej się w środkowym wierszu i tak dalej.

Podział przebiega według tej samej zasady. Dywidendę wpisuje się w środkowej linii. Dzielnik umieszcza się kolejno jak najdalej w lewo pod linią dywidendy. Dzielimy lewą część dywidendy przez dzielnik, iloraz (liczba od 1 do 9) umieszczamy w górnej linii, nad liczbą jednostek dzielnika, część dywidendy jest zastępowana resztą dzielenia . Następnie rozdzielacz przesuwa się w prawo, aby ponownie rozpocząć operację.

Mnożenie liczb mieszanych rozpoczyna się od przekształcenia liczb a b / c (forma mieszana) w (ac + b) / c (forma niewłaściwa), następnie mnożymy liczniki między nimi, a między nimi mianowniki i wykonujemy a podział klasyczny.

Podział ułamków zaczyna się od ich przekształcenia z mieszanego na niewłaściwe, sprowadzenia do tego samego mianownika i podzielenia jednego licznika przez drugi. Liu Hui proponuje redukcję dwóch ostatnich kroków: a ⁄ b div c ⁄ d = ad ⁄ bc

Ekstrakcja korzeni

Pierwiastek kwadratowy

Zasada ekstrakcji pierwiastka kwadratowego jest analogiczna do metody ekstrakcji algorytmu szubienicy . Jeśli A jest liczbą, dla której szukamy pierwiastka kwadratowego, najpierw szukamy pierwszego przybliżenia x tego pierwiastka. Wiemy wtedy, że A = ( x + d ) 2 = x 2 + 2 xd + d 2 . Przybliżenie y (A - x 2 ) / (2 x ) zapewnia przybliżenie d . Liczba x ' = x + y jest nowy zbliżanie $\sqrt A$ . Rozpoczynamy proces ponownie od x ' : obliczamy A - x' 2 = (Ax 2 ) - (2 x + y ) y , które dzielimy przez 2 x ' = 2 x' +2 y itd. W ten sposób znajdujemy dokładniejsze i dokładniejsze przybliżenie $\sqrt A.$

W ciągu x zapisuje się n x .10 a x i y zapisuje się n y .10 a y, gdzie n y jest równe 0,1, ... lub 9

Dlatego obliczenia za pomocą pałeczek zapewniają

linia dla kolejnych przybliżeń $\sqrt A$
wiersz dla kolejnych wartości A - x 2
wiersz zawierający 2 x .10 a y, a następnie (2 x + y ) .10 a y
linia na miejsce y. 10 jest y

Jeśli chodzi o znalezienie pierwiastka kwadratowego z 55225, umieszczamy tę liczbę w drugiej linii (linia dywidendy) i za pomocą pręta określamy rząd wielkości wyniku, przesuwając pręt dwóch pudełek do dwóch pudełek. Różdżka jest umieszczona pod 5 po lewej stronie. Szukamy liczby całkowitej, której kwadrat jest najbliższy 5: 2, co daje pierwsze przybliżenie pierwiastka x = 200, które umieszczamy w górnym wierszu (linia ilorazu) (rys. 1). Odejmujemy 2² do 5, co daje A - x 2, a linia 3 służy do umieszczania 2 x .10 a y , czyli 4, które przesuwamy o jeden kwadrat. Jest to kwestia podzielenia 15 przez 4, co daje n y : 3. Umieszczamy tę wartość w linii 4 z przesunięciem o jedno pole w porównaniu z numerem w linii powyżej (rys. 2). W L3 wstawiamy sumę L3 i L4, a następnie otrzymujemy (2 x + y ) 10 a y, co pomnożone przez n y daje (2 x + y ) y (rys. 3). Odejmujemy tę wartość od linii dywidendy, aby otrzymać A - x ' 2 . Następnie uzupełniamy prostą ilorazu umieszczając n y na prawo od poprzedniego przybliżenia i wstawiamy do L3 sumę L2 i L3, co daje możliwość otrzymania (2 x +2 y ) 10 a y czyli - powiedzmy 2 x '10 a x ' , wartość przesunięta o jedno pole (rys. 4). Pozostaje kontynuować proces, dzieląc 232 przez 46 itd. (rys. 5 i 6)

${\ begin {matrix} && 2 && \\ 5 & 5 & 2 & 2 & 5 \\ 1 &&&& \\ &&&& \ end {matrix}}$	${\ begin {matrix} && 2 && \\ 1 & 5 & 2 & 2 & 5 \\ & 4 &&& \\ && 3 && \ end {matrix}}$	${\ begin {matrix} && 2 && \\ 1 & 5 & 3 & 2 & 5 \\ & 4 & 3 && \\ && 3 && \ end {matrix}}$
rys.1	rys 2	rys.3
${\ begin {matrix} && 2 & 3 & \\ & 2 & 3 & 2 & 5 \\ && 4 & 6 & \\ &&&& \ end {matrix}}$	${\ begin {matrix} && 2 & 3 & \\ & 2 & 3 & 2 & 5 \\ && 4 & 6 & \\ &&&& 5 \ end {matrix}}$	${\ begin {matrix} && 2 & 3 & 5 \\ &&&& \\ && 4 & 6 & 5 \\ &&&& 5 \ end {matrix}}$
rys.4	rys.5	rys.6

Dlatego pierwiastek kwadratowy z A wynosi 235

Jeśli obliczenia kończą się na jedności, to dlatego, że A jest idealnym kwadratem, w przeciwnym razie możemy nadal znajdować wartość przybliżoną do dziesiątej, setnej lub tysięcznej.

Pierwiastek kwadratowy

Wyodrębnianie korzenia kostki opiera się na tej samej zasadzie, ale wymaga większej liczby wierszy. Jeśli A jest liczbą, dla której szukamy pierwiastka sześciennego, najpierw szukamy pierwszego przybliżenia x tego pierwiastka. Wiemy wtedy, że A = ( x + d ) 3 = x 2 + 3 x 2 d + 3 xd 2 + d 3 . Przybliżenie y (A - x 3 ) / (3 x 2 ) zapewnia przybliżenie d . Liczba x ' = x + y jest nowym przybliżeniem pierwiastka sześciennego z A. Rozpoczynamy proces ponownie od x' : obliczamy A - x ' 3 = (Ax 3 ) - (3 x 2 + 3 xy + y 2 ) y , które dzielimy przez 3 x ' 2 = 3 x 2 + 6 xy +3 y 2 itd. W ten sposób znajdujemy dokładniejsze i dokładniejsze przybliżenie pierwiastka sześciennego z A.

W ciągu x zapisuje się n x .10 a x i y zapisuje się n y .10 a y, gdzie n y jest równe 0,1, ... lub 9

Dlatego obliczenia za pomocą pałeczek zapewniają

wiersz dla kolejnych przybliżeń pierwiastka sześciennego z A.
wiersz dla kolejnych wartości A - x 3
wiersz zawierający 3 x 2 .10 a y, a następnie (3 x 2 + 3 xy + y 2 ) .10 a y
wiersz zawierający 3 x .10 2a y, a następnie 3 xy .10 a y
linia do umieszczenia y 2 .10 a y

Jeśli chodzi o szukanie pierwiastka sześciennego z 1860876, umieszczamy tę liczbę w drugiej linii (linia dywidendy) i za pomocą pręta określamy rząd wielkości wyniku, przesuwając pręt trzech pudełek w trzech pudełkach. Różdżka jest umieszczona pod 1 po lewej stronie. Poszukujemy liczby całkowitej, której sześcian jest najbliższy 1: 1, co daje pierwsze przybliżenie pierwiastka x = 100, które umieszczamy w górnym wierszu (linia ilorazu) (rys. 1). Odejmujemy 1 3 do 1, co daje A - x 3, a linia 3 służy do umieszczania 3 x 2 .10 a y , czyli 3, które przesuwamy o jeden kwadrat. Linia 4 służy do umieszczenia 3 x .10 2a y , czyli 3, które przesuwamy o jeszcze jedną spację (rys. 2). Jest to kwestia podzielenia 8 przez 3, co daje n y : 2. Mnożymy L4 przez tę wartość, aby otrzymać 3 xy .10 a y i bierzemy kwadrat n y , który umieszczamy w rzędzie 5 z przesunięciem o jeden kwadrat, co daje y 2 .10 a y (rys. 3). W L3 wstawiamy sumę L3, L4 i L5, a następnie otrzymujemy (3 x 2 + 3 xy + y 2 ). 10 a y, co pomnożone przez n y da 3 x 2 + 3 xy + y 2 ) y (rys.4). Usuwamy tę wartość z linii dywidendy, aby otrzymać A - x ' 3 . Następnie uzupełniamy linię ilorazu, umieszczając n y na prawo od poprzedniego przybliżenia i wstawiamy do L3 sumę L3, L4 i 2L5, co daje możliwość uzyskania (3 x 2 + 6 xy +3 y 2 ) .10 a y, czyli 3 x ' 2, 10 a x' , wartość, którą przesuwa się o jedno pole i umieszcza w L4 3 x ' .10 2a y , czyli 36 (rys.5). Pozostaje kontynuować proces, dzieląc 1328 przez 432 itd. (Rys. 6, 7, 8)

${\ begin {matrix} &&&&& 1 && \\ 1 & 8 & 6 & 0 & 8 & 6 & 7 \\ 1 &&&&&&& \\ &&&&&& \\ &&&&&&& \ end {matrix}}$	${\ begin {matrix} &&&& 1 && \\ & 8 & 6 & 0 & 8 & 6 & 7 \\ & 3 &&&&& \\ && 3 &&&& \\ &&&&&& \ end {matrix}}$	${\ begin {matrix} &&&& 1 && \\ & 8 & 6 & 0 & 8 & 6 & 7 \\ & 3 &&&&& \\ && 6 &&&& \\ &&& 4 &&& \ end {matrix}}$	${\ begin {matrix} &&&& 1 && \\ & 8 & 6 & 0 & 8 & 6 & 7 \\ & 3 & 6 & 4 &&& \\ && 6 &&&& \\ &&& 4 &&& \ end {matrix}}$
rys.1	rys 2	rys.3	rys.4
${\ begin {matrix} &&&& 1 & 2 & \\ & 1 & 3 & 2 & 8 & 6 & 7 \\ && 4 & 3 & 2 && \\ &&&& 3 & 6 & \\ &&&&&& \ end {matrix}}$	${\ begin {matrix} &&&& 1 & 2 & \\ & 1 & 3 & 2 & 8 & 6 & 7 \\ && 4 & 3 & 2 && \\ &&& 1 && 8 & \\ &&&&&&&&&9 \ end {matrix} }$	${\ begin {matrix} &&&& 1 & 2 & 3 \\ & 1 & 3 & 2 & 8 & 6 & 7 \\ && 4 & 4 & 2 & 8 & 9 \\ &&& 1 && 8 & \\ &&&&&&& 9 \\ &&& 1 && 8 & \\ &&&&&&& 9 \ koniec {matrix}}$	${\ begin {matrix} &&&& 1 & 2 & 3 \\ &&&&&& \\ && 4 & 4 & 2 & 8 & 9 \\ &&& 1 && 8 & \\ &&&&&&&& 9 \ end {matrix}}$
rys.5	rys.6	rys.7	rys.8

Dlatego pierwiastek sześcienny z A wynosi 123.

Jeśli obliczenia kończą się na jedności, to dlatego, że A jest doskonałą kostką, w przeciwnym razie możemy nadal znajdować wartość zbliżoną do dziesiątej, setnej lub tysięcznej.

Układy równań

W przypadku obliczeń z wielomianami lub układami równań liniowych powierzchnia obliczeniowa jest zorganizowana inaczej. W każdym polu nie umieszczamy już tylko liczby będącej elementem dziesiętnego zapisu liczby, ale umieszczamy liczbę (dodatnią lub ujemną) reprezentującą współczynnik występujący w wielomianu lub układzie równań. Operacje na wielomianach lub transformacjach układu równań sprowadzają się wtedy do dynamicznych manipulacji liczbami w tabeli podobnej do macierzy .

Traktowanie układów równań jest przedmiotem całego rozdziału FangChenga w Dziewięciu rozdziałach o sztuce matematycznej i wykorzystuje zasadę analogiczną do zasady eliminacji Gaussa-Jordana . Aby rozwiązać system, który teraz piszemy:

$\ left \ {{\ begin {array} {* {7} {c}} 3x & + & 2y & + & z & = & 39 \\ 2x & + & 3y & + & z & = & 34 \\ x & + & 2y & + & 3z & = & 26 \\\ end {array}} \ right.,$

Chiński matematyk pracuje na stole złożonym z 3 kolumn i 4 rzędów, przechylając system o ćwierć obrotu w prawo. Następnie przechodzi do eliminacji współczynników przez liniowe kombinacje kolumn, aż do uzyskania tylko jednego współczynnika na wiersz i na kolumnę w górnej tabeli 3 x 3 lub (Liu din 171-172)

${\ begin {matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 26 & 34 & 39 \ end {matrix}}$	${\ begin {matrix} 1 && 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 26 & 24 & 39 \ end {matrix}}$	${\ begin {matrix} && 3 \\ 4 & 5 & 2 \\ 8 & 1 & 1 \\ 39 & 24 & 39 \ end {matrix}}$
Umieszczenie	3C2-2C3 w C2	3C1-C3 do C1
${\ begin {matrix} && 3 \\ & 5 & 2 \\ 4 & 1 & 1 \\ 11 & 24 & 39 \ end {matrix}}$	${\ begin {matrix} && 3 \\ & 4 & 2 \\ 4 && 1 \\ 11 & 17 & 39 \ end {matrix}}$	${\ begin {matrix} && 4 \\ & 4 & \\ 4 && \\ 11 & 17 & 37 \ end {matrix}}$
(5C1-4C2) / 9 w C1	(4C2-C1) / 5 w C2	(4C3-C1-2C2) / 3 w C3

Tabela zatem diagonalized daje x = 37/4 = 9 1 / 4 , y = 17/4 = 4 1 / 4 , a z = 11/4 = 2, 3 / 4 .

Uwagi i odniesienia

Volkov podaje, że w źródłach historycznych długość pałeczek waha się od 9 cm do 13,8 cm ( Volkov 2001 , Bacchette e cosmologia)
Volkov 2001 , I primi riferimenti alle bacchette
Chemla i Shuchun 2005 , s. 15
Volkov 2001 , Bacchette e cosmologia
Chemla i Shuchun 2005 , s. 16
Volkov 2001 , La tavola di calcolo: mito o realtà?
Chemla i Shuchun 2005 , s. 15 uwaga 2
Liu Hui komentarze na Dziewięć rozdziałów o sztuce Matematycznego ( Volkov 2001 , Bacchette e cosmologia)
Volkov 2001 , Dalle bacchette all'abaco
Liu Dun 1997 , s. 170
Ulotne kroki , s. 79
Liu Dun 1997 , s. 166
Liu Dun 1997 , s. 167
Dauben 2007 , s. 324
Volkov 2001 , Il sistema di numerazione cinese, sistema decimale e principio posizionale
Ulotne kroki , s. 83-84
Volkov 2001 , Rappresentazione dei numeri e operazioni calcus
Chemla i Shuchun 2005 , s. 16-19
Ulotne kroki , s. 88
Chemla i Shuchun 2005 , s. 133
Chemla i Shuchun 2005 , s. 322-326
Chemla i Shuchun 2005 , s. 371-375
Chemla i Shuchun 2005 , s. 602-604

Bibliografia

Karine Chemla i Guo Shuchun , Dziewięć rozdziałów: Matematyczny klasyk starożytnych Chin i jego komentarze [ szczegóły wydania ]
(en) Joseph W. Dauben, „Chinese mathematics” , w: The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook , Princeton university press,2007, s. 187-384
(it) Alexei Volkov, „La scienza in Cina: dai Qin-Han ai Tang. La matematica: Le bacchette ” , w Collectif, Storia della Scienza ,2001( czytaj online ).
Liu Dun, „Liczby, narzędzia obliczeniowe i wyrażenia matematyczne w starożytnych Chinach” , w: Zbiorowe, Ocean Indyjski na skrzyżowaniu matematyki arabskiej, chińskiej, europejskiej i indyjskiej : Saint-Denis de la Réunion, 3-7 listopada 1997, postępowanie konferencji , IUFM of Reunion,1997( czytaj online ) , s. 161-177
André Bréard, Rachunek z pałeczkami w starożytnych Chinach , Uniwersytet Lille-1
(en) Lay Yon Lam and Tian Se Ang, Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China , World Scientific Pub Co Inc, 2004 (wydanie poprawione) ( prezentacja online )

Zobacz też