Faktoring

W matematyce , faktoryzacji polega pisania algebraiczną ekspresji (w szczególności w sumie ), w ilości , na matrycę w postaci produktu . To przekształcenie można przeprowadzić zgodnie z różnymi technikami wyszczególnionymi poniżej.

Wyzwania związane z faktoryzacją są bardzo zróżnicowane: na poziomie podstawowym celem może być zredukowanie rozdzielczości równania do równania zerowego produktu lub uproszczenie zapisu ułamkowego; na poziomie pośrednim, przypuszczalna algorytmiczna trudność rozkładania liczb całkowitych na iloczyny czynników pierwszych jest podstawą niezawodności kryptosystemu RSA .

Definicja i podstawowe techniki

Faktoryzacja wyrażenia jest rozumiana w polu wyposażonym w dwa prawa działania; zazwyczaj liczby rzeczywiste z dodawaniem i mnożeniem; bardziej ogólnie, wyrób jest umieszczony w ramach pierścienia przemiennego . Forma wyrażenia na czynniki to forma, w której wszystkie ostatnie operacje są mnożeniami.

Rozpoznanie wspólnego czynnika

Kiedy element pojawia się jako czynnik w co najmniej dwóch składnikach sumy, wszystkie te składniki można zastąpić globalnie pojedynczym iloczynem wspólnego elementu z sumą jego różnych czynników. Metoda ta opiera się na rozdzielności z mnożenia względem dodatkowo .

Z samej definicji pierścienia , jeśli , i są trzema elementami pierścienia, to $w$ $b$ $vs$

ab + ac = a (b + c)

Na przykład z liczbami całkowitymi:

{\ styl wyświetlania 4 \ razy 7 + 4 \ razy 12 = 4 \ razy (7 + 12)}

5 \ razy 11 + 3 \ razy 11 = (5 + 3) \ razy 11

{\ displaystyle 3a + 21 = 3 \ razy (a + 7)}

Niezwykłe tożsamości

Różne niezwykłe tożsamości pozwalają nam rozkładać na czynniki wyrażenia algebraiczne:

a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (ab)

a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} = (a + b) ^ {2}

a ^ {2} -2ab + b ^ {2} = (ab) ^ {2} = (ba) ^ {2}

1-x ^ {n} = (1-x) (1 + x + x ^ {2} + ... + x ^ {{n-1}})

W arytmetyce

Liczby całkowite

Podstawowe twierdzenie arytmetyki państw, że każda liczba naturalna większa lub równa dwa mogą być uwzględnione iloczyn liczb pierwszych . Ten rozkład na iloczyn czynników pierwszych dla liczb całkowitych jest „najlepszą” możliwą faktoryzacją, która pozwala na przeprowadzenie wielu obliczeń: uproszczenia ułamków, wyznaczenie GCD , PPCM , pierwiastki i tak dalej.

Wielomiany

Znajomość pierwiastków wielomianu pozwala na faktoryzację tego wielomianu:

Twierdzenie — Niech P będzie wielomianem stopnia n . a jest pierwiastkiem P (tj. $P ( a ) = 0$ ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian Q stopnia n- 1 taki, że $P ( x ) = ( x - a ) Q ( x )$ .

Aby ustalić granicę w nieskończoności o rzeczywistym wielomianu funkcji zmiennej rzeczywistej, możemy na czynniki przez Jednomian najwyższego stopnia. To pokazuje, że granica funkcji wielomianowej plus nieskończoność (lub minus nieskończoność) jest granicą jej jednomianu najwyższego stopnia.

W teorii mnogości

Możliwe jest wykonanie operacji analogicznej do faktoryzacji dla operacji innych niż mnożenie, takich jak operacje na zbiorze przecięcia i sumy, które są rozdzielcze względem siebie, a nawet dodawania względem maksimum w półpierścieniu ( R , max , +).

Zobacz również

Powiązane artykuły

Rozwój (do pewnego stopnia jest to odwrotność faktoringu.)

Linki zewnętrzne

Wims factoris , aplikacja internetowa kalkulacja faktoryzacji.
(en) strona Wolfram Alpha : przykład .