Wzór ułamka ciągłego Eulera
W analitycznej teorii liczb , dalszy wzór frakcja Eulera jest tożsamość dotyczące serii do ogólnych ułamków , opublikowanym przez Leonhard Euler 1748 i użyteczne w badaniu ogólny błąd zbieżności dla dalszych frakcji o złożonych współczynników .
Obudowa gotowa
Euler ustalił tożsamość, której transkrypcja jest w notacji Pringsheima :
αP.-αβP.Q+αβγQR-αβγδRS+...=α∣∣P.+β∣∣(Q-β)/P.+γ∣∣(R-γP.)/Q+δ∣∣(S-δQ)/R+⋯,{\ Displaystyle {\ Frac {\ alpha} {P}} - {\ Frac {\ alpha \ beta} {PQ}} + {\ Frac {\ alpha \ beta \ gamma} {QR}} - {\ Frac {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} {RS}} + \ ldots = {\ frac {\ alpha \ mid} {\ mid P}} + {\ frac {\ beta \ mid} {\ mid (Q- \ beta) / P}} + {\ frac {\ gamma \ mid} {\ mid (R- \ gamma P) / Q}} + {\ frac {\ delta \ mid} {\ mid (S- \ delta Q) / R }} + \ cdots,}
ta równość oznacza tylko, że częściowe sumy szeregu po lewej stronie są równe redukcjom ciągłego ułamka po prawej stronie, innymi słowy:
∀nie∈NIE∗w1k1-∑ja=2nie∏jot=1ja(-wjot)kja-1kja=w1∣∣k1+w2∣∣(k2-w2)/k1+w3∣∣(k3-w3k1)/k2+⋯+wnie∣∣(knie-wnieknie-2)/knie-1.{\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad {\ frac {a_ {1}} {k_ {1}}} - \ suma _ {i = 2} ^ {n} {\ frac {\ prod _ {j = 1} ^ {i} (- a_ {j})} {k_ {i-1} k_ {i}}} = {\ frac {a_ {1} \ mid} {\ mid k_ {1}}} + {\ frac {a_ {2} \ mid} {\ mid (k_ {2} -a_ {2}) / k_ {1}}} + {\ frac {a_ {3} \ mid } {\ mid (k_ {3} -a_ {3} k_ {1}) / k_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {n} \ mid} {\ mid (k_ {n} - a_ {n.} k_ {n-2}) / k_ {n-1}}}.}
Po prostu znajduje tę formułę poprzez wsteczną analizę podstawowych relacji na reduktorach .
Nieskończony przypadek
Zmieniając zapisy i przechodząc do granicy , wnioskujemy:
x0y0+∑ja=1∞∏jot=0jaxjotyja-1yja=x0∣∣y0-x1∣∣(y1+x1)/y0-x2∣∣(y2+x2y0)/y1-x3∣∣(y3+x3y1)/y2-⋯,{\ Displaystyle {\ Frac {x_ {0}} {y_ {0}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ prod _ {j = 0} ^ {i} x_ {j}} {y_ {i-1} y_ {i}}} = {\ frac {x_ {0} \ mid} {\ mid y_ {0}}} - {\ frac {x_ {1} \ mid} {\ mid (y_ {1} + x_ {1}) / y_ {0}}} - {\ frac {x_ {2} \ mid} {\ mid (y_ {2} + x_ {2} y_ {0} ) / y_ {1}}} - {\ frac {x_ {3} \ mid} {\ mid (y_ {3} + x_ {3} y_ {1}) / y_ {2}}} - \ cdots,}
dla wszystkich zestawów liczb zespolonych są tam j niezerowe i x j, gdy szereg po lewej stronie jest zbieżny . Dzięki temu możliwe jest przekształcenie szeregu zbieżnego w odpowiednią postać w ułamek ciągły. Co więcej, jeśli zespoły x j i y j są funkcjami zmiennej z i jeśli zbieżność szeregu jest jednorodna względem z , to oczywiście jest taka sama dla zbieżności ułamka ciągłego.
Ta formuła ma wiele następstw , takich jak:
- biorąc wszystkie y j równe 1:∑ja=0∞∏jot=0jaxjot=x0∣∣1-x1∣∣1+x1-x2∣∣1+x2-x3∣∣1+x3-⋯ ;{\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ prod _ {j = 0} ^ {i} x_ {j} = {\ Frac {x_ {0} \ mid} {\ mid 1}} - {\ frac {x_ {1} \ mid} {\ mid 1 + x_ {1}}} - {\ frac {x_ {2} \ mid} {\ mid 1 + x_ {2}}} - {\ frac {x_ {3} \ mid} {\ mid 1 + x_ {3}}} - \ cdots ~;}
- ustawiając x 0 = 1, y 0 = a 0 i dla j > 0, x j = a j –1 z i y j = a 0 a 1 … a j :∑ja=0∞zjaw0w1...wja=1∣∣w0-w0z∣∣w1+z-w1z∣∣w2+z-w2z∣∣w3+z-⋯ ;{\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {Z ^ {i}} {a_ {0} a_ {1} \ ldots a_ {i}}} = {\ Frac {1 \ mid} {\ mid a_ {0}}} - {\ frac {a_ {0} z \ mid} {\ mid a_ {1} + z}} - {\ frac {a_ {1} z \ mid} {\ mid a_ {2} + z}} - {\ frac {a_ {2} z \ mid} {\ mid a_ {3} + z}} - \ cdots ~;}
- ustawiając x 0 = 1, y 0 = u 0 i dla j > 0, x j = u j –1 2 Z i y j = u 0 u 1 … u j :∑ja=0∞Zjauja=1∣∣u0-u02Z∣∣u1+u0Z-u12Z∣∣u2+u1Z-u22Z∣∣u3+u2Z-⋯.{\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {Z ^ {i}} {u_ {i}}} = {\ Frac {1 \ mid} {\ mid u_ {0}} } - {\ frac {u_ {0} ^ {2} Z \ mid} {\ mid u_ {1} + u_ {0} Z}} - {\ frac {u_ {1} ^ {2} Z \ mid} {\ mid u_ {2} + u_ {1} Z}} - {\ frac {u_ {2} ^ {2} Z \ mid} {\ mid u_ {3} + u_ {2} Z}} - \ cdots .}
Przykłady
Wykładniczej o wartościach zespolonych jest funkcją całkowitą więc jego rozwój w serii całkowitą zbieżny równomiernie na każdym ograniczonej części w płaszczyźnie zespolonej :
miz=∑ja=0∞zjaja!.{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {z} = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {i}} {i!}}.}
Jest więc to samo dla frakcji kontynuowanej (uzyskanej z drugiego wniosku powyżej):
miz=1∣∣1-z∣∣1+z-z∣∣2+z-2z∣∣3+z-3z∣∣4+z-4z∣∣5+z-⋯.{\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {z} = {\ Frac {1 \ mid} {\ mid 1}} - {\ Frac {Z \ mid} {\ mid 1 + z}} - {\ Frac {z \ mid} {\ mid 2 + z}} - {\ frac {2z \ mid} {\ mid 3 + z}} - {\ frac {3z \ mid} {\ mid 4 + z}} - {\ frac {4z \ mid} {\ mid 5 + z}} - \ cdots.}
Wyprowadzamy na przykład:
1mi=mi-1=1∣∣1+1∣∣0+1∣∣1+2∣∣2+3∣∣3+4∣∣4+⋯=1∣∣2+2∣∣2+3∣∣3+4∣∣4+⋯{\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ rm {e}}} = {\ rm {e}} ^ {- 1} = {\ Frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac { 1 \ mid} {\ mid 0}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {2 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {3 \ mid} { \ mid 3}} + {\ frac {4 \ mid} {\ mid 4}} + \ cdots = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {2 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {3 \ mid} {\ mid 3}} + {\ frac {4 \ mid} {\ mid 4}} + \ cdots}
w związku z tym
mi=2+2∣∣2+3∣∣3+4∣∣4+⋯=2+1∣∣1+1∣∣2+2∣∣3+3∣∣4+4∣∣5+⋯,{\ Displaystyle {\ rm {e}} = 2 + {\ Frac {2 \ mid} {\ mid 2}} + {\ Frac {3 \ mid} {\ mid 3}} + {\ Frac {4 \ mid } {\ mid 4}} + \ cdots = 2 + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {2 \ mid } {\ mid 3}} + {\ frac {3 \ mid} {\ mid 4}} + {\ frac {4 \ mid} {\ mid 5}} + \ cdots,}
ostatnia równość wynikająca ze zwykłej transformacji .
Ekspansja serii całkowitą od głównego oznaczania części złożonego logarytmu stosowane do 1 + z ma
Losol(1+z)=z∑ja=0∞(-z)jaja+1.{\ Displaystyle {\ rm {log}} (1 + z) = z \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-z) ^ {i}} {i + 1}}. }
Zbiega się równomiernie, gdy z przechodzi przez zamknięty dysk jednostkowy pozbawiony arbitralnie małego sąsiedztwa −1. Jest więc to samo dla frakcji kontynuowanej (uzyskanej z trzeciego wniosku powyżej):
Losol(1+z)=z∣∣1+12z∣∣2-z+22z∣∣3-2z+32z∣∣4-3z+⋯.{\ Displaystyle {\ rm {log}} (1 + z) = {\ Frac {z \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {1 ^ {2} z \ mid} {\ mid 2-z }} + {\ frac {2 ^ {2} z \ mid} {\ mid 3-2z}} + {\ frac {3 ^ {2} z \ mid} {\ mid 4-3z}} + \ cdots. }
Wyprowadzamy na przykład:
Losol(2)=1∣∣1+12∣∣1+22∣∣1+32∣∣1+⋯.{\ Displaystyle {\ rm {log}} (2) = {\ Frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {2 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots.}
Funkcja artanh jest zdefiniowana na ℂ \ (] –∞, –1] ∪ [1, + ∞ [) przez
wrtwniegodz(z)=12 Losol(1+z1-z)=12(Losol(1+z)-Losol(1-z)).{\ Displaystyle {\ rm {artanh}} (z) = {\ Frac {1} {2}} ~ {\ rm {log}} \ lewo ({\ Frac {1 + z} {1-z}} \ right) = {\ frac {1} {2}} ({\ rm {Log}} (1 + z) - {\ rm {Log}} (1-z)).}
Dlatego równomiernie na zamkniętym dysku jednostkowym pozbawionym sąsiedztwa ± 1 ,
wrtwniegodz(z)=z∑ja=0∞(z2)ja2ja+1{\ Displaystyle {\ rm {artanh}} (z) = z \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(z ^ {2}) ^ {i}} {2i + 1}} }
więc również (zgodnie z trzecim wnioskiem powyżej)
wrtwniegodz(z)=z∣∣1-z2∣∣3+z2-(3z)2∣∣5+3z2-(5z)2∣∣7+5z2-(7z)2∣∣9+7z2-⋯.{\ Displaystyle {\ rm {artanh}} (z) = {\ Frac {z \ mid} {\ mid 1}} - {\ Frac {Z ^ {2} \ mid} {\ mid 3 + Z ^ {2 }}} - {\ frac {(3z) ^ {2} \ mid} {\ mid 5 + 3z ^ {2}}} - {\ frac {(5z) ^ {2} \ mid} {\ mid 7+ 5z ^ {2}}} - {\ frac {(7z) ^ {2} \ mid} {\ mid 9 + 7z ^ {2}}} - \ cdots.}
Funkcja arctan (cykliczna) jest powiązana z funkcją artanh (hiperboliczną) wg
arctan(z)=1jaartanh(jaz).{\ Displaystyle \ arctan (z) = {\ Frac {1} {\ rm {i}}} \ operatorname {artanh} ({\ rm {i}} z).}
Ma zatem, jednolicie na zamkniętym dysku jednostkowym pozbawionym dowolnego sąsiedztwa ± i , analogiczny rozwój w szeregach całkowitych (znaleziony przez Madhavę, a następnie przez Gregory'ego i Leibniza ):
arctan(z)=z∑ja=0∞(-z2)ja2ja+1{\ Displaystyle \ arctan (z) = z \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-z ^ {2}) ^ {i}} {2i + 1}}}
aw części ciągłej:
arctan(z)=z∣∣1+z2∣∣3-z2+(3z)2∣∣5-3z2+(5z)2∣∣7-5z2+(7z)2∣∣9-7z2+⋯.{\ Displaystyle \ arctan (z) = {\ Frac {Z \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {Z ^ {2} \ mid} {\ mid 3-z ^ {2}}} + { \ frac {(3z) ^ {2} \ mid} {\ mid 5-3z ^ {2}}} + {\ frac {(5z) ^ {2} \ mid} {\ mid 7-5z ^ {2} }} + {\ frac {(7z) ^ {2} \ mid} {\ mid 9-7z ^ {2}}} + \ cdots.}
Rozwój łóżeczku
πkoszt(πz)=1z-11-z+11+z-12-z+12+z-13-z+13+z+...,{\ Displaystyle \ pi \ cot (\ pi z) = {\ Frac {1} {z}} - {\ Frac {1} {1-z}} + {\ Frac {1} {1 + z}} - {\ frac {1} {2-z}} + {\ frac {1} {2 + z}} - {\ frac {1} {3-z}} + {\ frac {1} {3 + z} } + \ ldots,}
zbiegają się na zewnątrz równomiernie na równomierne sąsiedztwo z ℤ podobnie przekształca
πkoszt(πz)=1∣∣z+z2∣∣1-2z+(1-z)2∣∣2z+(1+z)2∣∣1-2z+(2-z)2∣∣2z+(2+z)2∣∣1-2z+⋯,{\ Displaystyle \ pi \ cot (\ pi z) = {\ Frac {1 \ mid} {\ mid z}} + {\ Frac {Z ^ {2} \ mid} {\ mid 1-2z}} + { \ frac {(1-z) ^ {2} \ mid} {\ mid 2z}} + {\ frac {(1 + z) ^ {2} \ mid} {\ mid 1-2z}} + {\ frac {(2-z) ^ {2} \ mid} {\ mid 2z}} + {\ frac {(2 + z) ^ {2} \ mid} {\ mid 1-2z}} + \ cdots,}
Skąd
dębnik(πz)πz=1+z∣∣1-2z+(1-z)2∣∣2z+(1+z)2∣∣1-2z+(2-z)2∣∣2z+(2+z)2∣∣1-2z+⋯.{\ Displaystyle {\ Frac {\ tan (\ pi z)} {\ pi z}} = 1 + {\ Frac {z \ mid} {\ mid 1-2z}} + {\ Frac {(1-z) ^ {2} \ mid} {\ mid 2z}} + {\ frac {(1 + z) ^ {2} \ mid} {\ mid 1-2z}} + {\ frac {(2-z) ^ { 2} \ mid} {\ mid 2z}} + {\ frac {(2 + z) ^ {2} \ mid} {\ mid 1-2z}} + \ cdots.}
Analogiczne szeregi dla π 2 / sin 2 (π z ) , πtan (π z / 2) , π / sin (π z ) i π / cos (π z ) podobnie przekształcają się w ułamki ciągłe.
Powyższe zmiany w arctgn , artanh , łóżeczko lub tg - dwa ostatnie wymaga normalizację do znalezienia całkowitą współczynników - łączy się z tym, że π / 4 = Artan (1) = (1 / i) artanh (I) lub łóżeczko (π / 4) = tan (π / 4) = 1 , podaj uogólniony ułamek ciągły znaleziony przez Williama Brounckera w 1655 roku:
π=4∣∣1+12∣∣2+32∣∣2+52∣∣2+72∣∣2+⋯.{\ Displaystyle \ pi = {\ Frac {4 \ mid} {\ mid 1}} + {\ Frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + {\ Frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {5 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + {\ frac {7 ^ {2} \ mid} {\ mid 2}} + \ cdots. }
Uwagi i odniesienia
-
(La) L. Euler, Introduction to analysin infinitorum , 1748, t. Ja, rozdz. 18, § 365-366, s. 298-299 ( str. 25 stanowi w [PDF] pliku ).
(de) Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Teubner,1913( czytaj online ) , „§ 45: Ęquivalenz von Kettenbrüchen und Reihen” , s. 205-211
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">