n- sfera

W geometrii The hypersphere jest uogólnieniem kuli do przestrzeni euklidesowej o dowolnym wymiarze . To stanowi jedną z najprostszych przykładowych kolektora i sfera wymiaru n lub n -sphere jest dokładniej hiperpowierzchni euklidesowej przestrzeń , znany ogólnie . Rnie+1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}Snie{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}

Definicja

Niech E będzie euklidesową przestrzeń wymiaru n + 1, punkt E , a R jest ściśle dodatnią liczbą rzeczywistą . Hypersphere zwane centrum A i promień R zbiór punktów M , którego odległość A jest R .

Biorąc pod uwagę afiniczny ortonormalny układ współrzędnych , nawet jeśli oznacza to przeprowadzenie translacji , która nic nie zmienia we właściwościach geometrycznych, można sprowadzić do hipersfery o środku w miejscu pochodzenia, której równanie jest następnie zapisywane

∑ja=1nie+1xja2=R2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} x_ {i} ^ {2} = R ^ {2}}.

Na przykład :

• dla przypadku n = 0 hipersfera składa się z dwóch odpowiednich odciętych R i - R  ;
• dla przypadku n = 1 hipersfera jest kołem  ;
• dla przypadku n = 2 hipersfera jest kulą w zwykłym sensie.

(Aby uzyskać parametryzację tak zdefiniowanej hiperpowierzchni , zobacz „  Współrzędne hipersferyczne  ”).

Nieruchomości

Tom

Objętość (a dokładniej miara Lebesgue'a ) przestrzeni ograniczonej hipersferą o wymiarze n - 1 i promieniu R , która jest kulą euklidesową o wymiarze n , jest równa:

Vnie=πnie/2RnieΓ(nie/2+1){\ Displaystyle V_ {n} = {\ pi ^ {n / 2} R ^ {n} \ ponad \ Gamma (n / 2 + 1)}},

gdzie oznacza funkcję gamma . W szczególności mamy: Γ{\ displaystyle \ Gamma}

	n nawet	n dziwne
Vnie{\ displaystyle V_ {n}}	πnie2Rnie(nie2)!{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi ^ {\ Frac {n} {2}} R ^ {n}} {\ lewo ({\ Frac {n} {2}} \ prawo)!}}}	2(nie+1)/2πnie-12Rnie1⋅3⋅⋯⋅nie{\ Displaystyle 2 ^ {(n + 1) / 2} {\ Frac {\ pi ^ {\ Frac {n-1} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ kropki \ cdot nie}}}

Poniższa tabela przedstawia wartości objętości pierwszych 8 kulek o wymiarze n i promieniu 1:

nie	Wartość objętości
	dokładny	zbliżył się
1	2{\ displaystyle 2}	2{\ displaystyle 2}
2	π{\ displaystyle \ pi}	3.14159{\ displaystyle 3 {,} 14159}
3	43π{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi}	4.18879{\ displaystyle 4 {,} 18879}
4	12π2{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ pi ^ {2}}	4.93480{\ displaystyle 4 {,} 93480}
5	815π2{\ Displaystyle {\ Frac {8} {15}} \ pi ^ {2}}	5.26379{\ displaystyle 5 {,} 26379}
6	16π3{\ Displaystyle {\ Frac {1} {6}} \ pi ^ {3}}	5.16771{\ displaystyle 5 {,} 16771}
7	16105π3{\ Displaystyle {\ Frac {16} {105}} \ pi ^ {3}}	4.72478{\ displaystyle 4 {,} 72478}
8	124π4{\ Displaystyle {\ Frac {1} {24}} \ pi ^ {4}}	4.05871{\ displaystyle 4 {,} 05871}

Objętość takiej kuli jest maksymalna dla n = 5. Dla n > 5 objętość maleje wraz ze wzrostem n, a jej granica w nieskończoności wynosi zero:

limnie→∞Vnie=0{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} V_ {n} = 0}.

Hipersześcian opisana, do hypersphere Urządzenie posiada krawędzie długości 2 i objętości 2 N  ; stosunek objętości kuli do wpisanego hipersześcianu (na boki ) rośnie w funkcji n . 2/nie{\ displaystyle 2 / {\ sqrt {n}}}

Powierzchnia

Obszar o hypersphere wymiaru N -1 i promienia R może być określona poprzez na pochodną względem promienia R o objętości V n  :

Snie-1=reVniereR=nieVnieR=2πnie2Rnie-1Γ(nie2){\ Displaystyle S_ {n-1} = {\ Frac {\ mathrm {d} V_ {n}} {\ mathrm {d} R}} = {\ Frac {nV_ {n}} {R}} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n-1}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}}. Snie=2πnie+12RnieΓ(nie+12){\ Displaystyle S_ {n} = {\ Frac {2 \ pi ^ {\ Frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {\ Gamma ({\ Frac {n + 1} {2}} )}}}.

	n nawet	n dziwne
Snie{\ Displaystyle S_ {n}}	2nie2+1πnie2Rnie1⋅3⋯(nie-1){\ Displaystyle 2 ^ {{\ Frac {n} {2}} + 1} {\ Frac {\ pi ^ {\ Frac {n} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots ( n-1)}}}	πnie+12Rnie12(nie-12)!{\ Displaystyle {\ Frac {\ pi ^ {\ Frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {{\ Frac {1} {2}} \, \ lewo ({\ Frac {n- 1} {2}} \ right)!}}}

N- jednostka kula ma zatem na obszarze: Snie{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}

2πnie+12Γ(nie+12) .{\ Displaystyle {\ Frac {2 \ pi ^ {\ Frac {n + 1} {2}}} {\ Gamma ({\ Frac {n + 1} {2}})}} ~.}

Poniższa tabela podaje wartości pola powierzchni pierwszych 7 n- sfer o promieniu 1:

nie	Powierzchnia Snie{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
	dokładny	zbliżył się
1	2π{\ displaystyle 2 \ pi}	6.28318{\ displaystyle 6 {,} 28318}
2	4π{\ displaystyle 4 \ pi}	12,56637{\ displaystyle 12 {,} 56637}
3	2π2{\ Displaystyle 2 \ pi ^ {2}}	19,73920{\ displaystyle 19 {,} 73920}
4	83π2{\ Displaystyle {\ Frac {8} {3}} \ pi ^ {2}}	26.31894{\ displaystyle 26 {,} 31894}
5	π3{\ displaystyle \ pi ^ {3}}	31.00627{\ displaystyle 31 {,} 00627}
6	1615π3{\ Displaystyle {\ Frac {16} {15}} \ pi ^ {3}}	33,07336{\ displaystyle 33 {,} 07336}
7	13π4{\ Displaystyle {\ Frac {1} {3}} \ pi ^ {4}}	32,46969{\ displaystyle 32 {,} 46969}

Powierzchnia sfery n- jednostkowej jest maksymalna dla n = 6. Dla n > 6 pole maleje wraz ze wzrostem n, a jego granica w nieskończoności wynosi zero:

limnie→∞Snie=0{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} S_ {n} = 0}.

Powiązane artykuły

• Simplex
• Hyperpyramid
• 3-sferyczne
• Cylinder sześcienny , cylinder kulisty
• Grupy homotopii sfer

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">