Prawo wykładnicze
Prawo wykładnicze
|
Gęstości prawdopodobieństwa
|
|
|
Funkcja dystrybucyjna
|
|
Ustawienia
|
λ>0{\ styl wyświetlania \ lambda> 0 \,}intensywność lub odwrotność skali ( rzeczywista )
|
---|
Wsparcie
|
[0,∞[{\ styl wyświetlania [0, \ infty [\!}
|
---|
Gęstości prawdopodobieństwa
|
λmi-λx{\ displaystyle \ lambda e ^ {- \ lambda x}}
|
---|
Funkcja dystrybucyjna
|
1-mi-λx{\ displaystyle 1-e ^ {- \ lambda x}}
|
---|
Nadzieja
|
1λ{\ displaystyle {\ dfrac {1} {\ lambda}} \,}
|
---|
Mediana
|
ja(2)λ{\ displaystyle {\ dfrac {\ ln (2)} {\ lambda}} \,}
|
---|
Moda
|
0{\ styl wyświetlania 0 \,}
|
---|
Zmienność
|
1λ2{\ displaystyle {\ dfrac {1} {\ lambda ^ {2}}} \,}
|
---|
Asymetria
|
2{\ styl wyświetlania 2 \,}
|
---|
Znormalizowana kurtoza
|
6{\ styl wyświetlania 6 \,}
|
---|
Entropia
|
1-ja(λ){\ styl wyświetlania 1- \ ln (\ lambda) \,}
|
---|
Funkcja generowania momentów
|
(1-tλ)-1{\ displaystyle \ po lewej (1 - {\ dfrac {t} {\ lambda}} \ po prawej) ^ {-1} \,}
|
---|
Funkcja charakterystyczna
|
(1-jatλ)-1{\ displaystyle \ lewo (1 - {\ dfrac {it} {\ lambda}} \ po prawej) ^ {-1} \,}
|
---|
An prawa wykładnicza modele żywotność zjawiska bez pamięci , lub bez starzenia , lub bez zużycia : prawdopodobieństwo, że zjawisko to trwa co najmniej s + t godziny wiedząc, że to trwa już t godzin będzie takie samo jak prawdopodobieństwo do ostatnich sekund godzin od pierwszego uruchomienia. Innymi słowy, fakt, że zjawisko trwało t godzin, nie zmienia jego oczekiwanej długości życia od czasu t .
Bardziej formalnie, niech X będzie zmienna losowa określająca trwałość zjawiska, z matematycznego oczekiwania . Myślimy że :mi(X){\ styl wyświetlania \ mathbb {E} (X)}∀(s,t)∈R+2,PX>t(X>s+t)=P(X>s){\ displaystyle \ forall (s, t) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {2}, \; \ mathbb {P} _ {X> t} (X> s + t) = \ mathbb { P} (X> s)}
Następnie gęstość prawdopodobieństwa z X jest określony przez:
-
fa(t)=0{\ styl wyświetlania f (t) = 0}jeśli t <0;
-
fa(t)=1mi(X)mi-tmi(X){\ displaystyle f (t) = {\ dfrac {1} {\ mathbb {E} (X)}} \ mathbb {e} ^ {- {\ frac {t} {\ mathbb {E} (X)}} }}dla wszystkich t ≥ 0.
i mówimy, że X podlega wykładniczemu prawu parametru (lub współczynnika skali) . I odwrotnie, zmienna losowa mająca to prawo spełnia właściwość bycia bez pamięci .
λ=1mi(X){\ displaystyle \ lambda = {\ dfrac {1} {\ mathbb {E} (X)}}}
Prawo to umożliwia m.in. modelowanie żywotności atomu promieniotwórczego lub elementu elektronicznego. Można go też użyć do opisania np. czasu pomiędzy dwoma telefonami odebranymi w biurze, czy czasu pomiędzy dwoma wypadkami samochodowymi, w których uczestniczy dana osoba.
Definicja
Gęstości prawdopodobieństwa
Gęstości prawdopodobieństwa rozkład wykładniczy z parametrem Î > 0 ma postać:
fa(x)={λmi-λxgdybyx⩾00gdybyx<0{\ displaystyle f (x) = \ lewo \ {{\ początek {macierz} \ lambda e ^ {- \ lambda x} & {\ tekst {si}} \; x \ geqslant 0 \\ 0 & {\ tekst { si }} \;x <0 \ end {matryca}} \ prawo.}Rozkład jest obsługiwany przez interwał .
[0,+∞[{\ displaystyle \ scriptstyle [0, + \ infty [}
Funkcja dystrybucyjna
Funkcja rozkładu dana jest wzorem:
fa(x)={1-mi-λxgdybyx⩾00gdybyx<0{\ displaystyle F (x) = \ lewo \ {{\ początek {macierz} 1-e ^ {- \ lambda x} & {\ tekst {si}} \; x \ geqslant 0 \\ 0 & {\ tekst { si }} \;x <0 \ end {matryca}} \ prawo.}
Oczekiwanie, wariancja, odchylenie standardowe, mediana
Niech X będzie zmienną losową, która podlega prawu wykładniczemu z parametrem λ .
Wiemy, przez budowę, że matematyczne oczekiwanie od X jest .
mi(X)=1λ{\ displaystyle \ mathbb {E} (X) = {\ frac {1} {\ lambda}}}
Możemy obliczyć wariancję przez całkowanie przez części ; otrzymujemy .
V(X)=1λ2{\ displaystyle V (X) = {\ dfrac {1} {\ lambda ^ {2}}}}
Odchylenie standardowe jest .
σ(X)=1λ{\ displaystyle \ sigma (X) = {\ dfrac {1} {\ lambda}}}
Mediana , czyli czas T takie, że jest .
P(X>T)=0,5{\ displaystyle \ mathbb {P} (X> T) = 0 {,} 5}mi=ja(2)λ=mi(X)ja(2){\ displaystyle m = {\ dfrac {\ ln (2)} {\ lambda}} = \ mathbb {E} (X) \ ln (2)}
Demonstracje
Fakt, że żywotność jest bez starzenia, skutkuje następującą równością:
∀T≥0,PX>T(X>T+t)=P(X>t),{\ displaystyle \ forall T \ geq 0, \ qquad \ mathbb {P} _ {X> T} (X> T + t) = \ mathbb {P} (X> t),}
Według twierdzenia Bayesa mamy:
PX>T(X>T+t)=P(X>T i X>T+t)P(X>T)=P(X>T+t)P(X>T){\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X> T} (X> T + t) = {\ dfrac {\ mathbb {P} (X> T {\ tekst {i}} X> T + t)} { \ mathbb {P} (X> T)}} = {\ dfrac {\ mathbb {P} (X> T + t)} {\ mathbb {P} (X> T)}}}
Stawiając prawdopodobieństwo, że czas życia jest większy niż t , znajdujemy zatem:
P(X>t)=1-fa(t)=sol(t){\ displaystyle \ mathbb {P} (X> t) = 1-F (t) = G (t)}
sol(T+t)sol(T)=sol(t){\ displaystyle {\ dfrac {G (T + t)} {G (T)}} = G (t)}
Ponieważ funkcja G jest monotoniczna i ograniczona, z tego równania wynika, że G jest funkcją wykładniczą . Zatem istnieje k realne takie, że dla wszystkich t :
sol(t)=mikt.{\ styl wyświetlania G (t) = \ matematyka {e} ^ {kt}.}
Należy zauważyć, że k jest ujemne , ponieważ G jest mniejsze niż 1. Gęstość prawdopodobieństwa f jest definiowana dla wszystkich t ≥ 0 przez:
fa(t)=-kmikt{\ displaystyle f (t) = - k \ mathrm {e} ^ {kt}}
Obliczenie oczekiwanej wartości X , która musi być równa, prowadzi do równania:
mi(X){\ styl wyświetlania \ mathbb {E} (X)}
∫0+∞-ktmiktret=mi(X){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} -kt \ mathrm {e} ^ {kt} \, \ mathrm {d} t = \ mathbb {E} (X)}
Całkę obliczamy całkując przez części; uzyskujemy :
k=-1mi(X)=-λ{\ displaystyle k = - {\ dfrac {1} {\ mathbb {E} (X)}} = - \ lambda}
W związku z tym
P(X>t)=mi-tmi(X){\ displaystyle \ mathbb {P} (X> t) = \ mathrma {e} ^ {- {\ frac {t} {\ mathbb {E} (X)}}}}
i
fa(t)=1mi(X)mi-tmi(X){\ displaystyle f (t) = {\ dfrac {1} {\ mathbb {E} (X)}} \ mathbb {e} ^ {- {\ frac {t} {\ mathbb {E} (X)}} }}
Ważne właściwości
Brak pamięci
Ważną właściwością rozkładu wykładniczego jest utrata pamięci lub brak pamięci . Ta właściwość jest matematycznie tłumaczona następującym równaniem:
∀ s,t≥0 PT>t(T>s+t)=P(T>s){\ displaystyle \ forall \ s, t \ geq 0 ~ \ qquad \ mathbb {P} _ {T> t} (T> s + t) = \ mathbb {P} (T> s)}Wyobraź sobie, że T reprezentuje żywotność żarówki LED, zanim ulegnie awarii: prawdopodobieństwo, że będzie ona trwać co najmniej s + t godzin, wiedząc, że trwała już t godzin, będzie takie samo, jak prawdopodobieństwo, że przetrwa ona s godzin od początkowego uruchomienia- w górę. Innymi słowy, fakt, że nie zepsuł się przez t godzin, nie zmienia jego oczekiwanej długości życia od czasu t . Należy zauważyć, że prawdopodobieństwo, że „klasyczna” żarówka (z żarnikiem) zepsuje się, jest zgodne z prawem wykładniczym tylko jako pierwsze przybliżenie, ponieważ żarnik odparowuje podczas użytkowania i starzeje się.
Prawo minimum dwóch niezależnych praw wykładniczych
Jeżeli zmienne losowe X , Y są niezależne i podlegają dwóm prawom wykładniczym odpowiednich parametrów λ , μ , to Z = inf ( X ; Y ) jest zmienną losową , która podlega prawu wykładniczemu parametru λ + μ .
Zakres
Radioaktywność
Uprzywilejowanym obszarem prawa wykładniczego jest obszar promieniotwórczości ( Rutherford i Soddy). Każdy radioaktywny atom ma długość życia, która jest zgodna z wykładniczym prawem. Parametr λ nazywa się wtedy stałą zaniku .
Średni czas życia jest nazywany czas charakterystyczny .
1λ{\ styl wyświetlania {\ dfrac {1} {\ lambda}}}
Prawo wielkich liczb pozwala stwierdzić, że koncentracja atomów promieniotwórczych nastąpi to samo prawo. Mediana to czas T wymagany do wzrostu populacji do 50% jej początkowej populacji i nazywana jest okresem półtrwania lub okresem.
ja(2)λ{\ displaystyle {\ dfrac {\ ln (2)} {\ lambda}}}
Elektronika i kolejki
Żywotność elementu elektronicznego jest również często modelowana przez prawo wykładnicze. Właściwość sum służy do określenia oczekiwanej długości życia systemu składającego się z dwóch elementów w szeregu.
W teorii kolejek przybycie klientów do kolejki jest często modelowane przez prawo wykładnicze, na przykład w modelu kolejki M/M/1 .
Połącz z innymi przepisami
Prawo geometryczne
Prawo geometryczne jest dyskretną wersją prawa wykładniczego. W konsekwencji prawo wykładnicze jest granicą zrenormalizowanych praw geometrycznych.
Nieruchomość - Jeśli X następuje gwałtowny prawo oczekiwaniem 1, a jeśli potem Y następujące prawa geometryczne parametru
Tak=⌈θX⌉, θ>0, {\ displaystyle Y = \ lceil \ theta X \ rceil, \ \ theta> 0, \}
p=1-mi-1θ{\ displaystyle p = 1-e ^ {- {\ tfrac {1} {\ theta}}}}
Demonstracja
P(Tak=k)=P(⌈θX⌉=k)=P(θX∈ ]k-1,k])=P(X∈]k-1θ,kθ])=faX(kθ)-faX(k-1θ)=exp(-k-1θ)-exp(-kθ)=(mi-1θ)k-1 (1-mi-1θ).{\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ mathbb {P} (Y = k) & = \ mathbb {P} (\ lceil \ theta X \ rceil = k) \\ & = \ mathbb {P} (\ theta X \ in \] k-1, k]) \\ & = \ mathbb {P} \ po lewej (X \ in \ po lewej] {\ tfrac {k-1} {\ theta}}, {\ tfrac {k} { \ theta}} \ po prawej] \ po prawej) \\ & = F_ {X} \ po lewej ({\ tfrac {k} {\ theta}} \ po prawej) -F_ {X} \ po lewej ({\ tfrac {k-1 } {\ theta}} \ po prawej) \\ & = \ exp \ po lewej (- {\ tfrac {k-1} {\ theta}} \ po prawej) - \ exp \ po lewej (- {\ tfrac {k} {\ theta}} \ po prawej) \\ & = \ po lewej (e ^ {- {\ tfrac {1} {\ theta}}} \ po prawej) ^ {k-1} \ \ po lewej (1-e ^ {- {\ tfrac {1} {\ theta}}} \ po prawej). \ end {wyrównany}}}
Należy zauważyć, że dla rzeczywistej liczby X , oznacza górną część całkowita z X , określone
⌈x⌉ {\ styl wyświetlania \ lceil x \ rceil \}
⌈x⌉=min{k∈Z | k≥x}.{\ displaystyle \ lceil x \ rceil = \ min \ lewy \ {k \ in \ mathbb {Z} \ | \ k \ geq x \ prawy \}.}
Wybierając
θ=-λja(1-p),{\ displaystyle \ theta = - {\ tfrac {\ lambda} {\ ln \ lewo (1-p \ prawo)}},}
robimy więc z wykładniczej zmiennej losowej X ' parametru λ zmienną losową
Tak'=⌈θX'⌉{\ displaystyle Y ^ {\ prime} = \ lceil \ theta X ^ {\ prime} \ rceil}
,
zgodnie z prawem geometrycznym dowolnego parametru p (jednakże z ograniczeniem 0 < p < 1 ), ponieważ X = λ X ' jest następnie zgodne z prawem wykładniczym parametru 1 (i oczekiwaniem 1).
Wzajemnie
Własność - Jeżeli, for , zmienna losowa Y n jest zgodna z geometrycznym prawem parametru p n , a if
nie≥1{\ styl wyświetlania n \ geq 1}
Limniepnie=0,Limniepnie/wnie=λ>0,{\ displaystyle \ lim _ {n} p_ {n} = 0, \ qquad \ lim _ {n} p_ {n} / a_ {n} = \ lambda> 0,}
wtedy a n Y n jest zbieżne w prawo do wykładniczego prawa parametru λ .
Demonstracja
Podajemy sobie wykładniczą zmienną losową λ z parametrem 1 i ustawiamy
θnie=-1ja(1-pnie),Taknie'=⌈θnieX⌉.{\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ theta _ {n} & = - {\ tfrac {1} {\ ln \ lewy (1-p_ {n} \ prawy)}}, \\ Y_ {n} ^ { \ prime} & = \ lceil \ theta _ {n} X \ rceil. \ end {aligned}}}
Wtedy Y n i Y n ' mają to samo prawo na mocy poprzedniej własności. Co więcej, dla wszystkich ω
LimniewnieTaknie'(ω)=Limniewnie⌈θnieX(ω)⌉=(Limniewnieθnie)X(ω)=X(ω)/λ{\ displaystyle \ lim _ {n} a_ {n} Y_ {n} ^ {\ prim} (\ omega) = \ lim _ {n} a_ {n} \ lceil \ teta _ {n} X (\ omega) \ rceil = \ lewy (\ lim _ {n} a_ {n} \ theta _ {n} \ prawy) X (\ omega) = X (\ omega) / \ lambda}
Teraz z jednej strony prawie pewna zbieżność prowadzi do zbieżności w prawie, z drugiej strony prawo X / λ jest wykładniczym prawem parametru λ .
Możemy postrzegać te różne zbieżności jako proste konsekwencje zbieżności schematu Bernoulliego z procesem Poissona .
Prawo Weibulla
Prawo wykładnicze to prawo Weibulla o współczynniku kształtu k (lub β ) równym 1.
Uwagi i referencje
Zobacz również
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">