Metryka riemannowska

W geometrii różniczkowej , riemannowskiej metryki są podstawowe pojęcia geometrii Riemanna . Pierwsze wprowadzenie wygłosił Bernhard Riemann w 1854 r. Jednak jego artykuł na ten temat ukazał się po jego śmierci w 1868 r. W tym samym roku Hermann von Helmholtz opublikował podobne wyniki.

Metryki riemannowskie są różniczkowalnymi rodzinami dodatnich, określonych form kwadratowych .

Definicje

Na wiązce wektorowej E → M metryka riemannowska g jest danymi iloczynu skalarnego g x na każdym włóknie E x , który zależy od tego, jak gładki punkt bazowy x zmienia M . Bardziej formalnie, x↦g x jest przekrojem w dowolnym dodatnio określonym punkcie wiązki wektorowej S 2 E → M symetrycznych form dwuliniowych. Mówimy, że dane ( E, g ) są wiązką Riemanna .

Dla dwóch wiązek Riemanna ( E, g ) i ( F, g ' ) na M , morfizm wiązki riemannowskiej f :( E, g ) → ( E, g ' ) jest morfizmem wiązki wektorowej f: E → E ' takim, że , dla dowolnego punktu x z M , odwzorowanie liniowe f x : E x → F x jest izometrią liniową , czyli:

\ forall v, w \ in E_ {x}, \ quad g '_ {x} (f_ {x} (v), f_ {x} (w)) = g_ {x} (v, w).

Jeśli M jest rozmaitością różniczkową, metryka riemannowska na M jest po prostu metryką riemannowska na jej wiązce stycznej . Dane ( M, g ) to rozmaitość Riemanna .

Biorąc pod uwagę dwie rozmaitości riemannowskie ( M, g ) i ( N, g ' ), izometria F :( M, g ) → ( N, g' ) jest różniczkowalnym odwzorowaniem F: M → N takim, że odwzorowanie styczne dF :( TM, g ) → ( TN, g ' ) jest morfizmem wiązek Riemanna. Ten ostatni warunek zostaje przepisany: F * g '= g .

Przykłady

Dowolny iloczyn skalarny na ℝ n indukuje na dowolnej wiązce trywialnej wektorów M × ℝ n → M a metryka riemannowska: $<,>$ $g_ {x} ((x, v), (x, w)) = <v, w>.$
Niech g będzie metryką Riemanna na E → M, a P rozmaitością. Dla funkcji różniczkowalnej ψ: P → M , istnieje na wyciągniętej wiązce wektorowejWłókno indukowane ψ * E → P unikalna metryka riemannowska ψ * g taka, że naturalny morfizm ψ * E → E jest izomorfizmem wiązek riemannowskich.
Jeśli g jest Riemanna metryka E → M , a następnie przez ograniczenie , g definiuje Riemanna metryka każdej subbundle wektora E .
Granica metryki Minkowskiego, gdy c zbliża się do nieskończoności, jest metryką pakietu. Czas staje się absolutny, a czasoprzestrzeń jest włóknem powyżej, znajdujemy transformację Galileusza . W dwóch różnych momentach metryką jest różnica czasów. Jednocześnie, we włóknie przestrzeni izomorficznym z , metryka jest zwykłym iloczynem skalarnym. ${{\ rm {d}}} s ^ {2} = c ^ {2} {{\ rm {d}}} t ^ {2} - {{\ rm {d}}} x ^ {2} - {{\ rm {d}}} r ^ {2} - {{\ rm {d}}} z ^ {2}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Istnienie

W każdej parazwartej wiązce wektorów bazowych istnieje metryka riemannowska.

Demonstracje

Dowód poprzez przegrodę jednostki.

Dla każdego wystarczająco małego otwartego U z M , wiązka wektorowa π -1 ( U ) → U jest trywializowana. Jednak z góry, każda trywializowana wiązka wektorów dopuszcza metrykę Riemanna. Tak więc istnieje metryka riemannowska g U na π -1 ( U ).

Używanie paracompacity z M istnieje przeliczalna nakładania ( U n ) n ∈ℕ z M tak, że dla każdej liczby całkowitej N , istnieje Riemanna metryczną g n w wektorze wiązki gatunku -1 ( U n ) → U n . Niech (φ n ) n ∈ℕ być podział jednostki podległej ( U n ) n ∈ℕ . Mapa x ↦φ n ( x ) g n ( x ) jest globalną odcinek S 2 gatunku -1 ( U n ) → U n Zero w sąsiedztwie granicy ∂ U n . Jest ona przedłużona przez globalną odcinka S 2 E → M nieprawidłowo oznaczonej X ↦φ n ( x ) g n ( x ). ${\ styl wyświetlania 0}$

Następnie pytamy:

g = \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ {n} g_ {n}: x \ mapsto \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ { n} (x) g_ {n} (x)

. Jest to sekcja S 2 E → M , i jest dobrze określony dodatni w dowolnym punkcie od M : Jeżeli należy wewnątrz wsparcia i dla każdej niezerowej wektora z ,

x

x

\ fi _ {n}

v

Dawny}

g (v, v) \ geq \ phi _ {n} (x) g_ {x} ^ {n} (v, v)> 0

Dowód poprzez osadzenie.

Istnieje wiązka wektorowa F → M taka, że E ⊕ F → M można trywializować. Używany w tym poziomu parazwartości z M . Zatem istnieje metryka riemannowska na E ⊕ F → M, która ogranicza się do metryki riemannowskiej na E → M .

Choć pozornie krótszy, ten drugi argument ukrywa trudność w istnieniu . Istnienie to również odwołuje się do argumentu o jedności podziału . $fa$

W szczególności :

Na każdej parakompaktowej rozmaitości różniczkowej istnieje metryka riemannowska.

Zobacz również